2016年广西来宾市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年广西来宾市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题 1已知全集 U=R，集合 A=x| 2 x 1， B=x|x 2 或 x 0，则 A（ =（ ） A x|0 x 2 B x|x 2 或 x 0 C x|0 x 1 D x|0 x 1 2已知 1+zi=z 2i，则复数 z 的虚部为（ ） A B C i D i 3 “x=1”是 “1=0”的（ ） A充分必要条件 B必要而不充分条件 C充分而不必要条件 D既不充分也不必要条件 4设向量 =（ ）的模为 ，则 ） A B C D 5已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f（ x） = ， f（ f（ 16） =（ ） A B C D 6在长为 10线段 任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于 长，则该矩形面积不小于 9概率为（ ） A B C D 7执行如图所示的程序框图，若输出 s 的值为 11，那么输入的 n 值等于（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 8为了得到函数 y=3图象，只需把函数 y=32x+ ）的图象上所有的点（ ） A向右平行移动 个单位长度 第 2 页（共 19 页） B向右平行移动 个单位长度 C向左平行移动 个单位长度 D向左平移移动 个单位长度 9圆（ x 1） 2+ 被直线 x y=0 分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A B 50 C D 40 11已知正三棱柱底面边长是 2，外接 球的表面积是 16，则该三棱柱的体积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 12若双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、填空题 13抛物线 x= 焦点坐标是 _ 14已知等比数列 足 ， a1+a3+1，则 a3+a5+_ 15若实数 x， y 满足 ，则 z=x 2y 的最小值为 _ 16函数 f（ x）（ x R）满足 f（ 1） =1， f（ x） ，则不等式 f（ 的解集为_ 三、解答题 17在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 b=B+C） （ 1）若 ，求角 A； （ 2）在（ 1）的条件下，若 面积为 ，求 a 的值 18根据我国发布的环境空气质量指数 术规定：空气质量指数划分为 0 50， 51100， 101 150， 151 200， 201 300 和大于 300 六级，对应于空气质量指数的六个级别，第 3 页（共 19 页） 指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显专家建议：当空气质量指数小于 150 时，可以户外运动；空气质量指数 151 及以上，不适合进行旅游 等户外运动，以下是我市 2013 年 3 月中旬的空气质量指数情况： 时间 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 49 143 251 254 138 55 69 102 243 269 （ 1）求 3 月份市民不适合进行户外活动的概率？ （ 2）一外地游客在 3 月份来我市旅游，想连续游玩两天，求适合旅游的概率 19如图所示，边长为 2 的正方形 在的平面与 在的平面交于 平面 （ 1）求证；平面 平面 （ 2） 求几何体 A 体积 20设椭圆 C： =1（ b 0）经过点（ ， ），且原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆 C 恒有两个交点 A， B且 ？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由 21已知函数 f（ x） = 2a 1） x （ 1）若 a= ，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 x 1， +）时恒有 f（ x） a 1，求 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图所示， 圆于 E， C 两点， 圆于 D， G 为 一点且 D，连接 ，作弦 直 足为 F （ 1）求证： （ 2）若 D， ， 求弦 长 选修 4标系与参数方程 23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴重合，若曲线方程为 + ） +2 =0，曲线 参数方程为 （ 为参数） （ 1）将 方程化为直角坐标方程； 第 4 页（共 19 页） （ 2）若点 Q 为 的动点， P 为 的 动点，求 |最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2| |x+1| （ 1）解不等式 f（ x） 1 （ 2）当 x 0 时，函数 g（ x） = （ a 0）的最小值总大于函数 f（ x），试求实数a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年广西来宾市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知全集 U=R，集合 A=x| 2 x 1， B=x|x 2 或 x 0，则 A（ =（ ） A x|0 x 2 B x|x 2 或 x 0 C x|0 x 1 D x|0 x 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由全集 U=R，找出 R 中不属于集合 B 的部分，求出 B 的补集，找出 B 补集与 可求出所求的集合 【解答】 解： B=x|x 0 或 x 2，全集 U=R， x|0 x 2，又 A=x| 2 x 1， 则 Ax|0 x 1 故选： D 2已知 1+zi=z 2i，则复数 z 的虚部为（ ） A B C i D i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解： 1+zi=z 2i， z（ 1 i） =1+2i， z（ 1 i）（ 1+i） =（ 1+2i）（ 1+i）， 2z= 1+3i， z= i 则复数 z 的虚部为 故选： B 3 “x=1”是 “1=0”的（ ） A充分必要条件 B必要而不充分条件 C充分而不必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 x=11=0，而反之不一定成立，即可得出答案 【解答】 解： 1=0， （ x+1）（ x 1） =0， x+1=0，或 x 1=0 x=11=0，而反之不一定成立 故 “x=1”是 “1=0”的充分不必要条件 故选： C 4设向量 =（ ）的模为 ，则 ） 第 6 页（共 19 页） A B C D 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积 的运算 【分析】 由向量求模公式可以得到 值，再利用二倍角公式即可求得答案 【解答】 解： 向量 =（ ）的模为 ， 1= 故选： C 5已知 f（ x）是定义在 R 上的奇 函数，且当 x 0 时， f（ x） = ， f（ f（ 16） =（ ） A B C D 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数的奇偶性求出 f（ 16）的值是 2，再求出 f（ 2）的值即可 【解答】 解： f（ 16） = f（ 16） = = 2， f（ f（ 16） =f（ 2） = f（ 2） = ， 故选： B 6在长为 10线段 任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于 长，则该矩形面积不小于 9概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式，设 AC=x，则 0 x，由矩形的面积 S=x（ 10 x） 9 可求 x 的范围，利用几何概率的求解公式可求 【解答】 解：设 AC=x，则 0 x， 矩形的面积 S=x（ 10 x） 9， 10x+9 0 解得 1 x 9， 由几何概率的求解公式可得，矩形面积 不小于 9概率为 P= = 故选： A 7执行如图所示的程序框图，若输出 s 的值为 11，那么输入的 n 值等于（ ） 第 7 页（共 19 页） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图，可知：该程序的功能是计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析出各变量的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 i=1， S=1 时，不满足 输出条件，故进行循环，执行完循环体后， S=1， i=2； 当 i=2， S=1 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后， S=2， i=3； 当 i=3， S=2 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后， S=4， i=4； 当 i=4， S=4 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后， S=7， i=5； 当 i=5， S=7 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后， S=11， i=6； 当 i=6， S=11 时，满足输出条件， 故进行循环的条件应为： i 6， 即输入 n 的值是 6， 故选： B 8为了得到函数 y=3图象，只需把函数 y=32x+ ）的图象上所有的点（ ） A向右平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度 C向左平行移动 个单位长度 D向左平移移动 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象 变换 【分析】 由已知利用诱导公式化简同名三角函数，利用 y=x+）的图象变换规律，根据左加右减的原则确定平移的方向与单位即可得解 【解答】 解： y=32x+ ） =3（ x+ ） + ， 把函数 y=32x+ ）的图象上所有的向左平移 个单位，可得函数 y=3图象， 故选： C 9圆（ x 1） 2+ 被直线 x y=0 分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ） 第 8 页（共 19 页） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得 【解答】 解：圆的圆心为（ 1， 0）到直线 x y=0 的距离为 = 弦长为 2 = 根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形， 较短弧长为 2 1= ，较长的弧长为 2 = 较短弧长与较长弧长之比为 1： 3 故选 B 10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A B 50 C D 40 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由 柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图知几何体为直三棱柱截去一个三棱锥 C 图： 其中直棱柱的侧棱长为 8，底面为直角三角形， 且 C=， 几何体的体积 V= = ， 故选： C 11已知正三棱柱底面边长是 2，外接球的表面积是 16，则该三棱柱的体积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 【考点】 球内接多面体 第 9 页（共 19 页） 【分析】 根据三棱柱外接球的表面积是 16，求出该球的半径 R=2，根据正三棱柱底面边长是 2，可得底面三角形的外接圆半径，从而可求三棱柱的侧棱长，即可求出该三棱柱的体积 【解答】 解： 该三棱柱外接球的表面积是 16， 46， 该球的半径 R=2， 又正三棱柱底面边长是 2， 底面三角形的外接圆半径 r= = ， 该三棱柱的侧棱长是 2 = 该三棱柱的体积为 =4 ， 故选： C 12若双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的一个焦点为（ c， 0），一条渐近线方程为 y= x，即 ，运用点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：设双曲线的一个焦点为（ c， 0）， 一条渐近线方程为 y= x，即 ， 由题意可得 =b= 2c， 即有 c=2b，由 c2=a2+得 c2= 即有 c= a， 第 10 页（共 19 页） 可得 e= = 故选： D 二、填空题 13抛物线 x= 焦点坐标是（ 1， 0） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 将抛物 线的方程化为标准方程，即为 4x，即可得到所求焦点的坐标 【解答】 解：抛物线 x= 为 4x， 可得焦点坐标为（ 1， 0）， 故答案为：（ 1， 0） 14已知等比数列 足 ， a1+a3+1，则 a3+a5+2 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 根据等比数列的通项公式，结合题意，即可求出对应的结果 【解答】 解：等比数列 ， ， a1+a3+a5=a1+（ 1+q2+=21， 即 1+q2+， 解得 或 3（不合题意，舍去）； 所以 a3+a5+a7=1+q2+=3 2 7=42 故答案为： 42 15若实数 x， y 满足 ，则 z=x 2y 的最小值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可 【解答】 解：由 z=x 2y 得 y= ， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线 y= ， 由图象可知当直线 y= ，过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最小， 由 ，解得 ，即 A（ ， ） 代入目标函数 z=x 2y， 得 z= = 3= 第 11 页（共 19 页） 目标函数 z=x 2y 的最小值是 故答案为： 16函数 f（ x）（ x R）满足 f（ 1） =1， f（ x） ，则不等式 f（ 的解集为（ ， 1） （ 1， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法 【分析】 根据条件构造 F（ x） =f（ x） x，利用导数研究函数的单调性，然后将 f（ 可转化成 f（ f（ 1） ，即 F（ F（ 1），根据单调性建立关系，解之即可 【解答】 解：令 F（ x） =f（ x） x，又 f（ x） ， 则 F（ x） =f（ x） 0 F（ x）在 R 上单调递减 f（ 1） =1， f（ 可转化成 f（ f（ 1） ， 即 F（ F（ 1） 根据 F（ x）在 R 上单调递减则 1 解得 x （ ， 1） （ 1， +） 故答案为：（ ， 1） （ 1， +） 三、解答题 17在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 b=B+C） （ 1） 若 ，求角 A； （ 2）在（ 1）的条件下，若 面积为 ，求 a 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）过 B 作 b=合条件可得 3出 第 12 页（共 19 页） （ 2）根据面积公式和 计算 b， c，再利用余弦定理得出 a 【解答】 解：（ 1）在 ，过 B 作 b=D= b=B+C） = 3 =3， ， A= （ 2） S = ， ， c= ， b=2， c=2 由余弦定理得 a2=b2+2+12 12=4 a=2 18根据我国发布的环境空气质量指数 术规定：空气质量指数划分为 0 50， 51100， 101 150， 151 200， 201 300 和大于 300 六级，对应于空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显专家建议：当空气质量指数小于 150 时，可以户外运动；空气质量指数 151 及以上，不适合进行旅游等户外运动，以下是我市 2013 年 3 月中旬的空气质量指数情况： 时间 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 49 143 251 254 138 55 69 102 243 269 （ 1）求 3 月份 市民不适合进行户外活动的概率？ （ 2）一外地游客在 3 月份来我市旅游，想连续游玩两天，求适合旅游的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）由题意得 3 月中旬空气质量指数 151 及以上的天数有 4 天，由此能示出 3 月份市民不适合进行户外活动的概率 （ 2）由题意，得 3 月中旬空气质量指数连续两天不到 151 的情况有 4 种，由此能求出一外地游客在 3 月份来旅游，想连续游玩两天，适合旅游的概率 【解答】 解：（ 1）由题意得 3 月中旬空气质量指数 151 及以上的天数有 4 天， 3 月份市民不适合进行户外活动的 概率 p= = （ 2）由题意，得 3 月中旬空气质量指数连续两天不到 151 的情况有 4 种， 基本事件空间 =（ 11， 12），（ 12， 13），（ 13， 14），（ 14， 15），（ 15， 16），（ 16， 17），（ 17，18），（ 18， 19），（ 19， 20） ， 一外地游客在 3 月份来旅游，想连续游玩两天， 适合旅游的概率 p= 第 13 页（共 19 页） 19如图所示，边长为 2 的正方形 在的平面与 在的平面交于 平面 （ 1）求证；平面 平面 （ 2）求几何体 A 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由 平面 平面 是平面平面 （ 2）由 平面 用勾股定理计算 出 S 平面知 平面 B S B 【解答】 证明：（ 1） 平面 面 四边形 正方形， 面 面 E=A， 平面 面 平面 平面 解：（ 2） 平面 面 = S = 平面 平面 B S B= 20设椭圆 C： =1（ b 0）经过点（ ， ），且原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆 C 恒有两个交点 A， B且 ？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （ 1）由原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形，可得 b=c由椭圆 C： =1（ b 0）经过点（ ， ），可得 =1，与 a2=b2+立即可得出 （ 2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆 C 恒有两个交点 A， B且 设圆的方程为： x2+y2= 0 r 2）设圆的切线为 y=kx+m，可得 =r， A（ B（ 与椭圆方程联立化为：（ 1+28=0，利用根与系数的关系及其 ，可得 =化简整理即可得出 【解答】 解：（ 1） 原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形， b=c， 椭圆 C： =1（ b 0）经过点（ ， ）， =1， 联立 ，解得 b=c=2， 椭圆 E 的方程为 =1 （ 2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆 C 恒有两个交点 A， B且 设圆的 方程为： x2+y2= 0 r 2） 设圆的切线为 y=kx+m，则 =r， A（ B（ 联立 ，化为：（ 1+28=0， 0，可得： 9 x1+， ， = （ 1+x1+， +， 化为： 3+8 =r 联立， 第 15 页（共 19 页） 可得 = = 4， 因此假设成立，存在圆心在原点的圆，方程为 x2+，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆 C 恒有两个交点 A， B，且 21已知函数 f（ x） = 2a 1） x （ 1）若 a= ，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 x 1， +）时恒有 f（ x） a 1，求 a 的取 值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求得 f（ x）的解析式，求出导数，令 g（ x） =1+x，求出导数，单调区间和最大值，即可得到 f（ x）的单调区间； （ 2）当 x 1 时， f（ x） a 1，即为 2a 1） x a 1，讨论 x=1 和 x 1，由参数分离和构造函数 g（ x） = x 1）（ x 1） 2（ x 1），求出导数和单调性，即可判断 g（ x）的单调性，可得 a 的范围 【解答】 解：（ 1） a= 时， f（ x） =x 0 f（ x）的导数为 f（ x） =1+x， 令 g（ x） =1+x， g（ x） = 1， 当 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）递减；当 0 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）递增 即有 g（ x）在 x=1 处取得极大值，且为最大值 0 则 g（ x） 0，即 1+x 0， 即 f（ x） 0，则 f（ x）在（ 0， +）递减 综上可得， f（ x）的减区 间为（ 0， +），无增区间； （ 2）当 x 1 时， f（ x） a 1， 即为 2a 1） x a 1， 当 x=1 时，上式显然成立 当 x 1 时，可得 a 由 1= ， 设 g（ x） = x 1）（ x 1） 2（ x 1）， g（ x） =1+1 2（ x 1） =2（ x 1）， 由 g（ x） = 2 0 在 x 1 恒成立， 可得 g（ x）在（ 1， +）递减，可得 g（ x） g（ 1） =0， 即 g（ x）在（ 1， +）递减，可得 g（ x） g（ 1） =0， 则 1 成立， 第 16 页（共 19 页） 即有 a 1 即 a 的范围是 1， +） 选修 4何证明选讲 22如图所示， 圆于 E， C 两点， 圆于 D， G 为 一点且 D，连接 ，作弦 直 足为 F （ 1）求证： （ 2）若 D， ，求弦 长 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角形的性质 【分析】 （ 1）由已知 D，得到 切割弦定理得到 一步得到 而 后可得 0，说