第六章柱形体的扭转

第六章柱形体的扭转,柱体的扭转是工程中广泛存在的一类实际问题。材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平面假设。对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平面，即截面产生翘曲。对两端承受扭矩的等截面直杆，如截面的翘曲不受限制，这类扭转称为自由扭转；如截面的翘曲受到限制，则称为约束扭转。约束扭转条件下，杆中会产生附加正应力。本章讨论任意截面柱形杆的自由扭转。,空间问题的基本方程：,平衡方程,几何方程,(1),(2),物理方程,各种弹性常数之间的关系,(3-a),(3-b),相容方程,(4-a),(4-b),=,-,+,z,w,y,x,z,y,x,z,xy,zx,yz,2,2,g,g,g,边界条件：,位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，z方向给定位移为，则,应力边界条件：给定表面上的面力为,(5-a),(5-b),6-1等截面直杆的扭转,设等截面直杆，体力不计，在两端平面内受到转向相反的两个力偶矩M作用。,取杆上端面为xOy面，Oz轴向下。,x,y,M,M,O,z,x,y,O,-dx,dy,ds,分析：由材料力学结果，柱体在扭转时，纵向纤维间无挤压，也不伸缩，则：,只有横截面上存在剪应力。体力为零。,（6-1）,将（6-1）式代入平衡方程(1)，得,由前两式可知和应只是x和y的函数，不随z变化。,第三式可写成,必存在某一函数，使得：,（6-2）,称为扭转问题的应力函数，,将式（6-1），式（6-2）代入相容方程（4-b），前四式自然满足，其余两式为,将式（6-2）代入，得,由上式可知，应为常数，即,（6-3）,（一）边界条件分析,1.在杆的侧面上，有n=0及面力，将式（6-1）代入应力边界条件（5-b）中，可见前两式自然满足，第三式为,由式（6-2）代入，且在边界上有，则,即在杆的侧面上（横截面的边界上），应力函数所取的变界值应当是常数。,由式（6-2），在应力函数上加减一个常数，对应力分量没有影响。故在单连通截面（即实心杆）的情况下，可取,（6-4）,对多连通截面（即空心杆）的情况，应力函数在每一个边界上都是常数，但各常数一般不相同。只能把其中的一个边界上的取为零。,x,y,s0,s1,s2,sn,通常取外边界s0的，即,jj为其他边界的待定常数。,2.在杆的任一端面，l=m=0，n=-1，由应力边界条件式，有,在两端面，面力合成力偶矩M，所以有：,x,y,O,A,B,为截面边界上A，B点的值，等于零。故合力条件式自然满足。,（6-5）,对多连通截面，设内部各边界所围截面积为，各边界上的值为,（6-6）,同理：,小结：对于扭转问题，只需式（6-3）和式（6-4）求出应力函数，并由扭矩公式（6-5）或（6-6）定出所含的待定常数，再由式（6-2）求出应力分量。,（6-3）,（6-4）,（6-5）,（6-2）,（二）扭转位移,将式（6-1）（8-2）代入物理方程（3-a），得,（6-7）,代入几何方程（2），得,通过积分运算，如不计刚体位移，得位移分量为,K的几何意义：,x,y,O,A,B,b,a,m,m,在垂直于Oz轴的截面上取任一点m(x,y)，变形后位移到m点。令q为单位长度扭转角，a为总扭转角。得,比较式（6-7）和（6-8）得：,（6-8）,（6-9）,几何方程,将式（6-8）代入上式的后两式，得,（6-10）,将上式分别对x,y求导，然后相减，得,（6-11）,即式（6-3）中的常数C为：,（6-12）,6-2椭圆截面杆的扭转,1.求应力函数,x,y,O,a,b,用逆解法，由式（6-4），设应力函数,M为待定常数，将式（b）代入式（6-3）得,(a),(b),则,设椭圆截面边界方程为：,(d),将式代入式（6-5）得,(c),因为,得,(f),(e),2.求应力分量,将式（f）代入式（6-2），得,(6-13),截面上任一点的合剪应力为,最大剪应力发生在短半轴的两端,最小剪应力发生在长半轴的两端,x,y,O,3.求位移分量,由式(6-12)和式（e），得,(6-14),代入式(6-8)，得,将式(6-15)和式（f）代入（6-10），积分后可得,(6-15),(6-16),6-3空心圆截面杆的扭转,设空心圆截面杆，外半径为a，内半径为b,x,y,a,b,取应力函数,侧面边界条件,端面边界条件,代入应力函数式，再求应力分量和位移分量（略），结果与材料力学相同。,6-4带半圆槽的圆截面杆的扭转,半径为a的圆截面杆，具有半径为b的半圆键槽，求扭转应力。,x,y,O,半径为b的半圆键槽方程为,r,半径为a的大圆方程（除原点O）,b,整个边界方程可表示为,A,B,或：,最大剪应力在A点，A（b，0)，得,x,y,O,r,b,A,B,B（2b，0）点的剪应力,当ba,有一很小半圆槽时，槽底的最大剪应力是无槽圆轴最大剪应力的两倍。,6-5等边三角形截面杆的扭转,等边三角形截面如图，,2a,A,x,y,三条边的方程分别为,AC边AB边BC边,B,C,O,截面边界方程：,设应力函数,6-5矩形截面杆的扭转,矩形截面等直杆，截面宽为b，长为a，,a/2,a/2,b/2,b/2,可分为两种情况：,狭长矩形截面：ba可组成开口薄壁截面杆，如：角钢，槽钢，工字钢等。2.一般形状：内燃机曲轴的曲柄，机械中的方截面轴等,一.狭长矩形(bb，即,由式（6-5）,通常将最大剪应力简写为,由上式可求单位扭转角。,与矩形截面的边长a和b的比值有关，其值列在下表中。,系数与a/b的关系,狭长矩形截面,对截面形状复杂的柱体的扭转，得到精确解相当困难。普朗特尔提出了薄膜比拟法来解决复杂截面的扭转问题。薄膜比拟法是求解扭转问题的一种实验方法。该方法的成立是由于柱体的扭转和四周张紧的受均匀压力的弹性薄膜遵循相同的数学规律。比拟的条件是二者的微分方程和边界条件相同。,6-6薄膜比拟,设有一均匀薄膜，张在一个水平边界上（边界形状和扭转柱体截面形状相同或成比例）。,x,x,y,dx,dy,O,T,q,z,在微小均匀压力作用下，薄膜产生垂度z（x,y），,薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和面内压力，只能承受均匀拉力T,在薄膜中取微单元abcd，其投影为矩形，边长为dx，dy；其上作用有侧向压力q和张力T。,dx,dy,a,d,b,c,微单元在Oz轴方向的平衡：各边的拉力及其在Oz轴上的投影：,dx,dy,a,d,b,c,T,压力在Oz轴上的投影为,薄膜平衡方程：,即,在边界上，薄膜垂度为零,扭转应力函数：,边界条件,或,或,和,服从同样的微分方程和边界条件，必得同样的解。,即,或,薄膜与边界平面间的体积为V，则,令,则：,应力分量:,扭转问题和薄膜问题的对应关系,等高线,6-7薄壁杆件的扭转,教材8-10,8-11(自学),6-8等截面直杆的弯曲(补充),第4章介绍了平面问题下梁的弯曲，本节介绍空间条件下等截面直杆的弯曲问题。,仍利用材料力学的结果，先假设部分应力分量，然后再求解其他应力分量。该解法与解扭转问题的半逆解法相同。,设任意形状等截面的悬臂梁，在自由端受力P作用，力P通过自由端截面的弯曲中心，并与形心主轴Ox平行，坐标原点在固定端截面的形心位置。,z,y,x,x,o,P,P,e,l,z,o,利用材料力学中的部分结果，设梁无横向挤压，则,利用材料力学中的部分结果，设梁无横向挤压，则,并设,(1),式中J为截面对Oy轴的惯性矩。,将式（1）代入平衡方程，不计体力，得,(2),仅是x,y的函数,由式（1）,将应力分量和体积应力代入相容方程，前四式恒满足，第五和第六式为：,(3),边界条件：,杆侧面无外力，且,边界条件前两式恒满足，第三式为,(4),结论：,求解上述等截面直杆弯曲问题可归结为求应力分量和，在梁内满足式（2）及式（3），在侧边界上满足式（4）。,引入应力函数，使,代入式（2）第三式，有,积分,代入式（4），有,(5),(6),积分得,C为积分常数，该常数和悬臂梁的扭转有关。,证明略,本问题中，P的作用线通过弯曲中心，对悬臂梁不产生扭转，故：C=0。,(7),边界条件,将式（5）、式（6）代入上式，且,得,整理后,为使边界上的f值简单，可选任意函数f(y)在侧边界上满足,得侧面无外力作用的边界条件为,或,同理，对单连通域，可取,(8),结论：,求解上述等截面直杆弯曲问题可简化为在边界条件（8）下，由微分方程（7）求解