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九上第一章特殊的平行四边形,一:分类复习,有一组的叫做,邻边相等,平行四边形,A,D,C,B,四边形ABCD是平行四边形AB=BC四边形ABCD是菱形,菱形,一:菱形,菱形的性质,菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。,菱形的四条边相等,菱形是轴对称图形,也是中心对称图形,菱形具有平行四边形的一切性质;,(1)菱形具有平行四边形的一切性质;,(2)菱形的四条边都相等;,(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;,菱形的性质,(4)菱形是轴对称图形,也是中心对称图形,1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积。,分析:,菱形的面积公式,在任意四边形ABCD中,对角线ACBD,且AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少?,=,BDAO,+,BDCO,=,BD(AO+CO),=,BDAC,=,1018=90,解:,答:四边形ABCD的面积是90。,2、如图,菱形花坛ABCD的周长为80m,ABC60度,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积(分别精确到0.01m和0.1m2),练一练,1.菱形的定义:是菱形2.菱形的性质:菱形的四条边,菱形的对角线,并且每一条对角线一组对角.3.下列说法不正确的有(填番号)菱形的对边平行且相等.菱形的对角线互相平分菱形的对角线相等.菱形的对角线互相垂直.菱形的一条对角线平分一组对角.菱形的对角相等.4.菱形的面积公式:.5.菱形既是图形,又是图形.,有一组邻边相等的平行四边形,9.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点,已知AB5cm,AO=4cm,求两对角线AC、BD的长。,菱形常用的判定方法:1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形.,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有四条边相等的四边形是菱形。,1.判断下列说法是否正确?为什么?(1)对角线互相垂直的四边形是菱形;(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形;(4)两条邻边相等,且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形,2.ABCD的对角线AC与BD相交于点O,(1)若AB=AD,则ABCD是形;(2)若AC=BD,则ABCD是形;(3)若ABC是直角,则ABCD是形;(4)若BAO=DAO,则ABCD是形。,菱,矩,矩,菱,3.下列命题中正确的是()A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形,C,4.对角线互相垂直且平分的四边形是()A.矩形B.一般的平行四边形C.菱形D.以上都不对,C,5.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是()A.ACBD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且ACBDD.AB=CD,AD=BC,ACBD,C,1.如图,AD是ABC的角平分线,DEAC交AB于点E,DFAB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗?说明你的理由。,习题巩固:,四边形AEDF是菱形理由:DEACDFAB四边形AEDF是平行四边形DEAC2=3AD是ABC的角平分线1=2AE=DEAEDF是菱形,2.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DEAC,CEBD.求证:四边形OCED是菱形,3.如图,ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CEAB交MN于点E,连接AE、CD.求证:四边形ADCE是菱形,B,C,N,如图,RtABC中,ACB=900,BAC=600,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于E,又点F在DE的延长线上,且AF=CE,求证:四边形ACEF是菱形。,如下图在ABC中,BAC90,ADBC于D,CE平分ACB,交AD于G,交AB于C,EFBC于F,四边形AEFG是菱形吗?,2.如图,已知在ABCD中,AD=2AB,E、F在直线AB上,且AE=AB=BF,证明:CEDF.,习题巩固:,连接MN,矩形的性质,矩形的对边平行且相等.,对称性,矩形是轴对称图形,也是中心对称图形.,二:矩形,矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形.,1.填空:(1)矩形的定义中有两个条件:一是_,二是_.(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为_、_、_、_。(3)已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120,则矩形的边长分别为_cm,_cm,_cm,_cm。,有一个角是直角,平行四边形,60,60,120,120,5,5,2.下列说法错误的是()A.矩形的对角线互相平分。B.矩形的对角线相等。C.有一个角是直角的四边形是矩形。D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有()A.2对B.4对C.6对D.8对,C,B,4.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1),使AB=CD,EF=GH(2)摆放成如图(2)的四边形,则这时窗框的形状是,根据的数学道理是(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图3)调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)说明窗框合格,这时窗框是,根据的数学道理是,平行四边形,两组对边分别相等的,矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,四边形是平行四边形,5.用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面,则每块长方形地砖的长和宽分别是()A.48cm,12cmB.48cm,16cm;C.44cm,16cmD.45cm,15cm.,D,矩形的判定方法:,1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。,2、对角线相等的平行四边形是矩形。,3、有三个角是直角的四边形是矩形。,对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的,而3是直接在四边形的前提下判断的。,1、下列各句判定矩形的说法是否正确?,(1)有一个角是直角的四边形是矩形;()(2)四个角都相等的四边形是矩形;()(3)对角线相等的四边形是矩形;()(4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;()(5)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;()(6)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形(),应用,应用新知,要判定一个四边形是矩形,通常先判定它是平行四边形,再根据平行四边形构成矩形的条件,判定有一个角是直角或者对角线相等。,1、下列说法正确的是()(A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形(C)对角线互相平分的四边形是矩形(D)对角互补的平行四边形是矩形2、满足下列条件()的四边形是矩形.(A)有三个角相等(B)有一个角是直角(C)对角线相等且互相垂直(D)对角线相等且互相平分,3、已知:如图,在平行四边形ABCD中,E为CD中点,三角形ABE是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形。,定义:一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,正方形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。,角:四个角都是直角,图形的对称性:既是轴对称图形,又是中心对称图形.,正方形的性质,正方形的判定方法:,(可从平行四边形、矩形、菱形为基础),定义法,四条边相等,四个角都是直角,对角线互相垂直、平分且相等,以四边形为基础:,既是菱形又是矩形的四边形是正方形。,小结,5种识别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形()(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形()(3)如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形()(4)如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它一定是正方形()(5)四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形(),判断题:,(6)正方形一定是矩形()(7)正方形一定是菱形()(8)菱形一定是正方形()(9)矩形一定是正方形()(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形(),(12)正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(),(13)四个角都相等的四边形是正方形()(14)四条边都相等的四边形是正方形(),正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质()A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.,B,D,选择题:,3、下列命题正确的是()A、四个角都相等的四边形是正方形B、四条边都相等的四边形是正方形C、对角线相等的平行四边形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,4四个内角都相等的四边形一定是()A、正方形B、菱形C、矩形D平行四边形,5在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是:()AAOBOCODO,ACBDBADBCACCAOCOBODOABBCDACBD,C,A,6四个内角都相等,四条边也都相等的四边形一定是:()A正方形B菱形C矩形D平行四边形,A,7、如图:正方形ABCD的周长为15cm,则矩形EFCG的周长为cm。,7.5,8.已知:正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O,且AB2cm,则AC=,正方形的面积S=_.,2,2,4,6,36,9.已知:在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC6cm,面积S=_.则边长AB_,10、已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O。,若AB=BC,则四边形ABCD是()若AC=BD,则四边形ABCD是()若BCD=900,则四边形ABCD是()若OA=OB,则四边形ABCD是()若AB=BC,且AC=BD,则四边形ABCD是(),菱形,矩形,矩形,矩形,正方形,如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,那么,BE和DE相等吗?为什么?,解:BE=DE.因为对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴,而点E在对称轴上,点B为点D关于AC的对称点,所以BE=DE,例1、如图,正方形ABCD中,AC、BD相交于O,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N,求证:BMCN。,证明:,OAOMOBON,OMON,OMN13ONM45,又MNAB,12345,OAOBAB=BC,四边形ABCD是正方形,即:AM=BN,ABMBCN,BM=CN,例2、直角三角形ABC中,CD平分ACB交AB于D,DEAC,DFAB。求证:四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形(),DE=DF(),DEAC,DFBC,CD平分ACB,四边形ABCD为矩形(),而ACB=90,DEC=90,DFC=90,证明:DEAC,DFAB,有三个角是直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,1、如图,在AB上取一点C,以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证:(1)ACFDCB(2)BHAF,练习,1:BC=FC,1=2,AC=DC,2:由1得:3=HBC,又HDF=CDB,CBD+CDB=90FDB=1803HDF=90,2、如图(6),ABC的外面作正方形ABDE和ACFG,连结BG、CE,交点为N。求证:CEAABG,证明:四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BACEACBAGAECABG(SAS)CEAABG,3、在正方形中,点,分别在,上,且.四边形是正方形吗?为什么?,4、如图,点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上,BE=CF,探索图中AE与BF的关系。,5、如图,在正方形ABCD中,E在BC的延长线上,且CE=AC,AE交CD于F,则求AFC的度数。,6、已知:如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,AE平分BAD交BC于点E,连接OE,若EAO=150,求BOE的度数。,7、在正方形ABCD中,AC=10,P是AB上任意一点,PEAC于点E,PFBD于点F,求PE+PF的值。,因为是正方形若对角线AC、BD交于点O那么AO=AC的一半=5BAC=45ACBD又PEACPFBD四边形PEOF为矩形PF=OE在三角形APE中PAE=45AE=PEPE+PF=AE+OE=AO=5,8、如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一个动点,求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,在BC中取P,使BP=2,连DP,则DP是DN+MN的最小值证明:因为ABCD是正方形,所以AC平分角BCD而CP=CM=8-2=6所以,AC垂直平分MP所以,MN=NP所以,DN+MN=DN+NPD,N,P在同一条直线时,DN+NP最小所以:DP是DN+MN的最小值DN+MN的最小值=DP=(CD+CP)=(8+6)=10,8、如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一个动点,求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,9、已知,如图在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为点D,AN是ABC外角CAM的平分线,CEAN垂足为点E,,求证:四边形ADCE是矩形。,当ABC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形,说明理由。,10、如图B、C、E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与CEFG是正方形,连接BG、DE,(1)观察、猜想BG与DE之间的大小关系,并说明理由。,(2)正方形CEFG在绕点C旋转过程中,BG与DE之间的关系是否仍然成立。,11、如图,M为正方形ABCD边AB的中点,E是AB延长线上一点,MNDM,且交CBE的平分线于点N。,(1)求证:MD=MN,(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”,其它条件不变,问结论MD=MN是否仍然成立。,F,P,思考题:如图正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是另一个正方形OEFG的一个顶点,若正方形OEFG绕点O旋转,在旋转的过程中.,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于MN,试判断线段AM于BN之间的关系.,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化?并说明理由。,探究四:如图,有两个大小不等的两个正方形,其中小正方形的面积是大正方形面积的一半,若阴影部分的面积为8,则小正方形的

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