估计的回归方程.ppt

应用统计,第十一章一元线性回归,第11章一元线性回归,11.1变量间关系的度量11.2一元线性回归11.3利用回归方程进行估计和预测11.4残差分析,学习目标,1.变量相关性的分析方法简单线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行估计和预测用Excel进行回归,11.1变量间关系的度量,11.1.1变量间的关系11.1.2相关关系的描述与测度11.1.3相关系数的显著性检验,变量间的关系,相关分析,函数关系,1函数是指现象之间是一种严格的确定性的依存关系。表现为某一现象发生变化另一现象也随之发生变化，而且有确定的值与之相对应。2例如，银行的1年期存款利率为年息1.98，存入的本金用x表示，到期本息用y表示，则y=x+1.98%x（不考虑利息税）；再如，某种股票的成交额Y与该股票的成交量X、成交价格P之间的关系可以用Y=PX来表示，这都是函数关系,函数关系,各观测点落在一条线上,相关关系(correlation),变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个各观测点分布在直线周围,相关关系(几个例子),相关关系的例子父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食亩产量y与施肥量x1、降雨量x2、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系,相关关系(类型),按照相关关系涉及变量（或因素）的多少分为:单相关、复相关、偏相关；按照相关形式不同分为：线性相关、非线性相关；按照相关现象变化的方向不同分为：正相关负相关。按相关程度分为：完全相关、不完全相关、不相关,相关关系(类型),相关关系的描述与测度(散点图),相关分析及其假定,相关分析要解决的问题变量之间是否存在关系？如果存在关系，它们之间是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定两个变量之间是线性关系两个变量都是随机变量,散点图(scatterdiagram),散点图(例题分析),【例1】某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见表,散点图(例题分析),散点图(例题分析),【例2】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据,散点图(例题分析),散点图(例题分析),相关关系的描述与测度(相关系数),协方差(Covariance),协方差(Covariance),协方差(Covariance),不相关,相关系数(correlationcoefficient),对变量之间关系密切程度的度量对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为r也称为线性相关系数(linearcorrelationcoefficient)或称为Pearson相关系数(Pearsonscorrelationcoefficient),相关系数(计算公式),样本相关系数的计算公式,或化简为,相关系数(取值及其意义),性质1：r的取值范围是-1,1|r|=1，为完全相关;r=1，为完全正相关;r=-1，为完全负正相关r=0，不存在线性相关关系-1r0，为负相关;0r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切一般可按三级划分：|r|0.4为低度线性相关；0.4|r|F,拒绝H0；若FF,拒绝H0，线性关系显著,线性关系的检验(方差分析表),Excel输出的方差分析表,回归系数的检验,在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验,检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著,理论基础是回归系数的抽样分布,回归系数的检验(样本统计量b的分布),是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于未知，需用其估计量syx来代替得到的估计的标准差,回归系数的检验(检验步骤),提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b10(有线性关系)计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策tt，拒绝H0；tt=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有线性关系,对例题的回归系数进行显著性检验(0.05)提出假设H0：b1=0H1：b10计算检验的统计量,回归系数的检验(例题分析),P值的应用,P=0.000000=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷款余额之间有线性关系,回归分析结果的评价,建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手所估计的回归系数的符号是否与理论或事先预期相一致在不良贷款与贷款余额的回归中，可以预期贷款余额越多，不良贷款也可能会越多，也就是说，回归系数的值应该是正的，在上面建立的回归方程中，我们得到的回归系数为正值，如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此在不良贷款与贷款余额的回归中，二者之间为正的线性关系，而且，对回归系数的t检验结果表明而这之间的线性关系是统计上显著的,回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题在不良贷款与贷款余额的回归中，得到的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图,回归分析结果的评价,Excel输出的部分回归结果,利用回归方程进行估计和预测,利用回归方程进行估计和预测,根据自变量x的取值估计或预测因变量y的取值估计或预测的类型点估计y的平均值的点估计y的个别值的点估计区间估计y的平均值的置信区间估计y的个别值的预测区间估计,点估计,2.点估计值有y的平均值的点估计y的个别值的点估计在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同,对于自变量x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计值,y的平均值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0，求出因变量y的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得,y的个别值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0，求出因变量y的一个个别值的估计值，就是个别值的点估计例如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得,区间估计,点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计对于自变量x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间区间估计有两种类型置信区间估计(confidenceintervalestimate)预测区间估计(predictionintervalestimate),置信区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0，求出因变量y的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间(confidenceinterval)E(y0)在1-置信水平下的置信区间为,式中：syx为估计标准误差,置信区间估计(例题分析),【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%置信水平下的置信区间解：根据前面的计算结果，已知n=25，syx=1.9799，t(25-2)=2.069置信区间为,当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间,预测区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0，求出因变量y的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(predictioninterval)y0在1-置信水平下的预测区间为,预测区间估计(例题分析),【例】求出贷款余额为72.8亿元的那个分行，不良贷款95%的预测区间解：根据前面的计算结果，已知n=25，syx=1.9799，t(25-2)=2.069预测区间为,贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766亿元到6.1366亿元之间,置信区间、预测区间、回归方程,11.4残差分析,11.4.1残差与残差图11.4.2标准化,残差与残差图,残差(residual),因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差可用于确定有关误差项的假定是否成立用于检测有影响的观测值,残差图(residualplot),表示残差的图形关于x的残差图关于y的残差图标准化残差图用于判断误差的假定是否成立检测有影响的观测值,残差与标准化残差图(例题分析),残差图(形态及判别),(a)满意模式,残差,x,0,残差图(例题分析),标准化残差,标准化残差(standardizedresidual),残差除以它的标