客观、合理的评价学生学习状况的数学模型

客观、合理的评价学生学习状况的数学模型摘要：测试成绩对于学生、教师和教育管理者都很重要。以测试成绩的高低来评价一个学生的学习优劣是传统教育中的一种重要手段。但是，由于现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异以及测试成绩本身的局限性，只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用，因此，我们那需要建立一种更合理，科学的评价学生学习状况的体系。基于以上考虑，本文试图通过以下几个方面的建模来达到目的：问题一：学生成绩整体情况评价：我们认为学生的整体情况包括每个学期整体的平均成绩、及格率、最高分、最低分、方差、标准差等多项指标有关，通过对所给数据的计算，并结全图表，我们对学生的整体情况进行全面、直观的说明，得出学生的整体情况为：四个学期的成绩主要分布在6090分之间，76%同学成绩均在良好分数线以内，及格率也始终保持在90%以上，整体成绩良好。问题二：对于全面、客观、合理的评价学生的学习状况，我们采用了二个模型：1、模糊层次分析模型：首先，为了体现学生成绩进步在整体评价中的作用，学生每个学期的成绩和进步情况。通过模糊层次分析方法得出最后求出各个因素的权重向量为：接着利用模糊层次分析方法得出学生学习状况的综合评定指标如下：2、 成绩标准化模型：采用对数变换将负偏态的成绩分布正态化，并用Matlab进行了正态检验。从而学生成绩的差距分布更为合理，成绩偏低的学生变换后将处于中等位置，得到适当的鼓励，改变了负偏态分布中较多学生成绩集中在高分段或低分段的现象。然后，将正态分布归一化为标准正态分布，消除每个学期评价考核体系的不稳定性因素，得到每个学生各学期的“有效成绩”。并基于有效成绩提出了等级评定子模型，确定了等级分数线，更清楚的表明了每个学生在整体是的位置。 问题三：我们采用了两个模型来预测学生后两个学期的学习情况1、 多元线性回归预测模型：分析了四个学期数据的相关性，证明可以运用多元线性回归模型预测，并得到有较好精度的数据。2、 灰色预测模型：用matlab编程实现了GM(1,1)预测过程，并得到了有很好精度的预测数据。分析结果表明上述评价模型建立是合理、客观和全面的，综合运用以上模型能够对学生成绩进行有效地分析与预测。最后，我们给出了所有模型的优缺点，及推广应用，并就多元线性回归模型与灰色预测模型提出了改进的方法关键词：模糊层次分析 成绩标准化 有效成绩 多元线性回归 灰色预测模型 多元线性回归改进 GM（1,1)的改进一、问题的重新提出学生的学习状况是体现学生的学习能力和评价学校教学质量的一个重要指标，因此客观、合理的评价学生学习状况建立一种科学的评价方法是十分重要的。目前，世界上通用两种评分制度，一种是原始分制度，一种是标准分制度。通过评价学生学习状况可以激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了学生自身基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。所以简单的通过分数来评价学生的学习状况是不合理的。因此，建立合理的数学模型来解决这类问题是势在必行的 ，根据题意，本文要解决的问题有：1.请根据附件数据，对612个学生的整体情况进行分析说明；2.请根据附件数据，采用两种及以上合理的数学模型，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；3.试根据不同的评价模型，预测这些学生后两个学期的学习情况。二、模型的基本假设1假设影响学生成绩的因素主要有真实成绩与进步程度；2假设附件数据中的两个零是由特殊情况所致；3. 假设附件中所给数据为学生真实考试成绩；三、符号说明 学生第学期的成绩 学生每学期的进步程度 学生的综合评定指数 为实际学习成绩 为学习成绩进步度 表示第个学生第学期的成绩 表示第个学生第学期的进步度四、模型的分析、建立与求解问题一：学生成绩总体分析首先，利用附件所提供的数据进行统计分析，得到了学生成绩总体分布的情况。再运用Excel来对这些数据进行加工处理与计算，可知612名学生的四个学期的成绩数据都完好。数据处理时把成绩分为四个等级，80分及以上的为优秀，70分到80分之间的为良好，60分到70分之间的为合格，小于60分的为不及格。则从处理结果可以看出，四个学期的学习成绩总体良好，每学期都约有接近50%的学生成绩为良好，每学期的及格率都在90%以上，平均成绩也均在73 分左右，中位数均在75 分左右，最高分也都在90分左右。利用Excel对所给学生的成绩进行数据分析与计算得到的表格如下：第一学期第二学期第三学期第四学期平均分72.74.73.75.最高分89.4590.90.89.625最低分24.34375016.250极差65.1062590.74.89.625中位数74.76.74.76.总分44402.2225345516.61044780.19845938.580方差90.112.81.104.标准差9.10.9.10.偏度-1.236-1.919-1.944-2.928优秀人数139207131194良好人数275246303287合格人数139109143105不及格人数59503526及格人数553562577586及格率90.36%91.83%94.28%95.75%通过上表，偏度值均为负值说明该分布为非正态分布并且偏度绝对值越来越大，说明偏离正态分布越严重，一方面表明评价体系难度减弱，另一方面还可能由于学生的整体水平的上升而导致的。峰度值均为正值，同时随着学期的增长越来越大，说明其尾部越来越粗，表明学生在高成绩部分分布数量增多。同时我们还可以得出以下结论：（1）、四个学期的总平均成绩为73.5左右，学生的总体学习情况良好。（2）、四个学期中，学生的及格率都在以上，说明大部分学生都能够投入学习当中；另一方面，学生的及格率不断增大。（3）、四个学期的平均分存在微小的差异，第一、第三学期的成绩分布比较集中，而第二、第四学期相对比较分散。再由上表在Excel中可以绘制出每个学期的成绩分布饼图，如下图所示： 图1 每个学期的成绩分布饼图由上图可知，四个学期的90分以上所占总人数的比率非常小，说明学校应该加大对优秀学生的培养；四个学期中，均有部分学生成绩在60分以下，需要学校对这部分学生进行基础培养，以在后两学期内提高成绩。四个学期的成绩主要分布在6090分之间，76%同学成绩均在良好分数线以内，及格率也始终保持在90%以上，整体成绩良好。这四学期的学习总体情况为：第四学期较前三个学期低分人数过多，但分布较为均衡，第二、第三学期成绩连续性较好。第一学期和第三学期学生成绩整体波动较小，而第二学期和第四学期学生成绩整体波动较大。同时，我们还对原始成绩分布进行频次分析，如图2中直方图所示。其中实线表示正态分布曲线。 图 2 原始数据的频次直方图容易看出，图1中四个学期的成绩频次直方图均明显偏离正态分布曲线，同时结合表一结论可以知道，四个学期的成绩数据分布呈现绩负偏态分布，而非平常我们所认为的正态分布。问题二 ：评价学生的学习状况模型一：模糊层次分析模型1. 模型准备：模糊层次分析法采用0.10.9标度法（见附录1）， 能够准确地描述任意两个因素之间关于某准则的相对重要程度。且由优先判断矩阵改造成的模糊一致矩阵满足一致性条件，无须再做一致性检验，另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问题，具体步骤如下：(1) .建立优先关系矩阵。优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵，即：其中表示下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系，采用0.1-O.9标度给予数量表示，且=1。(2).将优先关系矩阵改造成模糊一致矩阵。记做变换，将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵。(3). 根据，推导出各因素权重值。(4).将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重。(5).根据考评结果得出优劣次序。 2. 模型建立：3. (一).确立评价指标体系。将学生学习情况的评价层定为目标层，评价中主要涉及的两个方面定为准则层，以此建立如下表所示递节层次结构。表1 学生学习状况评价指标体系目标层准则层指标层学生学习情况综合评价A学生实际成绩第一学期成绩第二学期成绩第三学期成绩第四学期成绩学生成绩进步情况第一学期进步度第一学期进步度第一学期进步度(二).构造优先关系矩阵并计算各因素权重值。在层次结构表的基础上建立优先关系矩阵，然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下：A- B的优先关系矩阵： A-B模糊一致矩阵：-C的优先关系矩阵： 模糊一致矩阵： 的优先关系矩阵： 的模糊一致矩阵：由模型准备中的步骤（3）中的计算公式，我们取a=(n-1)/2,可以算的B层相对于A层，更因素权值为,C层相对于B层，各指标相对应上层相应因素的权值分别为：，（三）.将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重如下表所示： 准则 各指标 指标 0.4 0.6 权重 0.2000 0.0800 0.2333 0.0933 0.2667 0.1067 0.3000 0.1200 0.3000 0.1800 0.3000 0.1800 0.4000 0.2400对于学生学习状况的综合评定定量表示如下：（五）.再由各项指标结合附件中的数据以前20个学生为例，对他们成绩的综合评定如下表：由上表的计算结果可看出，5号同学的综合得分最高，为33.754，说明其学习状况在这20名同学中最好，而且其进步度逐渐增大，说明其学习越来越努力，成绩不断在提高。而8号同学的综合得分最低且为7.889，说明他在这20名同学中学习状况最差，成绩一直呈下滑趋势，老师应该采取必要的措施，帮助该同学尽快摆脱这种状况。所以，由以上模型，可以对所有的学生的四个学期的成绩进行综合评定，来说明他们的学习状况。优点：模糊层次分析法可以提高学生学习情况综合评价指标权重值的科学性和可信性，从而能够很好地反映学生的实际学习情况，避免了传统的将各项分数相加求和的不合理性做法，从而使教育管理者能更好的了解学生学习状态，有效的实施教学管理。缺点：此方法仍一定程度受主观因素的影响，各项指标权重的确定有待进一步的改进。模型二：成绩标准化模型2.1 原始成绩的标准化为了使得学生之间成绩的差距分布更为合理，原来成绩偏低的学生经过变换后处于中等位置，从而使他们会得到适当的鼓励，树立信心，不断进步，并改变负偏态分布中有较多同学集中在高分段或低分段的情况，激励成绩较低的学生努力学习取得更好的成绩，有必要将负偏态分布的学生成绩通过数学手段变换为正态分布，而且变换成正态分布后，还会对数据处理带来极大的方便。由于每个学期的评价体系存在一定的波动，例如考核中不可避免的难易程度的变化等因素会使各学期之间的同一学生成绩缺少一定的比较性。例如某学生第一学期的成绩为82 分，排名103 位。而第二学期为85 分，但是考虑到总体情况，第二学期考核偏易，排名112 位，导致该学生排名比第一学期下滑。为了消除这些学期之间的差异，为此将正态分布再经过变换为标准正态分布，使得同一学生在不同学期的成绩具有更可靠的可比性。由此我们最终得到了标准化的成绩，称之为“有效成绩”，并运用该成绩对学生的学生状况进行评价。下面讲述如何将原始成绩变换为标准化的成绩。第一步：原始成绩的正态化及其检验假设(i=1,2,612) 为612个学生的某一学期的原始成绩,由将偏态分布变换为正态分布的对数变换法，令：此时这些学生的变换成绩yi 满足正态分布。由于该函数是单调递减函数，原始成绩高的反而变换成绩低，为了与传统习惯保持一致，再经过下述变换 ， 此时的为正态化之后的成绩。从图3的频次直方图可以看出基本符合正态分布。为了进一步验证成绩分布是否为正态分布，我们用matlab进行了正态性检验，检验结果如图4所示，从图中可以看出实际观测值与期望值在中央横线的一段，坐标点落在中央横线附近，在中央横线的两端则有一定的偏离，但绝大部分偏离值均小于0.05，仅有个别点偏离较大。可见，学期14 的成绩呈现正态分布。图3 的频次直方图图4 四个学期的正态检验图第二步：将正态分布标准化由于已是正态分布，因而可由正态分布转化为标准正态分布的相关公式，将转化到服从标准正态分布，得： 定义有效成绩： i=1，2，612 其中均值为， 方差为2 =。此即我们所定义的有效成绩。下表是我们应用EXCEL，由四学期原始成绩计算的有效成绩(由于篇幅有限成绩列表均只列出部分成绩，计算过程 及其它见附件)。图4为有效成绩的频次分布直方图，可以看出它已很好的符合正态分布。表2：有效成绩学生序号学期1学期2学期3学期4总分10.-0.0.0.0.5766720.-0.0.-0.0.3-1.-1.0.-0.-2.7574641.0.0.0.3.50.0.0.0.2.60.-1.0.-0.-0.727526100.0.0.0.2.562456111.1.1.0.5.27467612-1.-0.0.1.-0.05389 此时应用有效成绩已经能够对学生的学习情况进行公平、合理的评价，因为原始分数没有比较的参照点，故而不可比。而有效成绩以学生整体的平均分数作为比较的基准，以标准差作为单位，而且它的基本形式都是平均数为零、标准差为1。因而无论不同学期成绩的平均分和标准差多么不同，一经转换为均值为零和标准差为1的标准分数，则不同学期成绩所处的相对地位是平行的，从而有了可比性。这时学生学习状况的评定不再是简单的绝对分的比较，名次的提高，也即进步成为了决定学生成绩的重要因素。从这些数据可以看出，有的同学总分排名较后，可有效成绩排名却来了个咸鱼大翻身，一跃进入前列，而且，有的同学标准分总分甚至出现负分，这就说明该考生的分数低于平均分。 图5 的频次直方图下面为了能够直观的了解不同学生成绩在整体中的位置，我们进一步对成绩进行等级评定。2.2 基于有效成绩的等级评定在将原始成绩化为符合标准正态分布的数据之后，我们将建立一种评分制度标准化分数为基础的成绩标准化评价模型。服从正态分布的数据概率曲线具有对称性，其数据按概率落人一定范围内，如下表所示。范围概率38%68%86%90%95%99%：为总体算术平均值 ：为总体标准差实际教学中，对考试成绩约定俗成地选用90分、80分、70分、60分作为等级分数线，评定成绩的优秀、良好、中等、合格与不台格。我们根据落入和内外的概率来确定成绩的等级，取落人内的概率为68，落入外的概率为10 ，落入余下的概率为22，则可确定优秀、不合格各占50 ，良好、台格各占11，中等占68。各等级的对应分数线为概率等级分数线（DP），经对数变换的成绩数据还原成原始分数，即为各等级的分数。经计算可得各等级分数线表，如下所示：学期等级学期1学期2学期3学期4优秀（5%）88.1388.3688.5088.90良好（11%）80.2582.3483.0084.00中等（68%）68.2569.5470.0070.68合格（11%）58.3058.0059.4659.50不合格（5%）58.30以下58.00以下59.46以下59.50以下以第一学期的为例，原始分数高于88.13的认定为优秀，而低于60.30的认定为不合格，但在这种评定标准中优秀与不合格所占比例较小，大部分的人集中在中等层次，从来相对于一般的评定标准更多的人上升到了合格或中等。但这一评定标准是建立在整体成绩为正态分布的基础上的，从而当出现因为试卷人为的过于简单而了导致大量学生的成绩偏高时，运用该评定方法则可以提高不合格或合格的分数线，维持整体的正态分布，从而保证了评价的合理、公平。问题三：预测学生后两学期的学习状况模型一：多元线性回归法预测模型先算得四个学期的成绩之间的相关系数如下表所示：学期1学期2学期3学期4学期11.0000.76420.71120.6200学期20.76421.0000.68770.6511学期30.71120.68771.0000.7745学期40.62000.65110.77451.000由上表数据可发现，相关系数均大于0.5，说明不同学期之间的成绩具有高相关度，说明可以进行线性回归预测。假设同学成绩无太大的波动性，波动范围合理。 记为第i个学生第j学期的预测成绩，建立如下多元线性回归方程： 利用附件提供的前三个学期的成绩，可以算得第四个学期的成绩的预测值，所以，用最小二乘拟合求解系数a,b,c,d.。再分别取j=5和j=6，就可以预测算得第5，6学期的学生成绩。运用MATLAB软件对这些数据进行分析系数的求解(程序见附件),所得回归方程为 从上式可发现，系数值依次递减，说明第4 学期的成绩受第3学期影响最大，随时间差的增大，影响力减小。图6给出了采用前三学期原始成绩预测的第四学期成绩的残差，可见大部分预测值与真实值之间的偏差小于10 分，只是对于极少部分成绩较差的学生预测的偏差还较大，因为这部分同学的成绩波动较大，不能按照线性回归来预测其成绩。为了更精确的预测学生成绩，我们剔除一些成绩波动较大的学生的成绩，然后再次进行多元线性回归预测。如成绩变化太过悬殊及出现成绩为0的都先不考虑。最终我们剔除了序号为8，11，26，43，62，67，90，121， 181，231，249，264，267，273，288，301，307，466，491，536，557，565这些同学的成绩数据，再求解线性回归方程的系数，求得的多元线性回归方程如下并得残差分析图7：（求解的程序见附件） 运用此式可以计算出第5，6学期的学生成绩，如下表：学生序号第5学期成绩第6学期成绩177.87179.008277.91578.552371.63773.403480.73681.620582.47383.219675.49676.55760982.08182.97261081.61182.07761184.25285.00861274.80576.412 图6：未剔除数据前的多元线性回归预测的残差图图7：剔除部分波动较大的数据之后的多元线性回归残差图由图7可以明显发现预测值与真实值之间的偏差几乎都小于10 分，没有波动很大的成绩出现，说明该线性回归的精度在一定程度上满足要求。由下表的数据，可看出学生总体的成绩是在不断提高的，成绩为优秀和良好的同学占得比例越来越大，同时不及格的同学正在逐渐减少，学生总体的学习状况良好。再利用Excel对所预测的学生成绩进行数据分析与计算得到的表格如下：第5学期第6学期平均分77.19578.389最高分87.95787.944最低分29.67336.781极差58.28451.163中位数77.62178.845总分45158.86845857.280方差41.51332.166标准差6.4435.672偏度-0.4356-0.3725 从以上的数据分析来看，在不考虑极少部分成绩很不稳定的同学的前提下，该模型能够很好的预测学生的5，6学期的成绩，由此来说明其学习状况。模型二：改进的灰度模型GM(1,1)预测成绩模型1.模型说明：灰色模型法由于具有所需数据少、计算量小的优点而得到了广泛的应用。部分信息已知、部分信息未知的系统称为灰色系统,灰色系统理论是企业界较实用的一种预测方法。灰色系统理论把一切随机过程看作是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程，将离散的原始数据整理成具有规律性的生成数列，然后再进行研究。对灰色过程建立的模型称为灰色模型，即GM。 GM(1,1)是最常用、最简单的一种灰色模型，它是由一个只包含单变量的微分方程构成的模型，是GM(1,N)的一个特例。2.模型建立： 设 i 个学生第j 学期的综合成绩为，那么有原始数据可得数据列为：对原始数据作一阶累加生成：，其中。再作的一阶均值生成，得其中，此时构成了灰色模块，由于具有指数增长规律，而一阶微分方程的解正好是指数增长形式的解，由此可建立灰色模型GM（1，1）为： 其中a,u 为待求系数。解此微分方程得： ，k=1,2,3.式中的参数可由最小二乘法求得，即：其中： ， 设：，则有：。令：公差比c=，若同时满足：c0.35,那么预测模型就满足一级精度。由该模型我们对前100个学生后两个学期的成绩进行了预测，3. 模型应用：对于灰色模型我们用matlab编程的方式来求解，程序请参见附件。根据上述模型对第5，6 个学期进行预测并经过标准化成绩评价模型得到表9中的数据。 由下表，对于大部分成绩的可靠性能够接受，相对于前四个学期，成绩分布仍比较稳定，预测结果与前四个学期的误差基本上能保证在5分之内，有相当部分的预测数据精度相当高，误差只有零点几分。由此可知灰色预测在精度上比线性回归要好，对于学生成绩能进行更准确、更有效的预测。但是对于衡量灰色预测精确性的公差比c而言，我们预测的结果只有一部分能满足一级精度，可见灰色模型还有进一步改进的余地，以期达到更好的预测结果，我们将在模型的评价与改进中，探讨如何改进灰色预测模型。学生序号学期1学期2学期3学期4学期5学期6179.74.75.76.77.78.275.75.76.76.77.78.362.60.65.70.75.81.482.81.80.79.77.76.576.81.81.81.81.81.678.67.71.74.78.82.61169.75.74.73.72.71.61259.73.75.77.79.80. 利用灰度预测法预测的5、6学期成绩学生序号学期一误差学期二误差学期三误差学期四误差10.-0.1.-0.20.2.-4.2.3-0.1.-3.1.40.-1.3.-1.50.-1.3.-1.60.2.-4.2.611-0.-3.6.-3.612-0.-1.2.-1.预测结果与前四学期的误差表五、模型的检验我们根据现有数据在计算机通过专业软件进行模拟后，发现所得结果在有效误差范围，跟实际成绩预期基本上相同。验证了此模型的有效性。6、 模型的评价和改进建议模型的评价：学生学习状况评价模型:模型一：模糊层次分析法优点：模糊层次分析法可以提高学生学习情况综合评价指标权重值的科学性和可信性，从而能够很好地反映学生的实际学习情况，避免了传统的将各项分数相加求和的不合理性做法，从而使教育管理者能更好的了解学生学习状态，有效的实施教学管理。缺点：仍在一定程度受主观因素的影响，各项指标权重的确定方式有待进一步的改进。模型二：成绩标准化模型优点：通过标准化过程，使学生成绩呈正态分布，让一些成绩靠后的学生能进入中间水平，同时各个学期的成绩经过标准化之后具有了可加性，相加的最终结果能正确的反映学生的整体水平，而不是在绝对分数中只靠几次突出的成绩就能提高得到好的名次，从而更加公平、合理。缺点：正态化的方法还要进一步探讨，从而让结果能有更好的正态性。学生成绩预测模型：模型一：多元线性回归模型优点：在各学期具有相关性的成绩下，能够较好的预测后面学期的成绩，并且预测成绩的确定建立在前四个学期的成绩的基础上，有效的利用了数据。缺点: 易受波动较大的点的影响，当数据中有较多的坏点时，预测精度下降十分明显。模型二：灰色预测模型优点：灰色预测能很好的用于预测变化趋势不太明显的点，总体精度比较高，能满足预测要求，计算也较简单，有利编程实现算法。缺点：由于灰色预测只使用一个初始点，并以过该点的一条指数曲线去预测数据，因而初始点的选择非常重要，而在大多数情况下我们是取原始数据的第一个，这时难免有时会出现结果不理想的情况，对此我们将提出一个改进的建议。模型的改进建议：1、 针对多元线性回归模型的改进 针对多元线性回归模型中预测结果易受波动较大的部分数据影响的情况，我们有如下改进的建议：多元线性回归中参数的确定采用的是最小二乘估计，要求的值最小，由于该式是残差的平方和，随着的增加会迅速的增加，这是造