二次函数线段最值问题 2

二次函数线段最值问题几何类“最短距离”经典问题汇总一、“两点之间线段最短”【基本问题】在直线上找一点，使得其到直线异侧两点的距离之和最小，如图所示作点（或）关于直线的对称点，再连接另一点与对称点，与的交点即为点【变式1】直线交于，是两直线间的一点，在直线上分别找一点，使得的周长最短如图所示，作点关于的对称点，连接，与分别交于两点，即为所求【变式2】直线交于，是两直线间的两点，从点出发，先到上一点，再从点到上一点，再回到点，求作两点，使最小如图所示，作两点分别关于直线的对称点，连接分别交于，即为所求【变式3】从点出发，先到直线上的一点，再在上移动一段固定的距离，再回到点，求作点使移动的距离最短，如图所示先将点向右平移到点，使等于的长，作点关于的对称点，连接，与直线的交点即为点，将点向左平移线段的长，即得到点【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式4】的作法有点类似，因此放在这里，共享一下是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为的河上垂直建一座桥，使得从村庄经过桥到村庄所走的路程最短如图所示，将点向垂直于河岸的方向向下平移距离，到点，连接交河岸于点，过点作垂直于河岸，交河岸的另一端为，即为所求【变式5】在直线上找一点，使得其到直线异侧两点的距离之差的绝对值最大，如图所示作点（或）关于直线的对称点，再连接另一点与对称点，其延长线与的交点即为点二、“垂线段最短”例题探究：【探究1】 如图，抛物线与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、GCEDGAxyOBF在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；【探究2】 已知在平面直角坐标系抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点。若一个动点自点出发，先到达轴上某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点求使点运动的总路径最短的点、点的坐标，并求出这个最短总路径的长【探究3】 已知在平面直角坐标系抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在线段上是否存在一点，使得、两点到直线的距离之和最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。【探究4】 已知在平面直角坐标系抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点。若一个动点自的中点出发，先到达轴上某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点求使点运动的总路径最短的点、点的坐标，并求出这个最短总路径的长【探究5】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为、，将对折，使点的对应点H落在直线上，折痕交轴于点设过、三点的抛物线的对称轴与直线的交点为，为线段BT上一点，请求出的取值范围【探究6】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过A（2，0）、B（4，0）两点，直线交y轴于点C，且过点将抛物线左右平移，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，当四边形的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值 【探究7】 已知： 抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为D.直线l