2016年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1设 i 为虚数单位，则复数 的虚部是（ ） A 3i B 3i C 3 D 3 2记集合 A=x|x a 0， B=y|y=x R，若 0 AB，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0 C 0， +） D（ 0， +） 3某空间几何体的三视图中，有一个是正方形， 则该空间几何体不可能是（ ） A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱 4二项式（ x 2） 5 展开式中 x 的系数为（ ） A 5 B 16 C 80 D 80 5已知数列的前 4 项为 2， 0， 2， 0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A 1） n 1+1 B C D an=n 1） +1 6考生甲填报某高校专业意向，打算从 5 个专业中挑选 3 个，分别作为 第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ ） A 10 种 B 60 种 C 125 种 D 243 种 7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表 使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20 10 30 附表： p（ 计算 0，则下列选项正确的是：（ ） A有 把握认为使用智能手机对学习有影响 B有 把握认为使用智能手机对学习无影响 C有 把握认为使用智能手机对学习有影响 D有 把握认为使用智能手机对学习无影响 8函数 y= x）， x 2， 2的单调递增区间是（ ） A ， B 2， C ， 2 D 2， 和 ， 2 9非负实数 x、 y 满足 x+y 1） 0，则关于 x y 的最大值和最小值分别为（ ） A 2 和 1 B 2 和 1 C 1 和 1 D 2 和 2 第 2 页（共 18 页） 10如果执行如图所示的程序 框图，则输出的数 S 不可能是（ ） A 1已知函数 f（ x） =g（ x） =x+1，则关于 f（ x）， g（ x）的语句为假命题的是（ ） A x R， f（ x） g（ x） B R， f（ g（ C R， f（ =g（ D R，使得 x R， f（ g（ f（ x） g（ x） 12已知双曲线 =1（ a 0， b 0）经过抛物线 p 0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线 离心率是（ ） A 2 B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13 =_ 14 周长等于 2（ 则其外接圆半径等于 _ 15 M， N 分别为双曲线 =1 左、右支上的点，设 是平行于 x 轴的单位向量，则 | |的最小值为 _ 16已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，令 F（ x） =（ x b） f（ x b） +2014，若 b 是 a、c 的等差中项，则 F（ a） +F（ c） =_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知数列 足 + =2n+1 （ 1）求 通项公式； （ 2）求 前 n 项和 第 3 页（共 18 页） 18空气质量指数（ 称 定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照 小分为六级， 0 50 为优； 51 100 为良 101 150 为轻度污染；151 200 为中度污染； 201 300 为重度污染； 300 为严重污染 一环保人士记录去年某地某月 10 天的 茎叶图如图 （ ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ 100）的天数；（按这个月总共 30 天） （ ）将频率视为概率，从本月中随机抽取 3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率分布列和数学期望 19如图，矩形 直于正方形 直于平面 E， （ 1）证明：面 面 （ 2）求二面角 B C 的余弦值 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率为 ， P（ 2， 1）是 一点 （ 1）求椭圆 方程； （ 2）设 A， B， Q 是 P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于 直线 l 交 、 Q 的两点 C， D，点 C 关于原点的对称点为 E证明：直线 y 轴围成的三角形是等腰三角形 21已知函数 f（ x） =a 为常数）有两个极值点 （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）设 f（ x）的两个极值点分别为 不等式 f（ +f（ （ x1+成立，求 的最小值 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。 选修 4何证明选讲 22如图， C， D 是以 直径的半圆上两点，且 = （ 1）若 明：直线 分 （ 2）作 E，证明： E 第 4 页（共 18 页） 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为 2 4=0， 0， 2 （ 1）求 直角坐标方程； （ 2）曲线 参数方程为 （ t 为参数），求 公共点的极坐标 选修 4等式选讲 24设 、 、 均为实数 （ 1）证明： |+） | | |+） | | （ 2）若 +=0证明： | 1 第 5 页（共 18 页） 2016 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1设 i 为虚数单位，则复数 的虚部是（ ） A 3i B 3i C 3 D 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解：复数 = = 3i+2 的虚部是 3 故选： D 2记集合 A=x|x a 0， B=y|y=x R，若 0 AB，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0 C 0， +） D（ 0， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 表示出 A 中不等式的解集确定出 A，根据 0 属于 A 与 B 的交集，确定出 a 的范围即可 【解答】 解：由 A 中不等式解得： x a，即 A=（ a， +）， 由 B 中 y=到 1 y 1，即 B= 1， 1， 由 0 AB，得到 a 0， 则 a 的范围是（ ， 0）， 故选： A 3某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论 【解答】 解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形， 该空间几何体不可能是圆锥 故选： B 4二项式（ x 2） 5 展开式中 x 的系数为（ ） A 5 B 16 C 80 D 80 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 二项式（ x 2） 5 展开式中 x 的项为 ，即可得出 【解答】 解：二项式（ x 2） 5 展开式中 x 的项为 =80x， 因此系数为 80 故选： C 第 6 页（共 18 页） 5已知数列的前 4 项为 2， 0， 2， 0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A 1） n 1+1 B C D an=n 1） +1 【考点】 数列的概念及简单表示法 【分析】 令 n=1， 2， 3， 4 分别代入验证：即可得出答案 【解答】 解：令 n=1， 2， 3， 4 分别代入验证：可知 C： 2，因此不成立 故选： C 6考生甲填报某高校专业意向，打算从 5 个专业中挑选 3 个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ ） A 10 种 B 60 种 C 125 种 D 243 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 从中选 3 个并分配到 3 个志愿中，问题得以解决 【解答】 解：从 中选 3 个并分配到 3 个志愿中，故有 0 种， 故选： B 7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表 使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20 10 30 附表： p（ 计算 0，则下列选项正确的是：（ ） A有 把握认为使用智能手机对学习有影响 B有 把握认为使用智能手机对学习无影响 C有 把握认为使用智能手机对学习有影响 D有 把握认为使用智能手机对学习无影响 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据观测值 照数表，即可得出正确的结论 【解答】 解：因为 0 对照数表知，有 把握认为使用智能手机对学习有影响 故选： A 8函数 y= x）， x 2， 2的单调递增区间是（ ） A ， B 2， 第 7 页（共 18 页） C ， 2 D 2， 和 ， 2 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论 【解答】 解：函数 y= x） = x ），令 2 x 2， 求得 4 x 4，故函数 y 的增区间为 4， 4， k Z 再结合 x 2， 2，可得函数的单调递增区间是： 2， 、 ， 2， 故选： D 9非负实数 x、 y 满足 x+y 1） 0，则关于 x y 的最大值和最小值分别为（ ） A 2 和 1 B 2 和 1 C 1 和 1 D 2 和 2 【考点】 简单线性规划；对数函数的图象与性质 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义进行求解即可 【解答】 解：由题意得 ， 作出不等式组对应的平面区域如图 ： 设 z=x y，由 z=x y，得 y=x z 表示，斜率为 1 纵截距为 z 的一组平行直线， 平移直线 y=x z，当直线 y=x z 经过点 C（ 2， 0）时，直线 y=x z 的截距最小，此时 最大为 0=2 当直线经过点 A（ 0， 2）时，此时直线 y=x z 截距最大， z 最小 此时 2= 2 故选： D 10如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是（ ） 第 8 页（共 18 页） A 考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出 S=+ 的值，结合选项，只有当 S 的值为 ， n 不是正整数，由此得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数 n， 求 + 的值 S，并输出 S， 由于 S= + =1 + =1 = ， 令 S=得 n= ，不是正整数，而 n 分别输入 2， 3， 8 时，可分别输出 故选： A 11已知函数 f（ x） =g（ x） =x+1，则关于 f（ x）， g（ x）的语句为假命题的是（ ） A x R， f（ x） g（ x） B R， f（ g（ C R， f（ =g（ D R，使得 x R， f（ g（ f（ x） g（ x） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可 【解答】 解：设 h（ x） =f（ x） g（ x），则 h（ x） =x 1， 则 h（ x） =1， 当 x 0 时， h（ x） 0， h（ x）单调递减， 当 x 0 时， h（ x） 0，则 h（ x）单调递增， 即当 x=0 时，函数 h（ x）取得极小值同时也是最小值 h（ 0） =0， 即 h（ x） 0，即 x R， f（ x） g（ x）不一定成立，故 A 是假命题， 故选： A 第 9 页（共 18 页） 12已知双曲线 =1（ a 0， b 0）经 过抛物线 p 0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线 离心率是（ ） A 2 B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点坐标和准线方程，可得 p=2a，求得双曲线的渐近线方程，联立准线方程，可得等边三角形的边长和高，可得 a= b，由 a， b， c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 p 0）的焦点为（ ， 0）， 由题意可得 a= ， 双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x， 抛物线的准线方程为 x= ， 代入渐近线方程可得交点为（ a， b），（ a， b）， 由双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形， 可得边长为 2b，高为 a， 即有 a= b， c= = a， 即有 e= = 故选 ： D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13 = e 1 【考点】 定积分 【分析】 由于 = ，即可得出答案 【解答】 解： （ = =e 1 故答案为 e 1 14 周长等于 2（ 则其外接圆半径等于 1 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理得出 a， b， c 和外接圆半径 R 的关系，根据周长列出方程解出 R 【解答】 解：设 三边分别为 a， b， c，外接圆半径为 R， 由正弦定理得 ， 第 10 页（共 18 页） a=2b=2c=2 a+b+c=2（ 2（ R=1 故答案为： 1 15 M， N 分 别为双曲线 =1 左、右支上的点，设 是平行于 x 轴的单位向量，则 | |的最小值为 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可 【解答】 解：由向量数量积的定义知 即向量 在向量 上的投影 | |模长的乘积，故求 | |的最小值， 即求 在 x 轴上的投影的绝对值的最 小值， 由双曲线的图象可知 | |的最小值为 4， 故答案为： 4 16已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，令 F（ x） =（ x b） f（ x b） +2014，若 b 是 a、c 的等差中项，则 F（ a） +F（ c） = 4028 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 令 g（ x） =x），则 g（ x）是奇函数，由等差数列得 a b=（ c b），故而 F（ a） +F（ c） =g（ a b） +g（ c b） +4028=4028 【解答】 解： F（ a） +F（ c） =（ a b） f（ a b） +2014+（ c b） f（ c b） +2014 b 是 a、 c 的等差中项， a b=（ c b）， 令 g（ x） =x），则 g（ x） = x） = x） = g（ x） g（ x） =x）是奇函数， （ a b） f（ a b） +（ c b） f（ c b） =0， F（ a） +F（ b） =2014+2014=4028 故答案为： 4028 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 . 17已知数列 足 + =2n+1 （ 1）求 通项公式； 第 11 页（共 18 页） （ 2）求 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）当 n=1， ，当 n 2， 2+ =2n+1， + =2n，两式相减得到 （ n 2），写出通项公式 （ 2）是由等比数列和等差组成的数列，采用乘以公比错位相减法，求得前 n 项和 【解答】 当 n=1 时，由题意可知 ， 当 n 2， 2+ =2n+1， + =2n， 两式相减： =2n+1 2n， （ n 2）， 故 通项公式为 ， （ 2） 前 n 项和为 ， ， 两式相减得： n 2n+1（ 22+23+2n）， =n 2n+1 4（ 2n 1 1）， =（ n 1） 2n+1+4， 前 n 项和 （ n 1） 2n+1+4 18空气质量指数（ 称 定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照 小分为六级， 0 50 为优； 51 100 为良 101 150 为轻度污染；151 200 为中度污染； 201 300 为重度污染； 300 为严重污染 一环保人士记录去年某地某月 10 天的 茎叶图如图 （ ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ 100）的天数；（按这个月总共 30 天） （ ）将频率视为概率，从本月中随机抽取 3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率分布列和数学期望 第 12 页（共 18 页） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为 2，空气质量良的天数为 4，由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数 （ 2）估计某天空气质量优良的概率为 ， 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3，且 B（ 3， ），由此能求出 的概率分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为 2， 空气质量良的天数为 4， 该样本中空气质量优良的频率为 ， 从而估计该月空气质量优良的天数为 30 =18 （ 2）由（ 1）估计某天空气质量优良的概率为 ， 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， 且 B（ 3， ）， P（ =0） =（ ） 3= ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） =（ ） 3= ， 的分布列为： 0 1 2 3 P = 19如图，矩形 直于正方形 直于平面 E， （ 1）证明：面 面 （ 2）求二面角 B C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 第 13 页（共 18 页） 【分析】 （ 1）设 点为 M，连结 ，求出 ， G= ，E=2 ， ， ，从而 求出 此能证明平面 平面 （ 2）如图，延长 交点为 H，作 足为 N，连结 导出 二面角 B C 的平面角，由此能求出二面角 B C 的余弦值 【解答】 证明：（ 1）如图，设 点为 M，连结 ， 面 在 ， = =3， 在直角梯形 ， G= = ， 在 ， E= =2 ， 在等腰 ， = ， 在等腰 ， = ， 在 ， M 是等腰 边中点， F=M， 平面 平面 平面 平面 解：（ 2）如图，延长 交点为 H， 作 足为 N，连结 C=C， 面 N=C， 平面 H=H， 平面 平面 二面角 B C 的平面角， ， = = ， 在 ， = = ， = = ， 二面角 B C 的余弦值为 第 14 页（共 18 页） 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率为 ， P（ 2， 1）是 一点 （ 1）求椭圆 方程； （ 2）设 A， B， Q 是 P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于 直线 l 交 、 Q 的两点 C， D，点 C 关于原点的对称 点为 E证明：直线 y 轴围成的三角形是等腰三角形 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的离心率公式和 P 满足椭圆方程，解得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）设 A（ 2， 1）， B（ 2， 1）， Q（ 2， 1），设直线 l 的方程为 y= x+t，代入椭圆方程，设 C（ D（ E（ 运用韦达定理，设直线 斜率为 证直线 y 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证 k1+，化简 整理，代入韦达定理，即可得证 【解答】 解：（ 1）由题意可得 e= = ，且 b2= 将 P（ 2， 1）代入椭圆方程可得 + =1， 解得 a=2 ， b= ， c= ， 即有椭圆方程为 + =1； （ 2）证明： A， B， Q 是 P（ 2， 1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点， 可设 A（ 2， 1）， B（ 2， 1）， Q（ 2， 1）， 直线 l 的斜率为 k= ，设直线 l 的方程为 y= x+t， 代入椭圆 ，可得 4=0， 设 C（ D（ E（ 即有 =44（ 24） 0，解得 2 t 2， x1+ 2t， 4， 设直线 斜率为 则 k1+ = ， 要证直线 y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证 k1+，即（ 2 1）（ 2+ ） =0， 第 15 页（共 18 页） 由 x1+t， x2+t， 可得（ 2 1）（ 2+ ） =2（ （ +4 = +4= t（ x1+ 4 =（ 24） +24=0， 则直线 y 轴围成的三角形是等腰三角形 21已知函数 f（ x） =a 为常数）有两个极值点 （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）设 f（ x）的两个极值点分别为 不等式 f（ +f（ （ x1+成立，求 的最小值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1） f（ x） = 且 f（ x） =0 有两个不同的正根，即 ax+a=0 两个不同的正根，即可求实数 a 的取值范围； （ 2）利用韦达定理，可得 =a 1，构造函数，确定函数的单调性，求出其范围，即可求 的最小值 【解答】 解：（ 1）由题设知，函数 f（ x）的定义域为（ 0， +）， f（ x） = 且 f（ x） =0 有两个不同的正根，即 ax+a=0 两个不同的正根 则 ， a 4， （ 0， f（ x） 0，（ f（ x） 0，（ +）， f（ x） 0， f（ x）的两个极值点，符合题意， a 4； （ 2） f（ +f（ =a（ a 1）， =a 1， 令 y=a 1，则 y= ， a 4， y 0， 第 16 页（共 18 页） y=a 1 在（ 4， +）上单调递减， y 3， 不等式 f（ +f（ （ x1+成立