2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年广东省潮州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1己知集合 A=x|2x 1， B=x|3x+2 0，则 AB=（ ） A x|x 0 B x|1 x 2 C x|0 x 1 或 x 2 D x|0 x 或 x 2 2复数 z= （ a R）在复平面内对应的点在第三象限，则 a 的取值范围是（ ） A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 3命题 p： x N， 题 q： a （ 0， 1），函数 f（ x） =其定义域内单调递减，则真命题是（ ） A q B p q C p q D p （ q） 4各项均为正数的等差数列 ， 2a8= ） A 2 B 4 C 16 D 0 5如图给出的是计算 1+ + + 的值的一 个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ） A i 1008？ B i 1008？ C i 1009？ D i 1009？ 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 8+ B 8+4 C 16+4 D 16+ 7设 a=b=c=（ ） A b a c B c a b C c b a D a c b 8已知 ，则 ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 4 9双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线与直线 x 2y+1=0 平行，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 10已知 k Z， =（ k， 1）， =（ k 2， 3），若 | | ，则 直角的概率是（ ） A B C D 11底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥 S 四棱锥的体积为 ，则该四棱锥的外接球的体积为（ ） A B C D 12数列 足 ， an1+21=0（ n 2），则使得 的最大正整数 ） A 5 B 7 C 8 D 10 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知变量 x， y，满 足： ，则 z=2x+y 的最大值为 _ 14若抛物线 2p 0）的焦点与双曲线 的左焦点重合，则抛物线的准线方程为 _ 15曲线 f（ x） = x+）（ x R， 0， | ）的部分图象如图所示，曲线 f（ x）的解析式为 _ 第 3 页（共 22 页） 16已知曲线 f（ x） = 与曲线 g（ x） =两个交点，则 k 的取值范围为 _ 三、解答题：写出文宇说明，证明过程或演算过程 17在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边， （ ）求角 A； （ ）当 a=2 ， S 时，求边 c 的值和 面积 18为了调查某中学学生在周日上网的瞬间，随机对 100 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果： 表 1：男生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80 人 数 5 25 30 25 15 表 2：女生上网时间与频数分布表 上网时间 （分钟） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80 人数 10 20 40 20 10 （ 1）若该中学共有女生 600 人， 试估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数； （ 2）完成表 3 的 2 2 列联表，并回答能否有 90%的把握认为 “学生周日上网时间与性别有关 ”？ （ 3）从表 3 的男生 “上网时间少于 60 分钟 ”和 “上网时间不少于 60 分钟 ”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，再从中任取 2 人，求至少有一人上网时间不少于 60 分钟的概率 表 3 上网时间少于 60 分钟 上网时间不少于 60分钟 合计 男生 女生 合计 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 4 页（共 22 页） 19如图，三棱锥 O 三条棱 两垂直且 B=， 等边三角形， M 为 部一点，点 P 在 延长线上，且 B （ 1）证明： 平面 （ 2）求三棱锥 A 体积 20已知曲线 =1（ a 0， b 0）和曲线 + =1 有相同的焦点，曲线 离心率是曲线 离心率的 倍 （ ）求曲线 方程； （ ）设点 A 是曲线 右支上一点， F 为右焦点，连 曲线 右支于点 B，作直于定直线 l： x= ，垂足为 C，求证：直线 过 x 轴上一定点 21已知函数 f（ x） =x（ a 0） （ 1）若 f（ x）在 x= 处取得极值，求实数 a 的值； （ 2）若 a 0，设 A（ B（ 函数 f（ x）图象上的任意两点，记直线 斜率为 k，求证： f（ ） k 选做题 (请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一个题目计分 )选修 4何证明选讲 22如图，已知 圆 O 相切于点 A，经过点 O 的割线 圆 O 于点 B、 C， B、 点 D、 E， P （ 1）证明： （ 2）证明 选修 4标系与参数方程 第 5 页（共 22 页） 23在直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线 x 3） 2+（ y 2） 2=1，曲线 （ 为参数），曲线 （ =7 （ 1）以 t 为参数将 方程写成含 t 的参数方程，化 方程为普通方程，化 方程为直角坐标方程； （ 2）若 Q 为 的动点，求点 Q 到曲线 距离的最大值 选修 4等式证明 选讲 24已知函数 f（ x） =|x 1|+|x+1| （ 1）求不等式 f（ x） 3 的解集； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） a+2x R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2016 年广东省潮州市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1己知集合 A=x|2x 1， B=x|3x+2 0，则 AB=（ ） A x|x 0 B x|1 x 2 C x|0 x 1 或 x 2 D x|0 x 或 x 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： 2x 1=20，得到 x 0，即 A=x|x 0， 由 B 中不等式变形得：（ x 1）（ x 2） 0， 解得： x 1 或 x 2，即 B=x|x 1 或 x 2， 则 AB=x|0 x 1 或 x 2， 故选： C 2复数 z= （ a R）在复平面内对应的点在第三象限，则 a 的取值范围是（ ） A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z= = = 3i a 在复平面内对应的点在第三象限， a 0，解得 a 0 故选： A 3命题 p： x N， 题 q： a （ 0， 1），函数 f（ x） =其定义域内单调递减，则真命题是（ ） A q B p q C p q D p （ q） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 命题 p：如图所示，利用几何画板即可判断出真假命题 q：利用对数函数的单调性即可判断出真假 【解答】 解：命题 p：如图所示，可知：函数 y= y=且只有两个交点，（ 0， 0），（ 1，1），因此：不存在 x N， 题 p 是假命题 命题 q： a （ 0， 1），函数 f（ x） =其定义域内单调递减，是真命题 只有 p q 是真命题 故选： C 第 7 页（共 22 页） 4各项均为 正数的等差数列 ， 2a8= ） A 2 B 4 C 16 D 0 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数列的性质即可得出 【解答】 解：由等差性质有 a6+2a8= 4， 0， 解得 故选： B 5如图给出的是计算 1+ + + 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ） A i 1008？ B i 1008？ C i 1009？ D i 1009？ 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，计算出 S 的值，再根据已知判断退出条件 【解答】 解：框图首先给累加变量 S 赋值为 0，给循环变量 i 赋值 1 判断，判断框中的条件满足，执行 S=0+1， i=1+1=2； 第 8 页（共 22 页） 判断，判断框中的条件满足，执行 S=0+1+ ， i=2+1=3； 判断，判断框中的条件满足，执行 S=0+1+ + ， i=3+1=4； 依此类推，令 2017=2i 1，知 i=1009，可得： i=1009，判断，判断框中的条件满足，执行 S=1+ + + ， i=1010， 此时不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是： i 1009 故选： C 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 8+ B 8+4 C 16+4 D 16+ 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是：上圆柱、下长方 体的组合体， 圆柱的底面圆半径是 1、母线长是 1， 长方体的长、宽、高分别是 4、 2、 2， 该几何体的体积 V= 12 1+4 2 2=16+， 故选： D 7设 a=b=c=（ ） A b a c B c a b C c b a D a c b 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 分别讨论 a， b， c 的取值范围，即可比较大小 【解答】 解： 1 2， b=2， c=1， 则 c a b， 故选： B 8已知 ，则 ） A B C D 4 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得要求式子的值 第 9 页（共 22 页） 【解答】 解： ，则 = = = ， 故选： A 9双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线与直线 x 2y+1=0 平行，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据渐近线和直线平行，求出渐近线方程，得到 a， b 的关系，结合离心率的公式进行转化求解即可 【解答】 解：由双曲线的渐近线与直线 x 2y+1=0 平行知，双曲线的渐近线方程为 x 2y=0， 即 y= x， 双曲线的渐近线为 y= ， 即 = ， 离心率 e= = = = = = ， 故选： B 10已知 k Z， =（ k， 1）， =（ k 2， 3），若 | | ，则 直角的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型；平面向量数量积的运算 【分析 】 根据向量模长公式求出满足条件的 k 的个数，再根据古典概型的计算公式进行求解 【解答】 解：丨 丨 17， k Z，知 k 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4， 由 =（ k， 1）， =（ k 2， 3），且垂直， k= 1， 3， 直角的概率是 故答案选： C 11底面是正多 边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥 S 四棱锥的体积为 ，则该四棱锥的外接球的体积为（ ） 第 10 页（共 22 页） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接球的体积 【解答】 解：连结 点为 0，设球的半径为 r， 由题意可知 O=D=OB=r 则 r， 四棱锥的体积为 = ， 解得 r= ， 四棱锥的外接球的体积为： V= = ， 故选： B 12数列 足 ， an1+21=0（ n 2），则使得 的最大正整数 ） A 5 B 7 C 8 D 10 【考点】 数列递推式 【分析】 由 an1+21=0（ n 2），变形为： = +1，变形为=1=2 ，利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解：由 an1+21=0（ n 2），变形为： = +1，变形为=1=2 ， 数列 是等比数列，首项为 2，公比为 2 +1=2n， 第 11 页（共 22 页） ， 又 = ， = ， 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知变量 x， y，满足： ，则 z=2x+y 的最大值为 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解 【解答】 解：作出约束条件表示的可行域如图： 由 z=2x+y 得 y= 2x+z 由图形可知当直线 y= 2x+z 经过 B 点时，直线的截距最大， 即 z 最大 解方程组 ，得 B（ 1， 2） z 的最大值为 z=2 1+2=4 故答案为： 4 14若抛物线 2p 0）的焦点与双曲线 的左焦点重合，则抛物线的准线方程为 x=2 【考点】 双曲线的简单性质 第 12 页（共 22 页） 【分析】 求出抛物线的焦点 F 为（ ， 0），双曲线 的左焦点 2， 0），可得 =2，即可得到结果 【解答】 解：抛物线的焦点 F 为（ ， 0），双曲线 的左焦点 2， 0）， 抛物线 2p 0）的焦点与双曲线 的左焦点重合， =2， 抛物线的准 线方程为 x=2 故答案为： x=2 15曲线 f（ x） = x+）（ x R， 0， | ）的部分图象如图所示，曲线 f（ x）的解析式为 f（ x） = 2x ） 【考点】 由 y=x+）的部分图象确 定其解析式 【分析】 根据周期求出 ，根据五点法作图求出 ，从而求得函数的解析式 【解答】 解： 由 T= （ ） = =，解得： =2， 又 f（ x） = 2x+）过点（ ， ）， 2 +） = ， 由五点法作图可得 2 += ，解得 = ， 曲线 f（ x）的解析式为： f（ x） = 2x ） 故答案为： f（ x） = 2x ） 16已知曲线 f（ x） = 与曲线 g（ x） =两个交点，则 k 的取值范围为 （ ， ） 第 13 页（共 22 页） 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 先作出当 x 1 时， f（ x） =4x+3 与 g（ x） =图象如图，此时满足 f（ x）与 g（ x）有两个交点，则条件转化为当 x 1 时，函数 f（ x） =k（ x 1）与 g（ x）没有交点，求函数的导数，利用导数和数形结合进行求解即可 【解答】 解：先作出当 x 1 时， f（ x） =4x+3 与 g（ x） =图象如图： 此时 f（ x）与 g（ x）有两个交点， 则当 x 1 时，函数 f（ x） =k（ x 1）与 g（ x）没有交点， 当 k 0 时，满足条件， 当 k=0 时， f（ x） =0，满足条件 当 k 0 时， 当直线 y=k（ x 1）与 g（ x）在（ 1， 0）处相切时， 则 g（ x） = ， 则 g（ 1） = ，此时 k= ， 若当 x 1 时，函数 f（ x） =k（ x 1）与 g（ x）没有交点， 在 0 k ， 综上所述， k ， 故答案为：（ ， ） 三、解答题：写出文宇说明，证明过程或演算过程 17在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边， （ ）求角 A； （ ）当 a=2 ， S 时，求边 c 的值和 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由已知可得 21=0，解得 值，结合 A 的范围，即可得解 A 的值 第 14 页（共 22 页） （ ）由已知及余弦定理化简可得 0 可求 得 C，结合正弦定理求得 c 的值，进而求得 用三角形面积公式即可得解（或由正弦定理得 b=2，由 4 S a2+ S ） 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ）由 21=0， 所以 或 因为 0 A ，所以 ， 所以角 A 为 ， （ ）由 4 S a2+ S 有 2 a2+ ， 由余弦定理有 显然 0 有 ， C= ， 又由正弦 定理有： = ，得 c=2， 又 ） = ， 所以 面积 S= （或由正弦定理 得 b=2，由 4 S a2+ S ） 18为了调查某中学学生在周日上网的瞬间，随机对 100 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果： 表 1：男生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80 人 数 5 25 30 25 15 表 2：女生上网时间与频数分布表 上网时间 （分钟） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80 人数 10 20 40 20 10 （ 1）若该中学共有女生 600 人，试估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数； （ 2）完成表 3 的 2 2 列联表，并回答能否有 90%的把握认为 “学生周日上网时间与性别有关 ”？ 第 15 页（共 22 页） （ 3）从表 3 的男生 “上网时间少于 60 分钟 ”和 “上网时间不少于 60 分钟 ”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，再 从中任取 2 人，求至少有一人上网时间不少于 60 分钟的概率 表 3 上网时间少于 60 分钟 上网时间不少于 60分钟 合计 男生 女生 合计 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）设估计上网时间不少于 60 分钟的人数为 x，列出 ，即可求解，上网时间不少于 60 分钟的人数 （ 2）根据题目所给数据填写列联表，求出 断是否有 90%的把握认为 “学生周日上网时间与性别有关 ” （ 3）求出男生中上网时间少于 60 分钟与上网时间不少于 60 分钟的人数之比为 3： 2，上网时间少于 60 分钟的有 3 人，记为 A， B， C，上网时间不少于 60 分钟的有 2 人，记为 D， E，从中取 2 人，总 的基本事件数， “至少有一人上网时间不少于 60 分钟 ”的事件数，即可求概率 【解答】 解：（ 1）设估计上网时间不少于 60 分钟的人数为 x，依据题意有 ，解得 x=180， 所以估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数是 180， （ 2）根据题目所给数据得到如下列联表： 上网时间少于60 分钟 上网时间不少于60 分钟 合计 男生 60 40 100 女生 70 30 100 合计 130 70 200 其中 = = 故不能有 90%的把握认为 “学生周日上网时间与性别有关 ” （ 3）因男生中上网时间少于 60 分钟与上网时间不少于 60 分钟的人数之比为 3： 2， 所以 5 人中上网时间少于 60 分钟的有 3 人，记为 A， B， C， 上网时间不少于 60 分钟的有 2 人，记为 D， E， 第 16 页（共 22 页） 从中取 2 人，总的基本事件为（ A， B），（ A， C），（ A， D），（ A， E），（ B， C），（ B， D）， （ B， E），（ C， D），（ C， E），（ D， E），共 10 个，其中 “至少有一人上网时间不少于 60 分钟 ”包含有 7 个事件，所以所求概率为 19如图，三棱锥 O 三条棱 两垂直且 B=， 等边三角形， M 为 部一点，点 P 在 延长线上，且 B （ 1）证明： 平面 （ 2）求三棱锥 A 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 可证明 平面 （ 2）利用等体积转换，即可求三棱锥 A 体积 【解答】 （ 1）证明：因为三棱锥 O 三条棱 所以 因为 B=O，所以 平面 而 面 以 取 点 D，连结 B 有 由 B 有 因为 D=D，所以 平面 而 面 以 因为 P=O，所以 平面 （ 2）解：由已知可得 = = ， 且 C= S = 设点 O、 P 到平面 距离分别为 由 C ， S ，则 = = ， 第 17 页（共 22 页） P S = 20已知曲线 =1（ a 0， b 0）和曲线 + =1 有相同的焦点，曲线 离心率是曲线 离心率的 倍 （ ）求曲线 方程； （ ）设点 A 是曲线 右支上一点， F 为右焦点，连 曲线 右支于点 B，作直于定直线 l： x= ，垂足为 C，求证：直线 过 x 轴上一定点 【考点】 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题知： a2+，曲线 离心率为 ，利用曲线 离心率是曲线 ，求出 a， b， 即可求曲线 方程； （ ）由于研究直线恒过定点，求出 方程，令 y=0，求出 x 可得（ x 与直线 率k 无关），可证直线 过定点就可解决 【解答】 （ ）解：由题知： a2+，曲线 离心率为 曲线 离心率是曲线 离心率的 倍， = 即 a2= a=b=1， 曲线 方程为 ； （ ）证明：由直线 斜率不能为零知可设直线 方程为： x= 与双曲线方程 联立，可得（ 1） =0 设 A（ B（ 则 y1+ ， ， 由题可设点 C（ ， 由点斜式得直线 方程： y （ x ） 第 18 页（共 22 页） 令 y=0，可得 x= = = 直线 定点（ ， 0） 21已知函数 f（ x） =x（ a 0） （ 1）若 f（ x）在 x= 处取得极值，求实数 a 的值； （ 2）若 a 0，设 A（ B（ 函数 f（ x）图象上的任意两点，记直线 斜率为 k，求证： f（ ） k 【 考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求导数，利用 f（ x）在 x= 处取得极值，即可求实数 a 的值； （ 2）欲证 f（ ） k，只须证明： ，又 即需证明（ 1+ ） 2（ 1） 0，令 =t （ 0， 1），得到新函数，求导数，即可证明结论 【解答】 （ 1）解： f（ x） = ， f（ x）在 x= 处取得极值， a=0，解得 a= 经检验，当 a= 时，函数 f（ x）在 x= 处取得极小值 a= ； （ 2）证明： f（ x） = ， f（ ） =x1+ 1 由题， k= =（ x1+ 1 第 19 页（共 22 页） 因为 a 0，故欲证 f（ ） k，只须证明： 又 即需证明（ 1+ ） 2（ 1） 0 令 =t （ 0， 1），则 g（ t） =（ 1+t） 2t+2， g（ t） = 1， g（ t） = 0， g（ t）在（ 0， 1）上递减， g（ t） g（ 1） =0 g（ t）在（ 0， 1）上递增， g（ t） g（ 1） =0， （ 1+ ） 2（ 1） 0 成立，即 f（ ） k 选做题 (请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一个题目计分 )选修 4何证明选讲 22如图，已知 圆 O 相切于点 A，经过点 O 的割线 圆 O 于点 B、 C， B、 点 D、 E， P （ 1）证明： （ 2）证明 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）根据弦切角定理，得到 C，结合 分 得 C+ 后用三角形的外角可得 （ 2）通过内角相等证明出 据 P 得到 C，结合（ I）中的结论可得 C= 在 根据直径 到 0+ 用三角 形内角和定理可得 C= 0利用直角三角形中正切的定义，得到= ，即可证明结论 【解答】 证明：（ 1） 切线， 弦， C 又 C+ C+ （ 2）由（ 1）知 C，又 第 20 页（共 22 页） ， P， C= 由三角形的内角和定理知： C+ 80， 圆 O 的直径， 0