河南省洛阳市2016年中考数学一模试卷含答案解析

河南省洛阳市 2016 年中考数学一模试卷 （解析版） 一、选择题：每小题 3 分，共 24 分 1在 2， ， 3， 这四个数中，最大的数是（ ） A 2 B C 3 D 2如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 3某种细胞的直径是 米，将 科学记数法表示为（ ） A 10 5 B 10 6 C 10 5 D 10 6 4如图，直线 线 交于点 E， F， 平分线与 交于点 N若 1=63，则 2=（ ） A 64 B 63 C 60 D 54 5一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A B CD 6在一次中学生田径运动会上，参加跳高的 15 名运动员的成绩如表所示： 成绩（ m） 数 1 2 4 3 3 2 那么这些运动员跳高成绩的众数和中位数分别是（ ） A 3， 如图，在 ， 分 如下步骤作图： 分别以点 A、 D 为圆心，以大于 长为半径在 侧作弧，交于两点 M、 N； 连接 别交 点 E、 F； 连接 ， ， ，则 长是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 8如图，正方形 边长为 4，点 P、 Q 分别是 中点，动点 E 从点 A 向点B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 PDQ 运动，点 E、 F 的运动速度相同设点 E 的运动路程为 x， 面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） A B CD 二、填空题：每小题 3 分，共 21 分 9计算：（ 20） （ 2） 1 （ 2016） 0= 10袋中装有大小相同的 2 个红球和 2 个绿球先从袋中摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球，则两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率是 11如图，在 ，点 E 在 上，且 点 E， 分 C=1： 2，则 度数为 12如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，以 D 在双曲线 y= （ k 0）上，将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度后，点 C 恰好落在该双曲线上，则 a 的值是 13对于二次函数 y= x，有下列四个结论： 它的对称轴是直线 x=1； 设 当 ，有 它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0，0）和（ 2， 0）； 当 0 x 2 时， y 0其中正确的结论的个数为 个 14如图，四边形 O 的内接四边形， D，连接 B 与 交于点 E，若 ，则图中阴影部分面积是 （结果保留 和根号） 15在矩形 ， ， ，点 P 在 若将 叠，使点 A 落在矩形对角线上的 A处，则 长为 三、解答题：本大题共 8 小题，满分 75 分 16先化简，再求值：（ + ） ，其中 a， b 满足 +|b |=0 17如图，在 ， 0，以点 A 为圆心， 半径，作 A，交 点D，交 延长线于点 E，过点 E 作 平行线交 A 于点 F，连接 （ 1）求证： （ 2）填空： 当 时，四边形 菱形； 在 的条件下， ，四边形 面积是 6 18农村留守儿童问题引起了全社会的关注，本学期开学初，教育局为了解某县留守儿童入学情况，先对某镇一小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为 6名， 7 名， 8 名， 10 名， 12 名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的统计图： 请根据上述统计图，解答下列问题： （ 1）补充条形统计图； （ 2）该校平均每班有 名留守儿童？ （ 3）若该镇所有小学共有 60 个教学班，每班学生人数 45 人，请根据样本数据，估计该镇小 学生中，共有多少名留守儿童？ （ 4）根据以上结果，请估计该镇小学留守儿童占全镇小学生人数的百分比 19已知关于 x 的方程 m+2） x+（ 2m 1） =0 （ 1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （ 2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长 20由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点 废墟一侧地面上探测点 A、 B 相距 2 米，探测线与该面的夹角分别是 30和 45（如图），试确定生命所在点 C 的深度（参考数据： 果精确到 21（ 10 分）（ 2013荆州）如图，某个体户购进一批时令水果， 20 天销售完毕他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量 y（千克）与销售时间 x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价 p（元 /千克）与销售时间 x（天）之间的函数关系如图乙所示 （ 1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； （ 2）分别求出第 10 天和第 15 天的销售金额； （ 3）若日销售量不低于 24 千克的时间段为 “最佳销售期 ”，则此次销售过程中 “最佳销售期 ”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？ 22（ 10 分）（ 2011大连）在 ， A=90，点 D 在线段 ， C，足为 E， 交于点 F （ 1）当 C 时，（如图 1）， ； 探究线段 数量关系，并加以证明； （ 2）当 AB=（如图 2），求 的值（用含 k 的式子表示） 23（ 11 分）（ 2016洛阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 与 x 轴交于点 A（ 4， 0）， B（ 1， 0）两点 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在 y 轴左侧的抛物线上有一动点 D 如图（ a），直线 y=x+3 与抛物线交于点 Q、 C 两点，过点 D 作直线 x 轴，交 ，请问是否存在这样的点 D，使点 D 到直线 距离与点 C 到直线 距离之比为 ： 1？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 如图（ b），若四边形 以 对角线的平行四边形，当 面积 S 为何值时，满足条件的点 D 恰好有 3 个？请直接写出此时 S 的值以及相应的 D 点坐标 2016 年河南省洛阳市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 3 分，共 24 分 1在 2， ， 3， 这四个数中，最大的数是（ ） A 2 B C 3 D 【考点】 实数大小比较 【分析】 正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可 【解答】 解：根据实数比较大小的方法，可得 2 3 ， 在 2， ， 3， 这四个数中，最大的数是 故选： B 【点评】 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数 0 负实数，两个负实数绝对值大的反而小 2如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】 解：从正面看，象一个大梯形减去一个小梯形， 故选： D 【点评】 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 3某种细胞的直径是 米，将 科学记数法表示为（ ） A 10 5 B 10 6 C 10 5 D 10 6 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 直接根据科学记数法的表示方法即可得出结论 【解答】 解： 第一位非零数字前有 5 个 0， 科学记数法表示为 10 5 故选 A 【点评】 本题考查的是科学记数法，再用科学记数法表示小于 0 的数时， n 的值等于第一位非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 4如图，直线 线 交于点 E， F， 平分线与 交于点 N若 1=63，则 2=（ ） A 64 B 63 C 60 D 54 【考点】 平行线的性质 【分析】 先根据平行线的性质求出 度数，再由角平分线的定义得出 度数，根据平行线的性质即可得出 2 的度数 【解答】 解： 1=63， 1=63 分 26， 2=180 80 126=54 故选 D 【点评】 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补也考查了角平分线定义 5一 元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A B CD 【考点】 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【分析】 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即 可 【解答】 解： ， 由 得： x 1； 由 得： x 2， 不等式组的解集为 2 x 1， 表示在数轴上，如图所示： ， 故选 B 【点评】 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（ ， 向右画； ， 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时 “ ”， “ ”要用实心圆点表示； “ ”， “ ”要用空心圆点表示 6在一次中学生田径运动会上，参加跳高的 15 名运动员的成绩如表所示： 成绩（ m） 数 1 2 4 3 3 2 那么这些运动员跳高成绩的众数和中位数分别是（ ） A 3， 考点】 众数；中位数 【分析】 根据众数和中位数的定义分别进行解答即可 【解答】 解： 现了 4 次，出现的次数最多 ，则众数是 把这些数从小到大排列，最后中间的数是第 8 个数，则中位数是 故选 C 【点评】 此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数 7如图，在 ， 分 如下步骤作图： 分别以点 A、 D 为圆心，以大于 长为半径在 侧作弧，交于两点 M、 N； 连接 别交 点 E、 F； 连接 ， ， ，则 长是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 作图 基本作图；线段垂直平分线的性质 【分析】 根据已知得出 线段 垂直平分线，推出 E， F，求出 C， 出四边形 菱形，根据菱形的性质得出 E=F，根据平行线分线段成比例定理得出 = ，代入求出即可 【解答】 解： 根据作法可知： 线段 垂直平分线， E， F， 分 同理 四边形 菱形， E=F， ， E=F=4， = ， ， ， ， = ， ， 故选 D 【点评】 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形 菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例 8如图，正方形 边长为 4，点 P、 Q 分别是 中点，动点 E 从点 A 向点B 运动 ，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 PDQ 运动，点 E、 F 的运动速度相同设点 E 的运动路程为 x， 面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） A B CD 【考点】 动点问题的函数图象 【分 析】 分 F 在线段 ，以及线段 两种情况，表示出 y 与 x 的函数解析式，即可做出判断 【解答】 解：当 F 在 运动时， 面积为 y= D=2x（ 0 x 2）， 当 F 在 运动时， 面积为 y= F= x（ 6 x） = x（ 2 x 4）， 图象为： 故选 A 【点评】 此题考查了动点问题的函数问题，解决本题的关键是读懂图意，得到相应 y 与 二、填空题：每小题 3 分，共 21 分 9计算：（ 20） （ 2） 1 （ 2016） 0= 6 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【分析】 原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果 【解答】 解：原式 = 20 （ ） 3 1=10 3 1=10 4=6， 故答案为： 6 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 10袋中装有大小相同的 2 个红球和 2 个绿球先从袋中摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球，则两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率是 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答 】 解：画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的有 8 种情况， 两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率是： = 故答案为： 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率注意用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 11如图，在 ，点 E 在 上，且 点 E， 分 C=1： 2，则 度数为 120 【考点】 平行四边形的性质 【分析】 由平行四边形的性质和已知条件得出 出 C=出 B，再在 求出 出 B，即可求出 度数 【解答】 解： 四边形 平行四边形， D， B+ 80， 分 C， C， ： 2， ： 2， 即 0， 0， B=60， 20； 故答案为： 120 【点评】 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、三角函数；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关 键 12如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，以 D 在双曲线 y= （ k 0）上，将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度后，点 C 恰好落在该双曲线上，则 a 的值是 2 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质 【分析】 过点 D 作 x 轴于点 E，通过证 出 D， A，再由直线的 解析式为 y= 3x+3 可得出点 A、 B 的坐标，从而得出 长，即得出点 D 的坐标，根据 A、 B、 D 的坐标结合正方形的性质即可得出点 C 的坐标，由点 点 C 的纵坐标代入到双曲线解析式中求出 x 的值，用点 C 的横坐标减去 x 的值即可得出 a 的值 【解答】 解：过点 D 作 x 轴于点 E，如图所示 四边形 正方形， 0， D， 0， 0， 在 ， ， D， A 令一次函数 y= 3x+3 中 x=0，则有 y=3， 即点 B 的坐标为（ 0， 3）； 令一次函数 y= 3x+3 中 y=0，则有 3x+3=0，解得： x=1， 即点 A 的坐标为（ 1， 0） A=1， A+A+3=4， 点 D 的坐标为（ 4， 1） 将点 D（ 4， 1）代入到双曲线 y= （ k 0）中得： 1= ， 解得： k=4， 双曲线的解析式为 y= 点 A（ 1， 0）、点 B（ 0， 3）、点 D（ 4， 1），且四边形 正方形， 点 C 的坐标为（ 3， 4） 令双曲线 y= 中 y=4，则 4= ，解得： x=1， 当点 C 平移到点（ 1， 4）时，点 C 在双曲线上， a=3 1=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，解题的关键是求出点 C 的坐标和双曲线的解析式本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过全等找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键 13对于二次函数 y= x，有下列四个结论： 它的对称轴是直线 x=1； 设 当 ，有 它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0，0）和（ 2， 0）； 当 0 x 2 时， y 0其中正确的结论的个数为 3 个 【考点】 二次函数的性质 【分析】 利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与 x 轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案 【解答】 解： y= x=（ x 1） 2+1，故 它的对称轴是直线 x=1，正确； 直线 x=1 两旁部分增减性不一样， 设 当 ，有 误； 当 y=0，则 x（ x+2） =0，解得： ， ， 故它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0） 和（ 2， 0），正确； a= 1 0， 抛物线开口向下， 它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0）， 当 0 x 2 时， y 0，正确 故答案为 3 【点评】 本题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键 14如图，四边形 O 的内接四边形， D，连接 B 与 交于点 E，若 ，则图中阴影部分面积是 32 （结果保留 和根号） 【考点】 扇形面积的计算 【分析】 根据四边形 O 的内接四边形得到 D=180，根据 D+2 D=180，从而求得 D=60，最后根据 C 得到 0，根据 到 0，从而得到 直角，然后利用 S 阴影 =S 扇形 解 【解答】 解： 四边形 O 的内接 四边形， D=180， D， D+2 D=180， D=60， D=120， C， 0； 20， 0， 0， 在 ， ， C 2 =2， S C= 2 2 =2 ， S 扇形 =3， S 阴影 =S 扇形 S 2 故答案为： 3 2 【点评】 本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差 15在矩形 ， ， ，点 P 在 若将 叠，使点 A 落在矩形对角线上的 A处，则 长为 或 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 分两种情况探讨：点 A 落在矩形对角线 ，点 A 落在矩形对角线 ，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案 【解答】 解： 点 A 落在矩形对角线 ，如图 1， ， ， ， 根据折叠的性质， D=3， P， A= =90， 2， 设 AP=x，则 x， A2+， （ 4 x） 2=2， 解得： x= ， ； 点 A 落在矩形对角线 ，如图 2， 根据折叠的性质可知 ， = = 故答案为： 或 【点评】 本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键 三、解答题：本大题共 8 小题，满分 75 分 16先化简，再求值：（ + ） ，其中 a， b 满足 +|b |=0 【考点】 分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根 【分析】 先化简，再求出 a， b 的值代入求解即可 【解答】 解：（ + ） = ， = ， = ， a， b 满足 +|b |=0 a+1=0， b =0，解得 a= 1， b= ， 把 a= 1， b= ，代入原式 = = 【点评】 本题主要考查了了分式的化简求值及非负数的性质解题的关键是求出 a， b 的值 17如图，在 ， 0，以点 A 为圆心， 半径，作 A，交 点D，交 延 长线于点 E，过点 E 作 平行线交 A 于点 F，连接 （ 1）求证： （ 2）填空： 当 60 时，四边形 菱形； 在 的条件下， 6 ，四边形 面积是 6 【考点】 圆的综合题 【分析】 （ 1）首先利用平行线的性质得到 后利用 得两三角形全等即可； （ 2）当 0时，四边形 菱形，根据 0，得到 0，从而得到 D=用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形 （ 3）设菱形 边长为 a，易知 是等边三角形，列出方程求出 a，再在 ，利用勾股定理即可解决问题 【解答】 （ 1）证明： E= E= 在 ， ， （ 2）当 0时，四边形 菱形 证明： 0， 0， D= 四边形 菱形 故答案为 60 （ 3）解： 四边形 菱形，设边长为 a， 0， 是等边三角形， 由题意： 2 ， 2， a 0， a=2 ， E=2 ， 在 ， 0， ， 0， 0， ， =6 故答案为 6 【点评】 本题考查了菱形的判定、全等三 角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大，记住等边三角形面积公式= a 是边长） 18农村留守儿童问题引起了全社会的关注，本学期开学初，教育局为了解某县留守儿童入学情况，先对某镇一小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为 6名， 7 名， 8 名， 10 名， 12 名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的统计图： 请根据上述统计图，解答下列问题： （ 1）补充条形统计图； （ 2）该校平均每班有 6 名留守儿童？ （ 3）若该镇所有小学共有 60 个教学班，每班学生人数 45 人，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童？ （ 4）根据以上结果，请估计该镇小学留守儿童占全镇小学生人数的百分比 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】 （ 1）根据有 7 名留守儿童班级有 2 个，所占的百分比是 即可求得班级的总个数，用班级总数减去其余各项目人数即可得人数是 8 名的班级数； （ 2）利用平均数的计算公式求 得每班的留守儿童数； （ 3）利用班级数 60 乘以（ 2）中求得的平均数即可； （ 4）根据： 100%，可得 【解答】 解：（ 1）该校的班级数是： 2 16（个） 则人数是 8 名的班级数是： 16 1 2 6 2=5（个） 补全条形统计图如图： （ 2）每班的留守儿童的平均数是： （ 1 6+2 7+5 8+6 10+12 2） =9（人） ； （ 3）该镇小学生中，共有留守儿童 60 9=540（人）， 答：该镇小学生中共有留守儿童 540 人 （ 4） 100%=20%， 答：估计该镇小学留守儿童占全镇小学生人数的 20% 故答案为：（ 2） 6 【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 19已知关于 x 的方程 m+2） x+（ 2m 1） =0 （ 1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （ 2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长 【考点】 根的判别式；一元二次方程的解；勾股定理 【分析】 （ 1）根据关于 x 的方程 m+2） x+（ 2m 1） =0 的根的判别式的符号来证明结论； （ 2）根据一元二次方程的解的定义求得 m 值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根分类讨论： 当该直角三角形的两直角边是 2、 3 时，由勾股定理得斜边的长度为： ；当 该直角三角形的直角边和斜边分别是 2、 3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为 ；再根据三角形的周长公式进行计算 【解答】 （ 1）证明： =（ m+2） 2 4（ 2m 1） =（ m 2） 2+4， 在实数范围内， m 无论取何值，（ m 2） 2+4 0，即 0， 关于 x 的方程 m+2） x+（ 2m 1） =0 恒有两个不相等的实数根； （ 2）解：根据题意，得 12 1 （ m+2） +（ 2m 1） =0， 解得， m=2， 则方程的另一根为： m+2 1=2+1=3； 当该直角三角形的两直角边是 1、 3 时，由勾股定理得斜边的长度为： ； 该直角三角形的周长为 1+3+ =4+ ； 当该直角三角形的直角边和斜边分别是 1、 3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为 2 ；则该直角三角形的周长为 1+3+2 =4+2 【点评】 本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义解答（ 2）时，采用了 “分类讨论 ”的数学思想 20由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点 废墟一侧地面上探测点 A、 B 相距 2 米，探测线与该面的夹角分别是 30和 45（如图），试确定生命所在点 C 的深度（参考数据： 果精确到 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案 【解答】 解：如图，过点 C 作 长线于点 D， 由题意知， 0， 5， 设 CD=x 米， D=x 米， 米， AD=x+2 米， 在 ， ， = ， 解得： x= +1 答：确定生命所在点 C 的深度为 【点评】 考查了解直角三角形的应用，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形 21（ 10 分）（ 2013荆州）如图，某个体户购进一批时令水果， 20 天销售完毕他 将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量 y（千克）与销售时间 x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价 p（元 /千克）与销售时间 x（天）之间的函数关系如图乙所示 （ 1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； （ 2）分别求出第 10 天和第 15 天的销售金额； （ 3）若日销售量不低于 24 千克的时间段为 “最佳销售期 ”，则此次销售过程中 “最佳销售期 ”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？ 【考点】 一次函数的应用 【分析】 （ 1） 分两种情况进行讨论： 0 x 15； 15 x 20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解； （ 2）日销售金额 =日销售单价 日销售量由于第 10 天和第 15 天在第 10 天和第 20 天之间，当 10 x 20 时，设销售单价 p（元 /千克）与销售时间 x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（ 10， 10），（ 20， 8）在 p=mx+n 的图象上，利用待定系数法求得 p 与 x 的函数解析式，继而求得 10 天与第 15 天的销售金额； （ 3）日销售量不低于 24 千克，即 y 24先解不等式 2x 24，得 x 12，再解不等式 6x+120 24，得 x 16，则求出 “最佳销售期 ”共有 5 天；然后根据 p= x+12（ 10 x 20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值 【解答】 解：（ 1）分两种情况： 当 0 x 15 时，设日销售量 y 与销售时间 x 的函数解析式为 y= 直线 y=点（ 15， 30）， 150，解得 ， y=2x（ 0 x 15）； 当 15 x 20 时，设日销售量 y 与销售时间 x 的函数解析式 为 y=b， 点（ 15， 30），（ 20， 0）在 y=b 的图象上， ，解得： ， y= 6x+120（ 15 x 20）； 综上，可知 y 与 x 之间的函数关系式为： y= ； （ 2） 第 10 天和第 15 天在第 10 天和第 20 天之间， 当 10 x 20 时，设销售单价 p（元 /千克）与销售时间 x（天）之间的函数解析式为 p=mx+n， 点（ 10， 10），（ 20， 8）在 p=mx+n 的图象上， ，解得： ， p= x+12（ 10 x 20）， 当 x=10 时， p=10， y=2 10=20，销售金额为： 10 20=200（元）， 当 x=15 时， p= 15+12=9， y=30，销售金额为： 9 30=270（元） 故第 10 天和第 15 天的销售金额分别为 200 元， 270 元； （ 3）若日销售量不低于 24 千克，则 y 24 当 0 x 15 时， y=2x， 解不等式： 2x 24， 得， x 12； 当 15 x 20 时， y= 6x+120， 解不等式： 6x+120 24， 得 x 16， 12 x 16， “最佳销售期 ”共有： 16 12+1=5（天）； p= x+12（ 10 x 20）， 0， p 随 x 的增大而减小， 当 12 x 16 时， x 取 12 时， p 有最大值，此时 p= 12+12= /千克） 答：此次销售过程中 “最佳销售期 ”共有 5 天，在此期间销售单价最高为 【点评】 此题考查了一次函数的应用，有一定难度解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用 22（ 10 分）（ 2011大连）在 ， A=90，点 D 在线段 ， C，足为 E， 交于点 F （ 1）当 C 时，（如图 1）， ； 探究线段 数量关系，并加以证明； （ 2）当 AB=（如图 2），求 的值（用含 k 的式子表示） 【考点】 相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形 【分析】 （ 1） 根据题意可判断 等腰直角三角形，据此即可推断 C=45，进而可知 然后求 出 度数 根据题意证明 后利用相似三角形的性质，得到 数量关系 （ 2）首先证明 用三角形相似的性质得到 数量关系 【解答】 解：（ 1） C A=90 C=45 C 45=在 0， 图：作 分 G 点， D， 等腰直角三角形 设 EF=x， BE=y， 则： D= y y+y x = 即： = 得： x=（ 1） y y+y（ 1） y=2y （ 2）过点 D 作 延长线于点 G，与 于点 N， C， C， E， 0， = ，即 = ， 又 = ，即 = =k， = 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，（ 1）利用等腰直角三角 形的性质进行判定和计算（ 2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系 23（ 11 分）（ 2016洛阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 与 x 轴交于点 A（ 4， 0）， B（ 1， 0）两点 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在 y 轴左侧的抛物线上有一动点 D 如图（ a），直线 y=x+3 与抛物线交于点 Q、 C 两点，过点 D 作直线 x 轴，交 ，请问是否存在这样的点 D，使点 D 到直线 距离与点 C 到直线 距