3.2 动量算符和角动量算符ppt课件

1.动量算符2.角动量算符,3.2动量算符和角动量算符,1,1.动量算符,（1）动量算符,（1）动量算符（2）动量本征方程（3）求解动量本征方程（4）归一化系数的确定（5）箱归一化,2,（2）动量本征方程,其分量形式,3,(3)求解动量本征方程,采用分离变量法，令：,代入动量本征方程分量形式且等式两边除以该式，得：,这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数,于是,4,（4）归一化系数的确定,动量的本征函数不能归一化为一，而只能归一化为-函数。任何一个实际的波函数都不可能是严格的平面波，而应该是某种形式的波包。,归一化为-函数，意味着什么？,5,Dirac函数,定义,或等价的表示为：对在x=x0邻域连续的任何函数f（x）有：,6,函数的Fourier积分形式,令k=px/,dk=dpx/,则,7,性质,8,（5）箱归一化,在箱子边界的对应点A,A上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。,据上所述，具有连续谱的本征函数不能归一化为一，而只能归一化为-函数。但，如果加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。,周期性边界条件,9,这表明，px只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。,10,波函数变为,这时归一化系数c可由归一化条件来确定：,c=L-3/2，归一化的本征函数为：,11,关于箱归一化的讨论,（1）箱归一化实际上相当于周期性边界条件。,（2）由px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L,可以看出，相邻两本征值的间隔p=2/L与L成反比。当L选的足够大时，本征值间隔可任意小，当L时，本征值变成为连续谱。,（3）只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为函数,（4）p(r)expiEt/就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。,（5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。否则，动量算符不是厄密算符！,12,2.角动量算符,（1）直角坐标系中的角动量算符,（1）直角坐标系中的角动量算符（2）球坐标系中的角动量算符（3）角动量本征方程（4）简并和本征值的简并度,13,直角坐标与球坐标之间的变换关系,(2)球坐标系中的角动量算符,对于任意函数f(r,)（其中，r,都是x,y,z的函数）有,复合函数的微分,14,将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：,将（2）式两边分别对xyz求偏导数得：,将（3）式两边分别对xyz求偏导数得：,15,16,角动量算符在球坐标中的表达式,代入,17,（3）角动量本征方程,I。波函数有限条件，要求z为实数；II。波函数单值条件，要求转过2角回到原位时波函数值相等，即：,(I)Lz的本征方程、波函数和本征值,18,归一化,最后得Lz的本征函数和本征值：,19,为使Y(,)在变化的整个区域(0,)内都是有限的，则必须满足：=（+1),其中=0,1,2,.,其中Y(,)与r无关，是球面函数，简称球函数，是L2属于本征值2的本征函数。此方程就是球谐函数方程。,(II)L2的本征方程、波函数和本征值,20,该方程的解就是球函数Ylm(,)，其表达式：,21,归一化常数,22,前几个球谐函数,23,（4）简并和本征值的简并度,由于量子数表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m称为磁量子数。,m的取值受的限制。对应一个值，m取值为0,1,2,3,.,共(2+1)个值。即当确