高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

4.2.1直线与圆的位置关系,4.2直线、圆的位置关系,本节课主要学习直线与圆的位置关系。本课件在复习点到直线距离公式和圆的标准方程、一般方程的基础上，由轮船是否受到台风的影响以影片形式引入新课的，并利用几何画板动画演示，引人入胜。以学生探究为主，利用代数法和几何法分别对直线与圆的位置关系进行探究，探究直线被圆截得的弦长、运用坐标法研究平面几何问题和实际应用问题。通过例1掌握直线与圆位置关系判定的两种方法并加以对比，体会几何法的简便性，通过例2进一步体会利用直线与圆的几何性质解答问题的重要性，通过例3例4学会建立直角坐标系，利用坐标法解答实际问题和平面几何问题。运用方程思想、转化思想、数形结合思想，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结合和几何法和代数法在直线与圆位置关系中的应用。,2.圆的标准方程,3.圆的一般方程,，其中,1.点到直线的距离公式,复习回顾：,问题引入：,一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？,为解决这个问题，我们以台风中心为原点o，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取10km为单位长度,轮船航线所在直线l的方程为：,问题归结为圆心为o的圆与直线l有无公共点,这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为o的圆的方程为:,直线与圆的位置关系的判断,平面几何中，直线与圆有三种位置关系：,（1）直线与圆相交，有两个公共点；,（2）直线与圆相切，只有一个公共点；,（3）直线与圆相离，没有公共点,交点个数,1.用交点个数判断,（代数法）,直线和圆相交,dr,数形结合：,位置关系,数量关系,2.用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断,（几何法）,例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为c的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。,典例展示,解法一：由直线l与圆的方程，得：,消去y，得：,因为：,=10,所以，直线l与圆相交，有两个公共点,解法二：圆可化为,其圆心c的坐标为(0,1)，半径长为，,所以，直线l与圆相交，有两个公共点,点c(0,1)到直线l的距离为：,直线l与圆有两个交点,它们的坐标分别是：,把代入方程，得；,把代入方程，得,a(2,0),b(1,3),由，解得：,(2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：,小结:直线与圆的位置关系的判定方法,(1)利用直线与圆的交点的个数进行判断：,弦长问题,方法一（代数法）：解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长,方法二（几何法）：圆心到直线的距离和勾股定理求弦长（常用）。,弦长公式为,弦长公式为,即：,根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离：,因此：,所以可设所求直线l的方程为：,例2.已知过点m（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程。,即：,两边平方，并整理得到：,解得：,所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为：,或,即:,注：利用斜率研究直线时，要注意直线斜率不存在的情形应通过检验，判断它是否符合题意。本题中如果只求出一个斜率k值，说明另一条斜率不存在。,轮船航线所在直线l的方程为：,圆与直线l有无公共点？,受台风影响的圆o的方程为:,圆心o到直线l的距离为,所以轮船不会受台风的影响。,引例解答：,直线与圆的方程的应用,例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度ab=20m，拱高op=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱a2p2的高度（精确到0.01m）,解：建立直角坐标系，使圆心在y轴上.,设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是：,x2+(y-b)2=r2,因为点p，b在圆上，所以它们的坐标(0，4)，b(10，0)都满足圆的方程.于是得到方程组,x2+(y+10.5)2=14.52,解得：b=-10.5，r2=14.5,所以圆的方程:,将的p2横坐标x=-2代入方程，,(-2)2+(y+10.5)2=14.52,所以：,答：支柱a2p2的高度为3.86m.,即：,例5.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.,以四边形abcd互相垂直的对角线ca、db所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系.,证明：,设a(a,0),b(0,b),c(c,0),d(0,d).,过四边形abcd的外接圆的圆心o分别作ac、bd、ad的垂线，垂足分别为m、n、e，则m、n、e分别是线段ac、bd、ad的中点.,由线段的中点的坐标公式，得,所以,用坐标法解题的一般步骤：,第二步：通过代数运算，解决代数问题.,第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.,第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化代数问题.,一、基本知识,1.判断直线与圆的位置关系有两种方法,图形,位置关系,相交,相切,相离,交点个数,2个,1个,0个,d与r关系,dr,2.弦长问题,（1）代数法：解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长,（2）几何法：圆心到直线的距离和勾股定理求弦长（常用）,弦长公式为,弦长公式为,(注：我们把d称为弦心距.),二、数学思想,数形结合思想、方程思想、待定系数法