高考数学中的内切球和外接球问题

关注公众号：加油高三。 1 高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 一、直接法一、直接法(公式法公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表面 积为_ . 例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上， 若该正方体的表 面积为24，则该球的体积为_. 2、求长方体的外接球的有关问题 例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条 棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4， 体积为 16，则这个球的表面积为（）. A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 3.求多面体的外接球的有关问题 例 5 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该 六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8 9 ，底面周长 为3，则这个球的体积为. 解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有 hx x 2 4 3 6 8 9 36 2 1 3 x h 关注公众号：加油高三。 2 正六棱柱的底面圆的半径 2 1 r， 球心到底面的距离 2 3 d.外 接球的半径 22 drR. 体积： 3 3 4 RV . 小结本题是运用公式 222 drR求球的半径的，该公式是求球 的半径的常用公式. 二、构造法二、构造法(补形法补形法) 1、构造正方体 例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外 接球的表面积是_. 例 3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外 接球的表面积是. 故其外接球的表面积94 2 rS. 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为cba,， 则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体 对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R， 则 有 222 2cbaR.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】 ：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,，则 体对角线长为 222 cbal，几何体的外接球直径为R2体对角线长l 即 2 222 cba R 关注公众号：加油高三。 3 练习：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 3 ,6, 1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表 面积。球的表面积为164 2 RS 例 6 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此 球的表面积为（） A.3B.4C.33D.6 例 7 已知球O的面上四点 A、B、C、D，ABCDA平面，BCAB ， 3BCABDA，则球O的体积等于. 解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利 用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABCDA平面，BCAB ， 联想长方体中的相应线段关系，构造如图 4 所示的长方体，又因为 3BCABDA，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直 径，利用直角三角形解出3CD.故球O的体积等于 2 9 .（如图 4） D A CB O 图 4 A C B D O 图 5 关注公众号：加油高三。 4 2、例 8 已知点 A、 B、 C、 D 在同一个球面上，BCDAB平面，BCDC ， 若8,132, 6ADACAB，则球的体积是 解析：首先可联想到例 7，构造下面的长方体，于是AD为球的 直径，O 为球心，4 OCOB为半径，要求 B、C 两点间的球面距离， 只要求出BOC即可，在ABCRt中，求出4BC，所以 60BOC， 故 B、C 两点间的球面距离是 3 4 .（如图 5） 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 三三.多面体几何性质法多面体几何性质法 例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16， 则这个球的表面积是 A.16B.20C.24D.32. 小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直 径”这一性质来求解的. 四四.寻求轴截面圆半径法寻求轴截面圆半径法 例正四棱锥ABCDS 的底面边长和各侧棱长都为2，点 DCBAS,都在同一球面上，则此球的体积为 解:设正四棱锥的底面中心为 1 O，外接球的球心为O， 如图 1 所示.由球的截面的性质，可得ABCDOO平面 1 . 又ABCDSO平面 1 ，球心O必在 1 SO所在的直线上. ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接 圆的半径就是外接球的半径. 在ASC中，由 222 , 2,2ACSCSAACSCSA得， C D A B S O1 图3 关注公众号：加油高三。 5 为斜边的直角三角形是以ACASC. 1 2 AC 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 3 4 球 V. 五五 .确定球心位置法确定球心位置法 例 5在矩形ABCD中，3, 4BCAB， 沿AC将矩形ABCD 折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体 积为 A. 12 125 B. 9 125 C. 6 125 D. 3 125 解:设矩形对角线的交点为O， 则由矩形对角线互相平分， 可知ODOCOBOA.点O到四面体的四个顶点DCBA,的距离相 等，即点O为四面体的外接球的球心，如图 2 所示.外接球的半径 2 5 OAR.故 6 125 3 4 3 RV球. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】 ：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角 形斜边中点。 【例题】 ：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，BCAB 且 10,51, 5, 7ACPCPBPA求球O的体积。 解：BCAB 且10,51, 5, 7ACPCPBPA 因为 222 10)51(7所以知: 222 PCPAAC 所以PCAP 所以可得图形为： 在ABCRt中斜边为AC 在APCRt中斜边为AC 取斜边的中点， C AO D B图4 关注公众号：加油高三。 6 在ABCRt中OCOBOA 在APCRt中OCOBOP 所以在几何体中OAOCOBOP，即为该四面体的外接球的球心 5 2 AC R所以该外接球的体积为 3 500 3 4 3 RV球 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 1. （陕西理6）1. （陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上， 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 （） A 4 33 B 3 3 C 4 3 D12 3 答案B答案B 2. 直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在同一球面上，若 1 2ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。 解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得2 3BC ,由正弦定理,可 得ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为O，在RT OBO中，易得 球半径5R ，故此球的表面积为 2 420R. 3正三棱柱 111 ABCABC内接于半径为2的球，若,A B两点的球面距离 为，则正三棱柱的体积为 答案8 关注公众号：加油高三。 7 4.4.表面积为2 3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上， 则此球 的体积为 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D 2 2 3 答案答案A 【解析】【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由 2 3 82 3 4 a 知， 1a ，则此球的直径为2，故选 A。 5.5.已知正方体外接球的体积是 3 32 ，那么正方体的棱长等于（） A.22B. 3 32 C. 3 24 D. 3 34 答案答案D 6.（山东卷）6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 () A. 13B. 13C. 133 D. 19 答案答案C 7. （ 海 南 、 宁 夏 理 科 ）7. （ 海 南 、 宁 夏 理 科 ） 一 个 六 棱 柱 的 底 面 是 正 六 边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为 9 8 ，底面周长为 3，则这个球的体积为 答案答案 3 4 8. （天津理（天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个 顶点上的三条棱 8 关注公众号：加油高三。 的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 答案 答案 14 9.（全国理（全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球 面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2. 答案答案24 2 10.（辽宁）（辽宁）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF， 则此正六棱锥的侧面积是_ 答案答案6 7 11.11.棱长为 2 的正四面体的