2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2016 年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 出符合题目要求的一项 1已知 i 为虚数单位，计算 i（ 1+i） =（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 2已知集合 A=x|1， B=x|2x 1，则 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 1， 1） C（ ， 0 D（ ， 1） 3下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A y=2 x B y=x3+x C y= D y=点 P（ 2， 1）为圆（ x 1） 2+5 的弦 中点，则直线 方程为（ ） A x+y 1=0 B 2x+y 3=0 C x y 3=0 D 2x y 5=0 5执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 15 B 21 C 24 D 35 6已知 a， b R，则 “2”是 “a2+4”成立的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充 要条件 D既不充分又不必要条件 7在平面直角坐标系中，若不等式组 ，（ a 为常数）表示的区域面积等于 3，则 a 的值为（ ） A 5 B 2 C 2 D 5 8如图，矩形 矩形 在的平面互相垂直，将 折，翻折后的点 E（记为点 P）恰好落在 ，设 ， FA=x（ x 1）， AD=y，则以下结论正确的是（ ） 第 2 页（共 15 页） A当 x=2 时， y 有最小值 B当 x=2 时，有最大值 C当 x= 时， y 有最小值 2 D当 x= 时， y 有最大值 2 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9已知向量 =（ 2， 1）， + =（ 1， k），若 则实数 k 等于 _ 10抛物线 x 的准线与双曲线 C： =1 的两条渐近线所围成的三角形面积为_ 11在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a=2 B=_ 12已知某几何体 的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 _（单位： 13国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年 0%的增长率增长； R 型电动汽车的销售将每月递增 20 辆，已知该地区今年 1 月份销售 Q 型和 R 型车均为 50 辆，据此推测该地区今年 Q 型汽车销售量约为 _辆；这两款车的销售总量约为 _辆（参考数据： 14设集合 +b|1 a b 2中的最大和最小元素分别是 M、 m，则 M=_，m=_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 15已知函数 f（ x） =2x R （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）求函数 f（ x）在 0， 上的最大值与最小值 16某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子 发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了 3月 1日至 3月 6日的每天昼夜温差与实验室每天每 100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据： 日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 3 月 6 日 昼夜温差（ ） 9 11 13 12 8 10 发芽数（粒） 23 25 30 26 16 24 （ 1）求此种蔬菜种子在这 6 天的平均发芽率； 第 3 页（共 15 页） （ 2）从 3 月 1 日至 3 月 6 日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选 2 天记录发芽的种子数分别为 m， n，用（ m， n）的形式列出所有基本事件，并求满足 的事件 A 的概率 17已知等差数列 ， （ 1）求数列 通项公式 （ 2）令 bn=c ，其中 c 为常数，且 c 0，求数列 前 n 项和 18如图，已知 平面 平面 等边三角形， E=2，F， G 分别为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求四棱锥 C 体积； （ 3）判断直线 平面 位置关系，并加以证 明 19已知函数 f（ x） =x+1 在 x= 1 处取得极值 （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 y=f（ x） m 1 在 2， 2上恰有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的一个焦点 F（ 2， 0），点 A（ 2， ）为椭圆上一点 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）设 M、 N 为椭圆上两点，若直线 斜率与直线 斜率互为相反数，求证：直线 斜率为定值； （ 3）在（ 2）的条件下， 面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 15 页） 2016 年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 出符合题目要求的一项 1已知 i 为虚数单位，计算 i（ 1+i） =（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算和 1 进行化简即可 【解答】 解： i（ 1+i） =i+ 1+i， 故选 C 2已知集合 A=x|1， B=x|2x 1，则 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 1， 1） C（ ， 0 D（ ， 1） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式解得： 1 x 1，即 A=（ 1， 1）， 由 B 中不等式变形得： 2x 1=20， 解得： x 0，即 A=（ ， 0）， 则 AB=（ 1， 0）， 故选： A 3下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A y=2 x B y=x3+x C y= D y=考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 根据奇函数图象关于原点对称，一次函数和 y= R 上的单调性，反比例函数在定义域上的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A y=2 x 的图象不关于原点对 称，不是奇函数， 该选项错误； B y=x3+x 的定义域为 R，且（ x） 3+（ x） =（ x3+x）； 该函数为定义域 R 上的奇函数； y= y=x 在 R 上都是增函数， y=x3+x 在 R 上为增函数， 该选项正确； C反比例函数 在定义域上没有单调性， 该选项错误； D y=图象不关于原点对称，不是奇函数， 该选项错误 故选： B 4点 P（ 2， 1）为圆（ x 1） 2+5 的弦 中点，则直线 方程为（ ） A x+y 1=0 B 2x+y 3=0 C x y 3=0 D 2x y 5=0 【考点】 直线与圆相交的性质 第 5 页（共 15 页） 【分析】 由垂径定理，得 点与圆心 C 的连线与 相垂直，由此算出 斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线 方程 【解答】 解： 圆（ x 1） 2+5 的弦，圆心为 C（ 1， 0） 设 中点是 P（ 2， 1）满足 此， 斜率 k= = =1 可得直线 方程 是 y+1=x 2，化简得 x y 3=0 故选： C 5执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 15 B 21 C 24 D 35 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， i=1 T=3， S=3， i=2 不满足 i 4， T=5， S=8， i=3 不满足 i 4， T=7， S=15， i=4 不满足 i 4， T=9， S=24， i=5 满足 i 4，退出循环，输出 S 的值为 24 故选： C 6已知 a， b R，则 “2”是 “a2+4”成立的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 2，可得： a2+24反之不成立，例如取 a= ， b=2即可判断出结论 【解答】 解： 2， a2+24，当且仅当 a=b= 时取等号 第 6 页（共 15 页） 反之不成立，例如取 a= ， b=2 “2”是 “a2+4”成立的充分不必要条件 故选： A 7在平面直角坐标系中，若不等式组 ，（ a 为常数）表示的区域面积等于 3，则 a 的值为（ ） A 5 B 2 C 2 D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于 3，构造关于 a 的方程，解方程即可得到答案 【解答】 解：不等式组 ，（ a 为常数）围成的区域如图所示 由于 x， y 的不等式组所表示的平面区域的面积等于 3， | |3，解得 |6， C 的坐标为（ 1， 6）， 由于点 C 在直线 y+1=0 上， 则 a 6+1=0，解得 a=5 故选： D 8如图，矩形 矩形 在的平面互相垂直，将 折，翻折后的点 E（记为点 P）恰好落在 ，设 ， FA=x（ x 1）， AD=y，则以下结论正确的是（ ） A当 x=2 时， y 有最小值 B当 x=2 时，有最大值 第 7 页（共 15 页） C当 x= 时， y 有最小值 2 D当 x= 时， y 有最大值 2 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 由已知得 P=C=y， C=1， E=DP=x，从而 ， ，进而得到 = ，由此利用换元法及二次函数性质 能求出结果 【解答】 解： 矩形 矩形 在的平面互相垂直， ， FA=x（ x 1）， AD=y， P=C=y， C=1， E=DP=x 在 ， ， 在 ， ， 在 ， ， P+ =y 整理得 = ，令 t= 则 ， 则当 t= ，即 x= 时， y 取最小值 故选： C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9已知向量 =（ 2， 1）， + =（ 1， k），若 则实数 k 等于 3 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 由条件求出 的坐标，由 可得 =0，解方程求得 k 的值 【解答】 解： 向量 =（ 2， 1）， + =（ 1， k）， =（ 1， k 1） ，则 =（ 2， 1） （ 1， k 1） = 2+k 1=0， k=3， 故答案为 3 第 8 页（共 15 页） 10抛物线 ： =1的两条渐近线所围成的三角形面积为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 x 的准线为 x= 2， 双曲线 C： =1 的两条渐近线为 y= x， 可得两交点为（ 2， ），（ 2， ）， 即有三角形的面积为 2 2 =2 故答案为： 2 11在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a=2 B= 或 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用正弦定理可得， 而可求 而可求 B 【解答】 解： a=2 由正弦定理可得， 0， ， 0 B 180 B= 或 故答案为： 或 12已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 3+4（单位： 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几 何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面， 底面圆的半径是 1线长是 2 第 9 页（共 15 页） 几何体的表面积 S= 12+ 1 2+2 2=3+4（ 故答案为： 3+4 13国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年 0%的增长率增长； R 型电动汽车的销售将每月递增 20 辆，已知该地区今年 1 月份销售 Q 型和 R 型车均为 50 辆，据此推测该地区今年 Q 型汽车销售量约为 1050 辆；这两款车的销售总量约为 2970 辆（参 考数据： 【考点】 等差数列与等比数列的综合；对数的运算性质 【分析】 由题意可得，今年 Q 型电动汽车的月销售量与 R 型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前 n 项和求解 【解答】 解：由题意可得，今年 Q 型电动汽车的月销售量构成以 50 为首项，以 公比的等比数列， 则今年 Q 型电动汽车的销售量为 1050； R 型电动汽车的月销售量构成以 50 为首项，以 20 为公差的 等差数列， 则 R 型电动汽车的销售量为 =1920 这两款车的销售总量约为： 1050+1920=2970 故答案为： 1050； 2970 14设集合 +b|1 a b 2中的最大和最小元素分别是 M、 m，则 M=5， m=2 【考点】 集合的表示法 【分析】 根据级别不等式的性质求出最小值， a 取最小值 1， b 取最大值 2 时，求出最大值M 【 解答】 解： +b +a 2 ，故 m=2 ， a=1， b=2 时 +b=5，故 M=5， 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 15已知函数 f（ x） =2x R （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）求函数 f（ x）在 0， 上的最大值与最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ 1）根据两角差的正弦公式得到 f（ x） = ，从而求出 f（ x）的最小正周期； （ 2）根据 x 的范围，求出 2x 的范围，从而求出 f（ x）的最大值和最小值即可 第 10 页（共 15 页） 【解答】 解：（ 1）由已知 f（ x） =2， f（ x）的最小正周期为 ； （ 2） ， ， 当 ， 即 x=0 时， x） = 2， 当 ，即 时， 16某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了 3月 1日至 3月 6日的每天昼夜温差与实验室每天每 100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据： 日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 3 月 6 日 昼夜温差（ ） 9 11 13 12 8 10 发芽数（粒） 23 25 30 26 16 24 （ 1）求此种蔬菜种子在这 6 天的平均发芽率； （ 2）从 3 月 1 日至 3 月 6 日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选 2 天记录发芽的 种子数分别为 m， n，用（ m， n）的形式列出所有基本事件，并求满足 的事件 A 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）根据平均数即可求出， （ 2）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ 1）这 6 天的平均发芽率为： ， 这 6 天的平均发芽率为 24%， （ 2）（ m， n）的取值情况有 事件数为 15， 设 为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为（ 25， 30），（ 25， 26）（ 30， 26）， 所求概率 第 11 页（共 15 页） 17已知等差数列 ， （ 1）求数列 通项公式 （ 2）令 bn=c ，其中 c 为常数，且 c 0，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）利用等差数列通项公式即可得出 （ 2）对 c 分类讨论，利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）由已知 ， 解得 d=2， ， 数列 通项公式为 n 1 （ 2）由（ ）知： bn=c =1， 当 c=1 时， ， Sn=n 当 c 1 时， ， b1=c，公比为 等比数列； 18如图，已知 平面 平面 等边三角形， E=2，F， G 分别为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求四棱锥 C 体积； （ 3）判断直线 平面 位置关系，并加以证明 【考点】 直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由 平面 出平面 平面 等边三角形得出 用面面垂直的性质得出 平面 （ 2）棱锥的底面 直角梯形，高为 入体积公式计算即可； （ 3）取 中点 H，连结 可证明四边形 平行四边形，于是 H，得出 平面 【解答】 证明：（ 1） F 为等腰 边 中点， 平面 面 第 12 页（共 15 页） 平面 平面 平面 面 D， 平面 平面 （ 2） 边长为 2 的等边三角形， S 梯形 =3， （ 3）结论：直线 平面 证明：取 中点 H，连结 G 是 中点， =1， 平面 平面 B=1， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 19已知函数 f（ x） =x+1 在 x= 1 处取得极值 （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 y=f（ x） m 1 在 2， 2上恰有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，得到关于 a 的方程，求出 a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即 可； （ 2）问题等价于 x=m 在 2， 2上恰有两个不同的实根令 g（ x） =x，求出函数的单调性求出 g（ x）的最小值，从而求出 m 的范围即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =ex+， f（ x）在 x=1 处取得极值， f（ 1） =0，解得 a=1经检验 a=1 适合， f（ x） =x+1， f（ x） =（ x+1）（ ）， 当 x （ ， 1）时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， 1）递减； 当 x （ 1+）时， f（ x） 0， f（ x） 在（ 1， +）递增 （ 2）函数 y=f（ x） m 1 在 2， 2上恰有两个不同的零点， 等价于 x m=0 在 2， 2上恰有两个不同的实根， 等价于 x=m 在 2，