高一秋季物理竞赛班第10讲_学生版

第10讲 曲线运动本讲提示： 1.本讲的理论推导尽量在听懂的基础上自己能独立完成，不然容易留下“心理阴影”。 2.新课为了激发兴趣肯定尽量结合实际讲，但是学习完后应该对理论有完整体系的认识。 总得来说，做好受虐的心理准备，听不懂回家死磕，实在不行记得让老师下讲复习。 3. 今天这讲一方面是为了让大家把曲线运动的知识学习了，另一方面也是为了把前面的牛顿定律、能量、动量的一些基本概念和方法复习一下。以便为了后面的能量转化、万有引力打好基础。 知识点睛曲线运动中的加速度 我们研究曲线运动，运用的坐标系不同，加速度分量式是不同。物理学研究的时候根据研究问题的特点不同，采用的坐标系经常不一样，比如直角坐标系，自然坐标系，极坐标系，球坐标系，注坐标系等，在高一暑假的讲义上，我们曾经铺垫过一些，本讲继续讨论。 在普通的直角坐标系中，分加速度容易理解，每个坐标方向相互独立。记为：对应的动力学方程就是牛顿定律分量式，具体的应用参考我们对于抛体以及恒力曲线运动的处理，这个方法比较适合恒力作用下的曲线运动。由于浅显易懂，本讲不再重复。1.自然坐标系以及加速度分量 除了直角坐标系以外，我们还经常会用自然坐标系研究加速度。有一类曲线运动是在已知轨道上进行的，这时，可以在轨道上任取一参照点，这样就可以在轨道上用到的距离来表示运动方程。这就是自然坐标，实际初中物理中的匀速率运动公式就是这个坐标系中的方程。 我们把运动方向叫切向，垂直运动方向叫法向。对应的，每个方向的加速度叫切向加速度，与法向加速度。下面用数学推导相应的加速度。当质点做曲线运动时，一般速度的大小和方向都在变化。为计算P位置加速度，将速度增量分解为与平行的分量和垂直的分量，如图：质点在P的加速度为 其中就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有规律： 易从相似三角形得： ， 其中R为P位置的“曲率半径”， 由于，所以还有： 如果物体做圆周运动，这个加速度又叫向心加速度，向心加速度的规律最早由惠更斯在研究匀速圆周运动时发现。惠更斯发现：做匀速圆周运动的物体，其受合外力总是正比于物体质量，正比于物体速度平方，反比于其圆轨道半径。记为： 这就是高中教材上的圆周运动向心力定理。 应该说这个结论还是很实用的，虽然只是我们推论中的一个特殊情况。 由于暂时我们的同学对于向量微分的运算还不了解，为了把上述推导在极坐标系里推广，必须把自然坐标系的计算结果做一个形象的总结。【总结】（1）改变一个速度的大小的加速度分量与速度共线，由速度大小变化率决定。（2）改变一个速度方向的加速度与该速度垂直指向旋转的内侧，大小正比于速度与角速度乘积。 利用以上推论我们引入极坐标里的加速度2.极坐标系以及加速度分量极坐标以到参考点（又叫极点）的距离以及到参考射线（极轴）的夹角来描述平面内的点（，），其数学优点是某些平面坐标系里的很复杂的曲线方程很简单（比如以极点为圆心的圆的方程为）。极坐标在物理上的优势是描述一些既沿着径向运动，又绕着固定点的旋转的运动比较直观。比如椭圆轨道卫星的运动，我们关心卫星到地面高度以及方位角。又比如我们以前学习运动关联时候用绳子或杆衔接的物体，既有径向速度，又有转速。都比较适合极坐标，如图:水平向左运动的物体B的速度分解为沿着绳子的分量以及垂直绳子的转速，根据自然坐标系得到的加速度计算原理：1.在绳子方向（径向）上一共是两个加速度，一个改变大小，与拉绳子的加速度大小一致，另一个改变方向，大小。2.在垂直绳子方向（垂向，注意不是切向）也有两加速度，一个改变大小，另一个改变方向，注意这个加速度不等于 ,而等于。专业的力学教材还会对这些加速度中的某些项取一堆形象的名字方便记忆，比如著名的科里奥利加速度，平面系5个加速度等。由于这个加速度过于依赖向量微分的理解，这里就不引入了。期望着以上的讨论能引起同学们对于向量代数甚至向量微积分的兴趣，因为很复杂的物理情景理解问题在向量微积分里可以简化为几个简单的算符。学而思物理竞赛的教学一种灌输一种观点，那就是方程是最美最高效率的物理语言。开始喜欢上物理的同学一般都是因为物理对现实的超理性理解。但多数喜欢物理的人进入大学后都容易对脱离实际现象的数学运算产生排斥感和畏惧感，希望同学们尽量的克服。一旦我们弄懂一个方程运算可以处理的实际情景之广泛，就会疯狂的喜欢上这种方程。方程会让我们对众多的问题有一个统一的观点，方程会让我们需要记忆的量以及概念辨析的量减少为最少。从现实的角度，很多喜欢物理而且具备很高物理直觉天赋的同学最终在学习物理的过程中被郁闷，基本都是因为不适应物理的数学描述方式。我们提倡数理结合一起理解物理的教学观点也是希望更早的开始帮助我们同学克服上述困难。同学们要在科学道路上走的更高更远，与其被数学语言虐，不如学会去享受它。当然如果我们学习物理只是作为科学知识去了解物理一下，物理确实不需要过多的数学语言去表达它。即便从概念以及逻辑思辨的角度去学习物理，物理也是很美丽很迷人的，因为他可以几乎可以无限的满足人先天本能中那种无法抑制的探索欲与求知欲。例题精讲【例1】 如图一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为R，角速度为的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，若人手做功的功率为P，求：（1）小球做匀速圆周运动的线速度大小；（2）小球在运动过程中受到的摩擦力的大小【例2】 如图所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，河岸离水面高h，绳子与水平面成角度。不计船受的阻力，船的质量为m，计算车匀速以速度v1拉动船拉力F与函数。【例3】 如图，把一个质量为m的物体放于半径为R的光滑圆上，用向上的拉力F拉着物体把物体往下放：（1） 如果以恒定的拉力F让物体往下滑，计算支持力与函数。（2） 如果物体以恒定的竖直分速度v沿着光滑面往下滑，计算拉力F与函数。【例4】 一个半径为R的半圆柱沿水平方向做加速度为a的匀加速运动，在圆柱上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图，当半圆的速度向右以v运动时，且如图中角度已知，求竖直杆的加速度。【例5】 用一条细线把质量为的圆环挂起来，环上穿着两个质量为的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动（如图所示）如果两小环同时从大环顶部释放并沿相反方向自由滑下，下落过程中小环与大环圆心的连线与竖直线的夹角用表示要使绳子拉力在小环下落过程的某时刻刚好变为零，则必须满足什么条件？当满足上述条件时，角达到多大时，绳子拉力刚好变为零【例6】 如图所示，质量为的小车以恒定速率沿半径为的竖直圆环轨道运动，已知动摩擦因数为，试求小车从轨道最低点运动到最高点过程中，摩擦力做的功 【例7】 如图所示，长L的细绳一端固定于A点，另一端系一小球水平x轴的原点O位于悬点A的正下方处现在x轴正方向上某处钉一钉子P，再将球拉到细绳处于水平的位置，由静止释放，要使球下摆后可绕钉子P在竖直平面内转动一周已知细绳能承受的最大拉力为球重的7倍，不计空气阻力求钉子P应钉在x轴上的位置坐标范围ALPOx【例8】 有一个摆长为l的摆(摆球可视为质点，摆线的质量不计)，在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处(xl)的C点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡当l一定而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同现将摆拉到位于竖直线的左方(摆球的高度不超过O点)，然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x的最小值【例9】 把两个质量均为m的小球用长度为2r的轻绳连接，放于光滑水平地面，分别对两球施加一对瞬时冲量产生一对初速度v与-v，两位同学为计算绳子上张力出现了矛盾。A同学认为：以绳子中心为圆心，那么拉力为B同学认为：一右端球为圆心，拉力为哪位同学考虑不周？为什么？【例10】 如图所示，1根长为2L的细绳，两端各系1个质量为m的小滑环，滑环套在固定的水平杆上，细绳的中点挂1个质量为M=2m的重物。不计细绳质量和一切摩擦，从细线与滑杆平行位置由静止释放到水平杆与绳夹角为=30的位置时，已知m速度为v(1)重物速度为多大？(2)连接滑环与重物的细绳中的张力为多大？【例11】 长度为L的轻杆上端连接着一个质量为m的 体积可忽略的小重物B。杆的下端被用铰链固接与水平面上的A点。同时，置于同一水平面上的立方体C恰好与B接触，立方体C的质量为M。今作一个微小扰动，使杆子向右倾倒，设B与C、C与水平面间无摩擦，而B与C刚刚脱离接触的 瞬间，杆与地面夹角恰好为30，计算此时B的速度以及杆上拉力。【例12】 一绳的一端连接于A点,绳上距A点为a处系有一重物B,其质量为m，绳的;另一端通过定滑轮C,现以恒定速率v收绳,当绳收至图示位置时,写出此时人的拉力符合的两个方程,(,已知已知)【例13】 试证明在有心力作用下（时刻指向一个固定点的力），做曲线运动的物体角动量（物体质量m速度v以及到固定点距离r以及r与v夹角正弦乘积mvrsin）守恒。【例14】 计算以速度v平抛的物体抛出后轨迹曲率半径与时间的函数，以此模型推导抛物线曲率半径公式。课后练习1.如图所示，半径为的圆筒，绕竖直中心轴转动，小物块靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的摩擦因数为，现要使不下滑，则圆筒转动的角速度至少为（ ）A B C D2.如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为，离轴心，B的质量为，离轴心，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求（1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）3.水平桌面上放着三个圆柱体A,B,C，它们的半径均为r，质量mB=mC=mA。先让它们保持如图所示的位置，然后从静止开始释放，若不计接触面间的摩擦，求A触及桌面时的速度,已知分离时AB连线与水平夹角为。趣味物理故事 清朝全息相片之谜 清朝时候，有个姓汪的官员外出，乘马车走在一处河堤上天空忽然阴云密布，随即雷鸣电闪，大雨倾盆汪某急忙让车子停在一棵大柳树下躲避 雨过天晴，汪某下车方便，回头时猛地看见车窗内有几个人影，心中不禁一惊揭开车帘看，车厢里空无一人，仔细审视，原来人影是在车窗玻璃上回家后，人影依然不散，家人都以为神异，就把这块玻璃取下供奉起来 20几年后，汪家的儿童用弓箭游戏，不小心打碎了玻璃奇怪的是，每一块碎片上的影像仍然是完整的 汪某的外甥，翰林院侍读张亮基得到一块碎片，拿去给他的好友姚元之看姚元之把自己看到的情况记录下来，并收入他所写的竹叶亭杂记书中 书中记载：放平了看，这是一块残缺的玻璃片，但斜向阳光看去，就有一个“仙人”坐在里面，仪容端庄，面色微红，双目炯炯，胸前飘着长长的白须，头戴红色道冠，穿紫色衣服，右手执一柄羽毛扇，身旁还侍立着一个童子 姚元之在清代嘉庆、道光两朝，做官近40年，经历丰富，博学能文，著述严谨囿于当时认识水平，姚元之把