高中物理竞赛第八阶段 第3讲 电容 电介质 电能（无答案）

高二物理竞赛 第 3 讲电容、电介质、电能本讲导学本讲将带领大家,用电像法解决一些更牛 x 的问题,并对电介质有更深入的探讨,甚至可以看看很不 科学的漏电的电容.电像法进阶【例1】 距离无限大接地导电平面 d 处，有一带电量为 q 的点电荷，现将其缓慢移至无穷远处，求外 力做功.【例2】 有一中间凸起一个半球形的无穷大平面（如图），凸起的半径为 R. 在凸起的正上方有一带电 量为 Q 的点电荷，距球心 d. 求此点电荷的受力. 讲述高端的，真正的物理学 1高二物理竞赛第 1 讲学生版【例3】 两相互平行的无限长的细绝缘线上分别带等量正负电荷，相距 D，电荷线密度为.证明其等势面为圆柱形.【例4】 有一无限长金属圆筒，半径 R，在距离其轴线 d（R）处有一无限长的细绝缘线，所带电荷 线密度为 l .求金属表面电荷面密度分布.【例5】 （选作）两个半径同为 R 的导体球相互接触，形成孤立双球导体系统. 求此系统的电容量.（提示：1-1/2+1/3-1/4+=ln2） 讲述高端的，真正的物理学 2 电介质我们知道，当导体（为简便这里特指金属）处在外电场中时，由于其中有大量可以随意移动，而不受束缚的电子（这些电子也由此被称为自由电子），这些电子处在外电场中时，会在库伦力的作用下 沿电场的反方向运动，直到导体的表面（当然导体对电子的放纵只限于自己体内，要逃到导体之外可 得足够大的能量才行），这些电子的再分布（主要分布在表面），最终将使导体内的总电场为零. 由此可 以进一步推导出之前学过的导体的各种性质.而电介质则不同，其中没有可以自由移动的电子，当电介质处于外场中时（如图中的简单情况）， 没有可以移动的电子，于是不能将外场抵消. 电介质分子一般可分为正负电荷重心重合的无极分子，和 正负电荷重心不重合的有极分子（大量的这样的分子无规排列，整体呈电中性）. 在电场的拉扯下，这 些分子或者重负电荷重心被拉开一小段距离（位移极化），或者重新排列（取向极化），宏观上产生正 负电荷的分离，出现类似偶极子的情况（如图）. 我们用一个叫做极化强度 P 的矢量来描述其强度.对于最简单的电介质，实验表明 P=e0E（这是总电场），e 为电极化率，由电介质的性质决定.最终会在表面形成一层极化电荷，这些极化电荷产生的电场能减小外场，但不能像导体那样完全 抵消.高二物理竞赛第 1 讲学生版定义一个新的矢量 D = e0 E + P ， D 叫做电位移矢量.将 P 的定义式带进去， D = e0 E + P = e0 E + cee0 E = ere0 E最终，电介质中总电场减小到 E = E0 + E =E0 / er其中的 e r 即为相对介电常数. 讲述高端的，真正的物理学 3可以证明，对于处在无限大介质中的静电学问题，只需将电学公式中的 0 换成 r0，以前在真空 中学的公式就都能用了，例如，点电荷间作用力 F=q1q2/(4r0r2)，点电荷产生的电场 E= q/(4r0r2)等 等.为了稍微理解一点引入电位移矢量的目的，并避免抽象的积分式，我们考虑一个处在无限大、相 对介电常数为 r 的电介质中的点电荷，其电量为 Q0，它在 r 处产生的电场强度为 E=Q0 /(4r0r2). 取如 图半径为 r 的闭合球面，由高斯定理可知： F = S E = Q0 / ere0 = Q / e0 . 这里的 Q 是包含 Q0 及极化电荷 Q 的总电荷. 如果取电位移矢量的通量 F = S D = Q0 ，此通量与极化电荷 Q 无关，因此更方便讨论.但无限大介质中的电学问题太特殊，我们总会遇到有限大介质的问题，在两种不同的电介质分界 面两侧，D 和 E 一般要发生突变，这时候就需要有边界条件才能最终确定电场的解. 所谓边界条件就 是在两种介质交界处，电场需要满足的条件. 如图，在两种相对介电常数分别为 r1 和 r2 的电介质分界面处，作一小的扁平的柱状高斯面, 使其 上、下底面(面积为 S)分别处于两种介质中，并与界面平行，柱面的高很小。假设在界面上不存在自由 电荷，对此高斯面运用电位移矢量的高斯定理，有(D1 D2 )S=0，即(D1n- D2n)S=0.即 D1n = D2n，下标 n 表示垂直于介质表面（法向）的分量. 在上述两种介质分界面处作一小的矩形回路 ABCDA，使两长边(长度为 l )分别处于两种介质中，并与界面平行，短边更小，如图 9-36 所示。取界面的切向单位矢量 t 的方向沿界面向上。由静电场的 环路定理得：（E1 E2 )l=0，即(E1t-E2t)l=0.即 E1t=E2t，下标 t 表示平行于介质表面（切向）的分量. 综合起来，电介质的边界条件就是：电位移矢量法向连续，电场强度矢量切向连续. 讲述高端的，真正的物理学 4【例6】 平行板电容器大家已经很熟悉了. 如图，平行板电容器的各参数为：S，d，r，导体板带电量 为Q. 公式 Q=CU 中的 Q 实际指的是电极板（导体）上所带的电荷（自由电荷）.1） 请计算介质表面的极化电荷密度.2） 导体板上的自由电荷与各自介质表面的极化电荷之和为总电荷，计算总电荷产生的电场.（理 解插入介质板后电场减小）【例7】 如图，电容参量为 S，d，导体板带电量为Q. 求各部分中的 D 和 E，以及各个界面上的极化 电荷.体会边界条件. 讲述高端的，真正的物理学 5【例8】 一个半径为 R、相对介电常数为 r 的介质球处在强度为 E0 的匀强电场中，在其表面产生的极 化电荷可这样等效：两个半径同为 R，电荷密度分别为的介质球错开一个很小的位置 d. 用边界条件求此（用 d 及已知量表示），并用唯一性定理说明这是唯一解.再由此求极化电荷面密度 和距球心 r 处电场强度.【例9】 （选讲）漏电电容器. 如图，电容参数 S，d，电池电压 V，两层介质相对介电常数和导电率 分别为 r1，1，和 r2，2. 求稳定后三个界面处的自由电荷密度和总电荷密度. （提示：电流密 度与电场强度之间关系为：j=E，稳定后介质中电流密度应相同，