高中物理竞赛第五阶段第2讲 洛伦兹力

第2讲洛伦兹力本讲导学1. 洛伦兹力。2. 带电粒子在磁场中的动力学问题。知识点睛1.洛伦兹力载流导线所受的安培力，我们可看为是磁场作用给运动电荷即自由电子的力，经自由电子与导体晶格的碰撞而传递给导线的。根据安培定律，而电流强度与运动电荷有关系，角既是O电流元与B的夹角，也可视为带电粒子的速度与之间的夹角，长导线中有粒子数，则每个电子受到的力即洛伦兹力为记为矢量式为洛伦兹力总是与粒子速度垂直，因此洛伦兹力不作功，不能改变运动电荷速度的大小，只能改变速度的方向，使路径发生弯曲。洛伦兹力的方向从图可以看出，它一定与磁场(B)的方向垂直，也与粒子运动()方向垂直，即与、B所在的平面垂直，具体方向可用左手定则判定。但应注意，这里所说的粒子运动方向是指正电荷运动的方向，它恰与负电荷沿相反方向运动等效。【思考】安培力可以做功，为什么洛仑兹力不能做功？应该注意“安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现”这句话的确切含义“宏观体现”和“完全相等”是有区别的。我们可以分两种情形看这个问题：（1）导体静止时，所有粒子的洛仑兹力的合力等于安培力（这个证明从略）；（2）导体运动时，粒子参与的是沿导体棒的运动v1和导体运动v2的合运动，其合速度为v ，这时的洛仑兹力f垂直v而安培力垂直导体棒，它们是不可能相等的，只能说安培力是洛仑兹力的分力f1 = qv1B的合力。很显然，f1的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者说f1的正功和f2的负功的代数和为零）。如果从能量的角度看这个问题，当导体棒放在光滑的导轨上时（，导体棒必获得动能，这个动能是怎么转化来的呢？若先将导体棒卡住，回路中形成稳恒的电流，电流的功转化为回路的焦耳热。而将导体棒释放后，导体棒受安培力加速，将形成感应电动势（反电动势）。动力学分析可知，导体棒的最后稳定状态是匀速运动（感应电动势等于电源电动势，回路电流为零）。由于达到稳定速度前的回路电流是逐渐减小的，故在相同时间内发的焦耳热将比导体棒被卡住时少。所以，导体棒动能的增加是以回路焦耳热的减少为代价的。2、带电粒子在匀强磁场中的运动规律总的来说我们要讨论的问题既简单又复杂：知道了一个粒子受的力讨论其轨迹，这是最基本的牛顿定律运用的问题。但是这个力居然与运动方向垂直，还与速度有关，所以动力学方程往往非常难解。不妨先看几个简单直观的例子：1.如果带电粒子原来静止，它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用，因而保持静止。2.如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上，该粒子仍不受洛伦磁力的作用，粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动。带电粒子速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度作匀速圆周运动。带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的四个基本公式。(1)向心力公式：(2)轨道半径公式：(3)周期、频率和角频率公式，即：，应用1：回旋加速器 在高能物理研究中，粒子加速器起着重要作用，而早期的加速器只能使带电粒子在高压电场中加速一次，因而粒子所能达到的能量受到高压技术的限制。1930年，Earnest O. Lawrence提出了回旋加速器的理论，他设想用磁场使带电粒子沿圆弧形轨道旋转，多次反复地通过高频加速电场，直至达到高能量。图 甲为Earnest O. Lawrence设计的回旋加速器的示意图。它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝；两个D型盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压。图 乙为俯视图，在D型盒上半面中心S处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D型盒中。在磁场力的作用下运动半周，再经狭缝电压加速；为保证粒子每次经过狭缝都被加速，应设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，最后到达D型盒的边缘，获得最大速度后被束流提取装置提取出。B接交流电源甲S乙 3. 与成一般夹角时，做等螺距螺旋运动:半径: ，螺距: 这个结论的证明一般是将分解，不难理解。应用2：磁聚焦结构：见图，K和G分别为阴极和控制极，A为阳极加共轴限制膜片，螺线管提供匀强磁场。原理：由于控制极和共轴膜片的存在，电子进磁场的发散角极小，即速度和磁场的夹角极小，各粒子做螺旋运动时可以认为螺距彼此相等（半径可以不等），故所有粒子会“聚焦”在荧光屏上的P点。应用3：磁笼如上图（a）所示，两个电流方向相同的线圈产生中央弱两端强的不均匀磁场，当处于中间区域的带电粒子沿着z轴向右运动时，设粒子带正电荷q，速度v沿z轴，如图（b）所示，粒子受到洛伦兹力作用，使粒子向着如上图（b）所示方向（垂直屏幕向里）偏转。可见粒子将获得绕轴旋转的运动速度（图中用代表其方向），随着粒子分速度的出现，又将受到洛伦兹力F的作用，其径向分量使粒子向轴线偏转，轴向分量使带电粒子的轴向速度v减少，因为，B增大，v减小得也快，粒子运动到右端线圈附近时，由于该处B很大，如 果v初始速度较小，则v有可能减至为零，然后就反向运动，犹如光线射到镜面上反射回来一样。 如果处于中间区域的带电粒子沿着z轴向左运动，类似分析，如上图（c），可以得出带电粒子运动到左端线圈附近时，带电粒子轴向速度也有可能减至为零，然后带电粒子反向运动。我们通常把这种能约束运动带电粒子（见右图动画）的磁场分布叫做磁镜，又形象地称为磁瓶，上图（a）所示的便是一种磁镜装置，对于其中的带电粒子来说，相当于两端各有一面磁镜。那些纵向速度不是太大的带电粒子将在两磁镜之间来回反射，被约束在两面“镜子”之间的中间区域而不能逃脱。 如前所述，不仅带电粒子的横向运动可被磁场抑制，而且纵向运动又被磁镜所反射，所以这样的磁场分布就象牢宠一样，可以把带电粒子或等离子体约束在其中。 但磁镜装置有个缺点，即总有一部分纵向速度较大的粒子会从两端逃逸，所以采用环形磁场结构，可以避免这个缺点。 在受控热核聚变中，除了磁镜的约束外，还有其他的一些磁瓶装置，如托卡马克装置、仿星器等，它们的结构虽然不尽相同，但都是采用某种特定形态的磁场来约束等离子体。磁镜约束也存在于自然界中，例如地球磁场两极强、中间弱就是一个天然磁瓶，它使得来自宇宙射线的带电粒子在两磁极间来回振荡，（如上右图）从而形成第十章所提到的范阿仑辐射带。生活在地球上的人类及其他生物都应十分感谢这个天然的磁镜约束，正是靠它才将来自宇宙空间、能致生物于死命的各种高能射线或粒子捕获住，使人类和其他生物不被伤害，得以安全地生存下来。同时如果没有地球的磁场，地球的大气会向火星一样被太阳喷射的离子流吹走，地球上的生物也早就灭绝了。 以上这样讲有案例教学的嫌疑，所以对于其他的情况我们不再举例，而是变成问题和大家一起研究。例题精讲【例1】 图示为氢原子中电子绕核做快速圆周运动，方向为逆时针，此运动可等效为环形电流。设此环形电流在通过圆心并垂直圆面的轴线上的某点P产生的磁感强度大小为B1 。现在沿垂直轨道平面的方向上加一磁感强度为B0的外磁场，这时，设电子轨道半径没有变，而速度发生了变化。若此时环形电流在P点产生的磁感强度为B2 ，则：（1）当B0方向向里时，B2和B1有什么关系？（2）当B0方向向外，再回答以上问题。 【例2】 在如图 所示的直角坐标系中，坐标原点O固定电量为Q的正点电荷，另有指向y轴正方向(竖直向上方向)，磁感应强度大小为B的匀强磁场，因而另一个质量为m、电量力为q的正点电荷微粒恰好能以y轴上的点为圆心作匀速圆周运动，其轨道平面(水平面)与平面平行，角速度为，试求圆心的坐标值。 【例3】 在三维直角坐标中，沿+z方向有磁感强度为B的匀强磁场，沿z方向有电场强度为E的匀强电场。在原点O有一质量为m 、电量为q的粒子（不计重力）以正x方向、大小为v的初速度发射。试求粒子再过z轴的坐标与时间。YzxBE【例4】 如图所示，oxyz坐标系的y轴竖直向上，在坐标系所在的空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向与x轴平行从y轴上的M点（0，H，0）无初速释放一个质量为m、电荷量为q的带负电的小球，它落在xz平面上的N（c，0，b）点（c0，b0）若撤去磁场则小球落在xy平面的P（l，0，0）点（l0）已知重力加速度为（1）已知匀强磁场方向与某个坐标轴平行，试判断其可能的具体方向；（2）求电场强度E的大小；（3）求小球落至N点时的速率vyxzoM(0,H,0)N(c,0,b)P(l,0,0)ABV00Ov【例5】 如图所示，虚线AB右侧是磁感应强度为B的匀强磁场，左侧是磁感应强度为2B的匀强磁场，磁场的方向垂直于图中的纸面并指向纸面内，现有一带正电的粒子自图中O处以初速度V0开始向右运动。从开始时刻到第10次通过AB线向右运动的时间内，该粒子在AB方向的平均速度？。【例6】 在空间有相互垂直的匀强电场E和匀强磁B，电场方向为 y，磁场方向为x，一电子从原点O静止释放，求电子在y方向前进的最大距离。【例7】 计算上题粒子的轨迹方程。研究性问题：霍尔效应将一载流导体放在磁场中，由于洛伦兹力的作用，会使带电粒子(或别的载流子)发生横向偏转，在磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象称为霍尔效应。如图所示，电流I在导体中流动，设导体横截面高h、宽为d匀强磁场方向垂直与导线前、后两表面向外，磁感强度为B，导体内自由电子密度为n，定向移动速度由于洛伦兹力作用，自由电子向上表面聚集，下表面留下正离子，结果上下表面间形成电场，存在电势差U，这个电场对电子的作用力方向向下，大小为当F与洛伦磁力f相平衡时，上、下表面电荷达到稳定，则有如果导电的载流子是正电荷，则上表面聚集正电荷，下表面为负电势，电势差正、负也正好相反。下面来分析霍尔电势差，求出霍尔系数。在图中，设大块导体的长和宽分别为L和d，单位体积自由电荷密度为n，电荷定向移动速率为，则电流。假定形成电流的电荷是正电荷，其定向移动方向就是电流方向。根据左手定则，正电荷向上积聚，下表面附近缺少正电荷则呈现负电荷积聚，上正下负电压为，正电荷受到跟磁场力反向的电场力的作用。电场对正电荷向上的偏移积聚起阻碍作用，当最后达到平衡时，可得。可见，理论推导的结果跟实验结果完全一致，系数既然k跟n有关，n表征电荷浓度，那么通过实验测定k值可以确定导体或半导体的电荷浓度n，半导体的n值比金属导体小得多，所以k值也大得多。此外根据左手定则还可知，即使电流I就是图中的流向，如果参与流动的是正电荷，那么电压就是上正下负；如果参与定向移动的是自由电子，那么电压就是上负下正了。霍尔电势的高低跟半导体是p型的还是n型的有如此的关系：上正下负的是p型半导体，定向载流子是带正电的空穴：上负下正的是n型半导体，如果k值小得多就是金属导体，定向载流子是自由电子。【例8】 一根边长为a、b、c(abc)的矩形截面长棒，如图所示，由半导体锑化铟制成，棒中有平行于a边的电流I通过，该棒放在垂直于c边向外的磁场B中，电流I所产生的磁场忽略不计。该电流的载流子为电子，在只有电场存在时，电子在半导体中的平均速度，其中为迁移率。1)确定棒中所产生上述电流的总电场的大小和方向。2)计算夹c边的两表面上相对两点之间的电势差(已知数据：电子迁移率，电子密度，I=1. 0A，B=0.1T，b=1.0cm，c=1.0mm，e=1.610-19C)【例9】 如图所示， Ml M2和 M3 M4都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密排列成的导线排横截面，两导线排相交成120，O O 为其角平分线每根细导线中都通有电流 I ，两导线排中电流的方向相反，其中Ml M2中电流的方向垂直纸面向里导线排中单位长度上细导线的根数为图中的矩形abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直半导体片的横截面，（），长直半导体片与导线排中的细导线平行，并在片中通有均匀电流I0，电流方向垂直纸面向外已知 ab 边与 O O 垂直，l，该半导体材料内载流子密度为 n ，每个载流子所带电荷量的大小为 q 求此半导体片的左右两个侧面之间的电势差已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时，电流产生的磁场离直导线的距离为r处的磁感应强度的大小为 ,式中k为已知常量【例10】 如图，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CMCN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：1）粒子在磁场里运动的轨道半径及周期T； 2）该粒子在磁场里运动的时间t； 3）该正三角形区域磁场的最小边长；你知道么？电磁炮 电磁炮听起来很神秘，其实它的结构和原理很简单电磁炮是利用电磁力代替火药曝炸力来加速弹丸的电磁发射系统，它主要由电源、高速开关、加速装置和炮弹四部分组成目前，国外所研制的电磁炮，根据结构和原理的不同，可分为以下几种类型： （一）线圈炮：线圈炮又称交流同轴线圈炮它是电磁炮的最早形式，由加速线圈和弹丸线圈构成根据通电线圈之间磁场的相互作用原理而工作的加速线圈固定在炮管中，当它通入交变电流时，产生的交变磁场就会在弹丸线圈中产生感应电流感应电流的磁场与加速线圈电流的磁场互相作用，产生洛仑兹力，使弹丸加速运动并发射出去 （二）轨道炮：轨道炮是利用轨道电流间相互作用的安培力把弹丸发射出去它由两条平行的长直导轨组成，导轨间放置一质量较小的滑块作为弹丸当两轨接人电源时，强大的电流从一导轨流入，经滑块从另一导轨流回时，在两导轨平面间产生强磁场，通电流的滑块在安培力的作用下，弹丸会以很大的速度射出，这就是轨道炮的发射原理 （三）电热炮：电热炮的原理完全不同于上述两种电磁炮，其结构也有多种形式最简单的一种是采用一般的炮管，管内设置有接到等离子体燃烧器上的电极，燃烧器安装在炮后膛的末端当等离子体燃烧器两极间加上高压时，会产生一道电弧，使放在两极间的等离子体生成材料（如聚乙烯）蒸发蒸发后的材料变成过热的高压等离子体，从而使弹丸加速 （四）重接炮：重接炮是一种多级加速的无接触电磁发射装置，没有炮管，但要求弹丸在进入重接炮之前应有一定的初速度其结构和工作原理是利用两个矩形线圈上下分置，之间有间隙长方形的“炮弹”在两个矩形线圈产生的磁场中受到强磁场力的作用，穿过间隙在其中加速前进重接炮是电