高一秋季物理竞赛班第9讲_学生版

第9讲 功与动能本讲提示： 1.深刻理解功的定义。 2.使用动能定理分析力学过程 注意区分动量与动能，区别功与冲量。 知识点睛1 功物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作功。功表征了力对空间的累计效应。1. 恒力做功 在恒力作用下质点沿直线发生了一段位移，则在此过程中，力对质点所做的功按以下计算： 其中为F与的夹角。这个公式记为矢量的点乘式为： 功的单位为焦耳（J），其中注意：1 功为标量，但有正负：2 多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。证明：3 功的计算式中位移是受力质点作用点的参考系位移。实例：1.如图：拉力F对球做功等于Fx，但弹簧对墙做功为0。2.如图：一子弹射入一个可以自由移动的木块，设相互作用大小为F，则：子弹队木块做功：FS 木块对子弹做功：-F(l+S) 这样的定义必然导致相互作用力的总功不一定为零，这和相互作用力冲量很不一样，所以当我们对于一个系统进行功的计算时，必须考虑内力。恒定的相互作用力的总功为，其中d为相对位移。功的定义导致功的计算依赖参考系的选取，但是相互作用力的总功与参考系的选取无关。中学阶段只要不刻意强调，功指的都是对地的功。4 易证明恒力做功与轨迹无关，只取决于恒力方向上的位移。 如轨迹为曲线，可以把曲线看成无穷多段，如图，设恒力F作用下一物体，从a位置运动到b位置,把轨迹分成无穷段，分别为，整个过程中做功为其中为F方向上位分位移，与F同向取正，反之取负。实例：如图，用水平恒定的拉力F，把一个质量为m的球拉至新位置，拉力做功为Fl，重力做功为mgh。2. 变力做功 微元思想给出了变力做功的计算方法，无限分割路径，以直线段代替曲线段，计算每一小段功，累加即可，可以把功当做力对路径的路径积分。 作出的函数图像，曲线与横轴所围面积表示功的大小：实例：如图：弹性系数为 k 的弹簧，在弹力的作用下，从距原长为 x0 收缩到 x，作出弹力随着位移的函数图象，规定向右为正。图中阴影部分面积为弹簧对物体做功。由面积公式：3. 功率 单位时间做功为功率，用字母P表示，则功率定义式为： 其中代入总时间则计算得平均功率，趋近于零则计算为瞬时功率，瞬时功率还可用计算，其中为F与v夹角。4. 功与动能 计算功的目的是什么？功也是力的一种效果，定性的可以想到一定也是改变了与物体运动状态有关的一个物理量。以下我们用微元法推导，做功过程中一个重要原理：动能定理。 假设一个物体在外力F作用下，由a运动到b，速度由v0变化为vt，把整个轨迹等分成很多的，对一段，由于轨迹很短，可以看为匀变速直线运动，由牛顿第二定律：又易得：则同理有 叠加得 我们定义一个质量为m的物体以速度为v的物体具备的一个状态量,叫一个物体的动能，用字母Ek表示，记为： 上述推导结论可以表达为，一个物理做成中外力对某质点做功等于其动能增加量，这个原理叫质点动能定理。 对于质点组的情况，只需要把多个质点的方程叠加即可，注意质点组之间的相互作用总功在叠加过程中不一定能消去（内力总功不一定为零），那么质点组动能定理可表达为：即内力与外力总功等于系统总动能变化。实例： 当人从地面上跳起过程中，地板对人的力作用于脚上，起跳过程中，虽然身体重心在上升，但是脚没有上升，所以地面未对人做功，对人做正功的只能是人自身的内力（肌肉对骨骼的力，不是武侠小说中的内力），导致人加速上升。而跳水的时候，情况正好相反，跳板对人做功导致人加速上升。 从以上实例中我们应该看到，分析同一个事件，牛顿定律认为是地面对人的支持力导致人产生向上的加速度，但动能定理却认为是人自身的内力导致人动能增加。由于方程的不同，导致解释时的描述不同。例题精讲图1【例1】 如图1所示，轻绳下悬挂一小球，在小球沿水平面作半径为R的匀速圆周运动转过半圈的过程中，下列关于绳对小球做功情况的叙述中正确的是（ ）A. 绳对小球没有力的作用，所以绳对小球没做功；B. 绳对小球有拉力作用,但小球没发生位移，所以绳对小球没做功；C. 绳对小球有沿绳方向的拉力，小球在转过半圈的过程中的位移为水平方向的2R，所以绳对小球做了功；D. 以上说法均不对.【例2】 把两个大小相同的实心铝球和实心铁球放在同一水平面上，它们的重力势能分别为和若把它们移至另一个较低的水平面上时，它们的重力势能减少量分别为和则必有（ ）. . . .【例3】 如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为。已知图1中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。图1【例4】 用一个时钟沿着切向的变力，把一个质量为m，可视为质点的小物块沿着一个半径为R的光滑半圆底部向上拉到顶部，计算拉力做功（尝试用两种方法做）。【例5】 如图，质量为m 的小球系在倔强系数为k的轻弹簧一端，弹簧的另一端固定在O 点. 开始时小球位于水平位置A 点，此时弹簧处于自然长度l0 状态. 当小球由位置A 自由释放,下落到O 点正下方位置B 时,弹簧的伸长量为 ，求小球到达B 点时的速度. 【例6】 如图所示，把弹簧的一端固定在墙上，另一端系一物体A，当把弹簧压缩x1后，在它的右边再放一物体B，然后除去外力，设物体A和B 均被放置在光滑的水平面上，质量分别为mA和mB，弹簧的劲度系数为k，问：物体A移动的最大距离是多少？【例7】 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍然以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？【例8】 边长为的正方形木块（密度为）浮在有水的杯中，杯的横截面积为，水的密度是，平衡时杯内水深，取，用力使木块慢慢沉到杯底，外力所做的功是多少？【例9】 质量为的静止的物体受到沿水平方向均匀增减的冲击力作用方向不变，水平方向无其它作用力力随时间的变化如图所示求物体在时刻的速率以及冲击力对物体所做的总功、【例10】 放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。【例11】 如图，用恒定拉力F拉动一物体，不计滑轮重，计算物理速度为v拉力功率P。思考问题： 用动能定理判定一个物体是否能到达某处，先假设物体能到达目标位置，并用动能定理计算末动能，为正即能到达，为负即不能到达。这种思路严谨么？举例说明。【例12】 长为、质量为的匀质绳置于特制的水平桌面上，绳的一端悬垂于桌边外，另一端系有一个可视为质点的质量为的木块，如图所示木块在段与桌面无摩擦，在段与桌面有摩擦，匀质绳与桌面的摩擦可忽略初始时刻用手按住木块使其停在处，绳处于绷紧状态，放手后，木块最终停要处桌面距地面高度大于，求： 木块刚滑至点时的速度和木块与段的动摩擦因数； 若木块在段与桌面的动摩擦因数变为，则木块最终停在何处？ 是否存在一个值，能使木块从处释放后，最终停在处，且不再运动？若能，求出该值；若不能，简要说明理由【例13】 一只小船以速度在水中匀速滑行，船上站有一个人，人和船的总质量为，人的手中拿着一个质量为的球该人以相对船的速度将球水平抛出，若沿船行方向抛出球，人需做多少功？若沿船行的反方向抛出球，人的内力需做多少功？以地面为考察系，讨论船是否做功。【例14】 一电喷能把密度为的油漆从横截面积为S的喷口以速度v喷出，不考虑生热，分析电喷的工作功率。【例15】 把4kg的蒸馏水装入很大的平底水槽中，通过一虹吸管慢慢往外放，已知虹吸管横截面积为0.01cm2，虹吸口管到水槽底部落差为0.8m，水槽中水深可以忽略不计，不考虑阻力，计算水流光所需时间。（g=10m/s2）课后习题1.测定运动员体能的一种装置如图所示，运动员的质量为m1，绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮（不计滑轮摩擦和质量），绳的另一端悬吊的重物质量为m2，人用力向后蹬传送带，刚好使人的重心不移动，传送带上侧以速度v向前运动，则A、人对传送带不做功 B、人对传送带做功C、人对传送带做功的功率为m1gv D、人对传送带做功的功率为（m1+m2）gv趣味物理故事是苹果落地导致牛顿发现万有引力吗美国哈佛大学科技史教授柯亨不久前撰文，对苹果落地的故事表示怀疑。柯亨引证史料，说明牛顿走向万有引力理论的重大一步是在1679年末到1680年初。 1679年 11月24日，胡克写信给牛顿，向他介绍一种分析曲线运动的新方法。胡克聪明地看到，物体沿曲线轨道的运动有两个分量，一个是惯性分量，一个是向心分量。惯性分51量势必沿曲线的切线方向作直线运动，而向心分量则总是拉物体偏离惯性的直线轨道。月球运动的稳定轨道就是这两个分量互相匹配，使得月球既不会沿切线方向跑掉，又不会螺旋式地接近地球。笛卡儿认为物体作曲线运动只是运动物体企图逃离中心的力造成的，但实际上没有这样的力存在。胡克信中请牛顿对这个假设提出意见或评论。这个假设显然是牛顿后来把曲线运动分解为一个惯性分量和一个向心分量这种想法的入门。因为在此之前，牛顿还常常用笛卡儿的离心力来描述运动。胡克在信中还大胆提出，将行星吸向太阳的向心力大小，与两星之间的距离平方成反比。由于胡克缺乏牛顿的数学才能，因此他不能再往前进，不能由直觉的预感与猜想，飞跃到严格的科学结论。11月28日，牛顿回信说，在未读胡克的来信之前，他没有“听到过您的把行星的天体运动看作沿曲线切线方向的直线运动”以及被“吸引”向太阳的运动两者“所合成之假说”。随之牛顿立即把自己的研究课题换成：地球自转对自由落体的影响。但是他却不正确地描绘了自由落体物体的路径是一条螺线。胡克发现了牛顿的错误，在12月9日的信中指出，自由落体物体的路径“将类似一个椭圆”。12月13日牛顿谨慎地答复了胡克对他的指正，但并没有对胡克提出的行星运动是“圆周运动”的分析发表什么意见。胡克并不灰心，在1680年1月6日的信中重述了向心吸引力与距离平方成反比的定量的假设，而且说明他的这种分析“十分清楚而正确地说明了天象”。牛顿仍未作答复。1月17日胡克发了一封简短的补充函件，请牛顿找出：一个中心引力使物体偏离它的惯性轨道作曲线运动，当力与距离平方成反比时，曲线是怎样的，它的性质及造成的原因是什么？牛顿几乎就是按照胡克的思路去做的。但他一直没有把证明的结果告诉胡克或任何人。直至1684年8月，著名天文学家哈雷来访，说起他和雷恩都不能解决行星运动这个问题，胡克虽声称他已解出，却拿不出一个公式。牛顿听了以后，马上回答：“是椭圆。”哈雷问他怎么知道的，牛顿回答：“我算出来的。”经哈雷敦促，牛顿为皇家学会写了论运动，详细谈了他的计算过程。应该说，牛顿在其大约是1684年11月写成的论运动的初稿中，还未建立万有引力这一概念。这时，牛顿还没有领悟太阳吸引每个行星，每个行星还要吸引太阳，而且行星间也互为吸引。不久，牛顿发觉了反作用定律的重要意义，1684年12月在他完成的论运动的修改稿中已用相互作用来描述行星运动。1685年春季，牛顿全力以赴地完成了自然哲学之数学原理初稿，才完整地得出一切物体以万有引力互相作用的理论。在牛顿发现万有引力以后，胡克声明是他向牛顿建议采用了“与距离平方成反比的万有引力定律”。很多历史学家也同意胡克的看法。牛顿说过他是站在巨人的肩膀上才发现万有引力的，但牛顿毕竟比巨人们看得更远。胡克只提出了行星与太阳的关系问题，而牛顿提出的万有引力定律适用于宇宙间一切物体。这一质的飞跃是胡克的学识所难以达到的。后来，牛顿却想否认胡克曾给予他以提示。他于1717年编撰了一段苹果落地的故事，把他对万有引力定律的研究提早20年，变成了17世纪60年代的事。不过这个