板块1.动量能量综合.教师版

动量能量综合1.1 碰撞规律知识点睛碰撞是一种十分普遍的现象，例如冰壶比赛中，两只冰壶可能会发生碰撞；发生交通事故时，两辆汽车也可能会发生碰撞。在了解微观粒子的结构与性质的过程中，碰撞的研究也起着重要的作用。 那么在碰撞的过程有什么特点呢，下面我们一起来进行总结。1碰撞的特点 碰撞过程是在瞬间发生的，作用时间极短。 碰撞过程是瞬时过程，可以忽略物体的位移，认为物体在碰撞前后，仍在同一位置。 由于碰撞过程作用时间极短，因此平均作用力很大，有些碰撞尽管合外力不为零，但仍属于内 力远远大于外力的情况，系统的总动量守恒。 碰撞过程是一个没有能量输入的过程，因此，系统的总机械能不会增加。如果碰撞过程中，系 统的机械能守恒，这样的碰撞称为弹性碰撞；如果碰撞的过程中，机械能有损失，这样的碰撞叫做非弹性碰撞；其中机械能损失最大的情况，称为完全非弹性碰撞。2碰撞合理性的判断 物体在弹性碰撞和完全非弹性碰撞过程中的规律，我们在后续的模块中还要进行定量研究。这里我 们首先要解决的问题是：并不是任意想象的碰撞过程都可以存在，也不是任意给定一组满足动量守 恒的速度关系，就一定对应某种实际的碰撞过程。实际可能发生的碰撞过程，一定要满足下列判断 标准。 系统的动量守恒，即： p1 + p2 = p1 + p2 。 系统的机械能（由于不涉及势能问题，因此主要是指动能）不会增加，即： Ek1 + Ek2 Ek1 + Ek2 碰撞物体的速度要符合实际情景。例如： 碰前两物体同向运动，则后面物体的速度一定大于前面物体的速度，即 v后 v前 ，否则无法 实现碰撞。 同向运动的两物体碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，而且原来在前面的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度。即 v前 v后 ，否则碰撞没有结束。 相向运动的两物体碰撞后，运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。* 说明：这里给出最基础的三条判断标准，没有给动量守恒和能量守恒推出的相对速度的二级结论，如 果有的老师愿意讲相对速度的判断，可以自己补充。*例题精讲*例题说明：这部分的例题是考察碰撞合理性判断的，例 1 根据情景判断动量是否守恒即可；例 2 需要根据判断条 件对每组数据进行检验，例 3、例 4 根据判断条件推导取值范围，有一定难度。*【例1】 在光滑水平面上，两球沿球心连线以相等速率同向而行，并发生碰撞，下列现象可能的 是A若两球质量相同，碰后以某一相等速率互相分开 B若两球质量相同，碰后以某一相等速率同向而行 C若两球质量不同，碰后以某一相等速率互相分开 D若两球质量不同，碰后以某一相等速率同向而行【答案】AD【例2】 A 、B 两球在光滑的水平面上沿同一直线同一方向运动，质量分别为 mA = 1kg ，mB = 2kg ， 速度分别为 vA = 6m/s ， vB = 2m/s ，当 A 追上 B 并发生碰撞后，两球的速度可能是A vA = 2m/s ， vB = 4m/sC vA = 4m/s ， vB = 47m/s【答案】AB vA = 5m/s ， vB = 2.5m/sD vA = 7m/s ， vB = 1.5m/s【例3】 在光滑水平面上，一质量为 m 、速度大小为 v 的 A 球与质量为 2m 静止的 B 球碰撞后，A 球 的速度方向与碰撞前相反。则碰撞后 B 球的速度大小可能是A 0.8vB 0.6vC 0.4vD 0.2v【解析】由动量守恒有 mv = 2mvB - mvA ，由能量不增加有1 mv2 1 mv2+ 1 (2m)v2；由于 v 、v 、v 表22A2BABv2示的是速度的大小， vA 0 ，解得2【答案】B vBv ，因此只有B正确。3【例4】 质量为 M 的物块以速度 v 运动，与质量为 m 的静止物块发生正碰（碰撞前后物体速度在同一条直线上），碰撞后两者的动量正好相等，两者质量之比 M 可能为mA 12B2C 3D4k【解析】设碰撞后两者的动量都为 P ，则总动量为 2P ，根据 P2 = 2mE，以及能量的关系得：4P22M P + P222m2M，解得： Mm 3 ；由于碰撞后 M 的速度不能大于 m 的速度，故P P ，解得：1 M ；Mmm故 BC 正确。【答案】BC*补充题：下面再补充两道碰撞合理性判断的题目，供使用。【补充1】在光滑的水平面上动能为 E0 ，动量大小为 p0 的小钢球1 与静止小钢球 2 发生碰撞，碰撞前后 球1 的运动方向相反，将碰后球1 的动能和动量的大小分别记为 E1 、 p1 ，球 2 的动能和动量的 大小分别记为 E2 、 p2 ，则必有A E1 E0B p1 E0D p2 p02mEk【解析】两个钢球组成的系统在碰撞过程中动量守恒，设钢球1 初动量的方向为正方向，由动量守恒定 律得： p0 = - p1 + p2 ，则碰后球 2 的动量 p2 = p0 + p1 ，可见 p2 p0 ；由于碰后系统的机械能 不增加，即 E1 + E2 E0 ，则必有 E1 E0 ， E2 E0 ；由 p =知， p1 v乙 ，乙甲即 p甲 p乙 ，得 m 1.4mm甲m乙碰后 p甲 、 p乙 均大于零，表示同向动，即 v乙 v甲 ， 得 m乙 5m甲碰撞过程中，动能不增加，则2p甲2m甲2p+乙2m乙p2甲2m甲p2甲+2m乙52即2m甲72+2m乙222m甲102+2m乙51由知 m甲 与 m乙 的关系为，【答案】Cm甲 m乙 5m甲 。21*1.2弹性碰撞知识点睛碰撞的情景种类很多，根据碰撞前后动量是否共线可以将碰撞分为两类。如果碰撞前后两物体速 度共线，这种碰撞称为正碰，也叫对心碰撞；如果碰撞前后两物体的速度不在一条直线上，这样的碰 撞称为斜碰，也叫非对心碰撞。发生对心碰撞的两个物体，运动始终发生在一条直线上，比较简单， 在后续课程的讨论中我们主要是针对正碰的情况；对于斜碰的情况，是平面内的二维问题，高中阶段 我们暂时不讨论。在 12.1 中我们提到过，如果在碰撞的过程中，系统的机械能（在碰撞过程中，一般不涉及势能，因此主要是动能）守恒，这样的碰撞称为弹性碰撞，这个模块中我们通过下面的实际情景对弹性碰撞 的情况进行一些定量的讨论。质量为 m1 与质量为 m2 的物体分别以速度 v1 、v2 运动并发生对心碰撞， 碰撞过程中无机械能损失，那么碰撞后物体的速度为多少？设碰撞后，两物体的速度分别为 v1 、 v2 。由系统动量守恒得： m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2由机械能守恒得： 1 m v2 + 1 m v2 = 1 m v2 + 1 m v22 1 12 2 22 1 12 2 2由两式联立即可解得碰后两物体的速度 v1 、v2 。不过这个二元二次方程组解起来有一点难度， 下面我们来做个简单的说明。上面两式直接用带入消元显然计算量很大，因此，我们先移项做一些变换。由式可得： m1 (v1 - v1) = m2 (v2 - v2 )由式可得： 1 m v2 - 1 m v2 = 1 m v2 - 1 m v22 1 12 1 12 2 22 2 2( 22 )(22 )m1 v1 - v1= m2v2- v2由/可得： v1 + v1 = v2 + v2这样再联立两式，也可求得 v1 、v2 ，不过这时只要求解二元一次方程组即可，利用加减消元， 很容易解得，(m - m )v + 2m v1v =12 12 2m1 + m2v = (m2 - m1 )v2 + 2m1v12m1 + m2由上式可以看出： 若 m1 m2 ，则 v1 v1 ， v2 2v1 - v2 ，即 m1 的速度几乎不变。 若 m1 = m2 ，则 v1 = v2 ， v2 = v1 ，即速度交换 若 m1 m2 ，则 v1 2v2 - v1 ， v2 v2 ，即 m2 的速度几乎不变。 * 教师版说明：划线部分在学生版中以填空的形式出现，可以让学生自己思考后填写。讲义中讨论的是 动碰动的一般情况，结果相对复杂，老师自己决定是否让学生记住这个结论。动碰静的情况可以结合 例 5 让学生自己练习分析，动碰静的结论建议学生可以记住，但重点还是掌握推导的方法。*上面我们讨论了两个物体发生弹性碰撞的一般情况，对于一个运动物体与一个静止物体发生弹性 碰撞的特殊情况，请大家结合例 5 自己进行分析，这类问题是平时经常会遇到的一种特殊情况，希望 大家了解相关结论。例题精讲*例题说明：例 5 通过动碰静的境况让学生练习弹性碰撞问题的解决方法，希望学生自己动手推导一遍，不要抄知识点中的结果；例 6 利用例 5 的结果进行进一步的讨论；例 7 是完全弹性碰撞的计算，考虑学生版题量问题，这类题目放的不多，如果老师认为需要多练，可以用例 7 后面教师版补充的题目；例 8 涉及动碰动的情况，例 9 需要先结合图象分析出是弹性碰撞。*【例5】 质量 m1 的小球 A 在光滑的水平面上以 v1 的速度向右运动，恰撞上质量为 m2 静止在水平面上的小球 B 。发生弹性碰撞后，小球 A 的速度变为 v1 ，小球 B 的速度变为 v2 。请推导 v1 、v2的表达式（用 m1 、 m2 、 v1 表示），并完成下列填空（填 、= ）121 当 m = m 时， v 0 ,121 当 m m 时， v 0 ,121 当 m m2 时， v1 0 ，v2 0大撞小，同方向 当 m1 m2 时，v1 0小撞大，小反弹 当 m1 当 m1m2 时，m2 时，v1 = v1 ，v1 = -v1v2 = 2v1， v2 = 0子弹撞尘埃 乒乓球撞墙【答案】v = m1 - m2 vv =2m1v121m + m 1 当 m1 = m2 时，2m + m 112v1 = 0 ， v2 = v1同质量，换速度 当 m1 m2 时， 当 m1 0 ，v1 0v2 0大撞小，同方向 小撞大，小反弹 当 m1 当 m1m2 时，m2 时，v1 = v1 ，v1 = -v1v2 = 2v1， v2 = 0子弹撞尘埃 乒乓球撞墙【例6】 如图所示，质量为 m2 的小球 B 静止在光滑的水平面上，质量为 m1 的小球 A 以速度 v0 靠近 B，并与 B 发生碰撞，碰撞前后两个小球的速度始终在同一条直线上。A、B 两球的半径相等， 且碰撞过程没有机械能损失。当 m1 、v0 一定时，若 m2 越大，则A碰撞后 A 的速度越小 B碰撞后 A 的速度越大 C碰撞过程中 B 受到的冲量越小 D碰撞过程中 A 受到的冲量越大【答案】D【例7】 如图所示， ABC 为一固定在竖直平面内的光滑轨道， BC 段水平， AB 段与 BC 段平滑连 接。质量为 m1 的小球从高为 h 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道 BC 段上质量为 m2 的 小球发生碰撞，碰撞前后两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失， 求碰撞后小球 m2 的速度大小 v2 。【解析】设碰撞前 m1 的速度为 v10 ， m1 gh =1 mv2 ，碰撞后 m 与 m 的速度分别为 v 与 v ，则10121222m1 2gh1212122m1v10m1v10 = m1v1 + m2v2 ，m1v10 =m1v1 +m2v2 ，解得： v2 =【答案】 v2= 2m12gh222m1 + m2m1 + m2m1 + m2*【补充3】如图所示，以速度 v0 向右运动的 A 球与静止在光滑水平面上的 B 球发生弹性正碰，碰后瞬间 A 的动能是初动能的 1 ，已知碰撞过程中机4械能守恒，则碰后瞬间 B 球的速度是 。【解析】碰后 A 的速度为1v0 或 -21v0 ， A 、 B 碰撞过程中动量和机械能均守恒，故有：2m v =m 1 v+ m vm v =m - 1 v + m v A 0A 2 0B B A 0A 2 0 B B或221 m v2 = 1 m v0 + 1 m v21 m v2 = 1 m - v0 + 1 m v2 2 A 02 A 2 2 B BA 0A B B解得： vB =v 或312 02 v0 222 2【答案】3v0 或212 v0【补充4】如图所示， ABC 为一固定在竖直平面内的光滑轨道， BC 段水平， AB 段与 BC 段平滑连接。 质量为 m 的小球从高为 h 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道 BC 段上质量为 km 的小球 发生碰撞，碰撞前后两小球的运动方向处于同一水平线上。 若两小球碰撞后粘连在一起，求碰后它们的共同速度；2gh5 若两小球在碰撞过程中无机械能损失， a为使两小球能发生第二次碰撞，求 k 应满足的条件； b为使两小球仅能发生两次碰撞，求 k 应满足的条件。【答案】1 + k a k 3b 3 mB ），在某高度处将 A 和 B 先后由静止释放。 A 与水平地面碰撞后向上弹回，在释放处的下方与释放处距离为 H 的地方恰好与正在下落的 B 发生正撞。设所有碰撞都是弹性的，碰撞时间极短，求 A 、 B 碰撞后 B 上升的最大高度。【解析】小球与地面的碰撞是弹性的，且 A 、 B 从同一高度释放，因此 A 、B 碰撞前的速度大小相等，设为 v0 。由机械能守恒， mA gH =1 m v2 ，解得 v =。2gHA 002设 A 、 B 碰撞后的速度分别为 vA 和 vB ，取竖直向上为正方向，由弹性碰撞得，mAv0 - mBv0 = mAvA + mBvB1 m v2 + 1 m v2 = 1 m v2 + 1 m v2 2 A 02 B 02 A A2 B B解得 vB =3mA - mB mA + mBv0 =3mA - mB mA + mB2gH 。v2 3m2- m 所以 B 能上升的最大高度 h = B = AB H 。2【答案】 3mA - mB H2g mA + mB mA + mB 【例9】 一个物体静置于光滑水平面上，外面扣一质量为 M 的盒子，如图 1 所示。现给盒子一初速 度 v0 ，此后，盒子运动的 v - t 图象呈周期性变化，如图 2 所示。请根据已知求盒内物体的质 量。【解析】设物体的质量为 m ，t0 时刻受盒子碰撞获得速度 v ，根据动量守恒定律 Mv0 = mv ，3t0 时刻物1体与盒子右壁碰撞使盒子速度又变为 v0 ，说明碰撞是弹性碰撞Mv2 =1 mv2。联立解得：022m = M 。【答案】 M【总结】完全弹性碰撞中“动”碰“静”模型的直观结论 m = m 等质量相碰，速度相交换动静m m 重碰轻，同向走 动静m m 轻碰重，轻回头 动静mm 极重撞极轻，极轻两倍走 动静m动m静极轻撞极重，极轻被反弹难题突破*例题说明：例 10 需要考虑两种情况，如果学生记住动碰静的结论就简单，如果从头推导，则计算量太大；例 11 希望学生了解一下多物体碰撞如何解决，老师只要讲清多物体碰撞是依次发生的，学生利用 弹性碰撞的结论不难解决。*【例10】 如图所示，在水平桌面上固定着一个光滑圆轨道，在轨道的 B 点静止 着一个质量为 m2 的弹性小球乙，另一个质量为 m1 的弹性小球甲以初速 v0 运动，与乙球发生第一次碰撞后，恰在 C 点发生第二次碰撞。则甲、 乙两球的质量之比 m1 : m2 可能是A 3 : 5B1: 9C1: 7D 2 : 3【解析】甲可能从 A 到 B 去撞乙，也可能沿 ADCB 去撞乙。【答案】ACA【例11】 如图 B 、 C 、 D 、 E 、 F 五个球并排放置在光滑水平面上， B 、 C 、 D 、 E 四个球质量 相等，F 与 A 质量相等，小于 B 的质量， A 球以 v0 向 B 运动，发生碰撞为弹性碰撞，则碰后： A.五个小球静止，一个运动BCDEFB. 四个静止，二个运动v0C. 三个静止，三个运动D. 六个小球都运动【答案】C1.3 完全非弹性碰撞知识点睛如果碰撞的过程中，系统的机械能有损失，这样的碰撞叫做非弹性碰撞；其中机械能损失最大的 情况，称为完全非弹性碰撞。为了说明非弹性碰撞的情景，我们借助下面这个模型帮助大家理解。一端连接弹簧的物块 B 静止 在光滑水平面上，物块 A 以一定的初速度冲向 B ；当 A 与弹簧接触后，弹簧被压缩， A 减速， B 加速； 当 A 、 B 共速时，弹簧压缩最短，系统的总动能损失最大；此后，弹簧逐渐弹开，弹性势能又转换为 系统的动能。碰撞的过程与此类似，两个物体接触的瞬间，也会发生微小形变，一部分动能转化为其他形式能。如果最终形变可以恢复，其他形式能（如弹性势能）又全部转化为系统的动能，这样系统的总机械 能守恒，对应的是弹性碰撞的情况；如果形变没有完全恢复，则有一部分初始的动能损失掉了，这 样的碰撞对应的就是非弹性碰撞；如果碰后形变完全不恢复，两个物体粘在一起，即两物体共速， 这种情况下初始的动能损失最大，对应的就是完全非弹性碰撞。当然碰撞过程发生的时间极短，相互作用力很大，即使合外力不为零，由于内力远远大于外力， 仍然可以应用动量守恒；而且碰撞过程中一般也不考虑微小形变的问题，这与上述模型是有区别的。 这里只是希望大家借助上述物理过程更好的理解碰撞的情景。 对于完全非弹性碰撞，碰后两物体合二为一，以共同的速度 v 运动，系统动量守恒关系可以写为：m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 )v这种情况下机械能损失最大，能量关系可以表示为：12121 () 2m1v1 +m2v2 =222m1 + m2 v+ DEkmax 对于一般的非弹性碰撞，系统动量守恒关系可以写为：m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2对应的能量关系写为：12121212m1v1 +m2v2 =m1v1222+m2v22+ DEk损*12教师版说明：知识点中没有直接给出完全非弹性碰撞机械能损失的表达式 DE= 1 m1m2v2 ，老师可以结合例 15 讲。kmax2 m + m 0*例题精讲*例题说明：例 12、例 13 是完全非弹性碰撞的问题，其中例 12 涉及到知识点中类似的弹簧模型，例 13用到一些机械能守恒的知识；例 14 是一般非弹性碰撞的问题，让学生熟悉一下这种碰撞中的能量损失 问题，这道题涉及到图象分析，有一定的综合性。*【例12】 2010 年温哥华冬奥会上，中国女子冰壶队获得铜牌。假设在光滑冰面上有两个相同的冰壶A 、 B ，质量都为 m ， B 壶静止， A 壶向 B 壶运动，发生正碰。已知碰撞过程中机械能守恒， 假设两冰壶间夹有一弹簧，当二者压缩最紧时弹性势能为 Ep ，则碰前 A 球的速度 为 。【解析】两冰壶间弹簧压缩最紧时二者速度相等，由动量守恒 mv0 = 2mv ，得 v =1v0 ，又由机械能守2Epm恒 1 mv2 = E + 1 2mv2 ，故 v = 2Epm2【答案】 20p20【例13】 两个质量 m1 = 20g 、m2 = 80g 的小球，用等长的细线悬挂在 O 点。悬挂 m2 的 细线处于竖直状态，悬挂 m1 的细线处于伸直状态，且与竖直方向成 37 角， 如图所示。先将 m1 由静止释放， m1 与 m2 碰撞后连在一起。若线长 L = 1m ， 重力加速度 g 取10m/s2 ，取 sin37= 0.6 ， cos37= 0.8 。求 碰撞前瞬间 m1 速度的大小； 碰撞中损失的机械能。【解析】m1 释放后，因只有重力做功，机械能守恒， m1gL (1 - cos37) =1 m v2 ，得1 02v0 = 2m/s 。2gL (1 - cos37)m1 m1 与 m2 碰撞时，动量守恒， m1v0 = (m1 + m2 )v ，得 v =m1 + m2v0 = 0.4m/s ，损失的机械能DE = 1 m v2 - 1 (m + m v2 ) = 0.032J 。2 1 0212【答案】 2m/s 0.032J【例14】 如图所示，在光滑水平面上的两个小球发生正碰，小球的质量分别为 m1 和 m2 。图乙为它 们碰撞前后的 s - t 图象。已知 m1 = 0.1kg ，由此可判断A碰前 m2 静止， m1 向右运动 B碰后 m2 和 m1 都向右运动 C由动量守恒可以算出 m2 = 0.3kgD碰撞过程中机械能损失了 0.4J 的机械能 以上判断正确的是ABCD【答案】A难题突破*例题说明：讲义中没有直接给出完全非弹性碰撞机械能损失的表达式 DE= 1 m1m2v2 ，希望目标班12kmax2 m + m 0的同学通过例 15 了解一下这个结论。例 16 是江苏高考题，涉及二维问题，计算能量损失，建议目标 班的同学可以见一下，老师根据情况选讲。*【例15】 甲、乙两个小球在同一光滑水平轨道上，质量分别是 m1 、 m2 ，甲球以一定的初动能 Ek0 向 右运动，乙球原来静止。某时刻两个小球发生完全非弹性碰撞（即碰撞后粘合在一起），下面 说法正确的是：A m1 与 m2 的比值越大，系统机械能的减少量就越小 B m1 与 m2 的比值越小，系统机械能的减少量就越小 C m1 与 m2 的值相等时，系统机械能的减少量就最小 D m1 与 m2 的值相等时，系统机械能的减少量就最大【答案】A【例16】 水平面上，一白球与一静止的灰球碰撞，两球质量相等。碰撞过 程的频闪照片如图所示，据此可推断，碰撞过程中系统损失的动能约 占碰撞前动能的A 30%B 50%C 70%D 90%【答案】A模块总结碰撞问题的结论公式结论【 完动 全】 弹碰 性【 碰静 撞】m动v动 = m动u动 + m静u静1 m v 2 = 1 m u 2 + 1 m u 2 2 动 动2 动 动2 静 静m动 - m静u动 =v动m动 + m静2mu = 动v 静m + m动动静完 全 弹 性 碰 撞m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u21 m v 2 + 1 m v 2 = 1 m u 2 + 1 m u 2 2 1 12 2 22 1 12 2 2u = m1 - m2 v +2m2v 1m + m 1m + m21212- mu =2m1v + m21 v 2m + m 1m + m2 1212完 全 非 弹 性 碰 撞m1v1 + m2 v2 = (m1 + m2 ) u共1 m v 2 + 1 m v 2 = 1 (m + m )u 2 + DE 2 1 12 2 2212共k max m v + m vu = 1 12 2 共m + m12DE= 1 m1m2 (v - v )2k max2 m + m1 212【说明】上述解对应的是在规定正方向后列写的上述方程，得出负数表示与正方向相反，得正数表示 与正方向相同。 记忆并灵活使用上述结论可以使碰撞问题的推导简化，为同学们在高考中争取时间。 万一记忆模糊： 可以通过“完全弹性碰撞动碰静”结论来帮助回忆。 对于“完全弹性碰撞”能量守恒方程经平方差化简可以用“相对速度等大反向”来代替，即m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2m v+ m v= m u+ m u1 12 21 12 21 m v 2 + 1 m v 2 = 1 m u 2 + 1 m u 2v - u= -(v- u ) 2 1 12 2 22 1 12 2 2 1122相对速度大小不变等价于动能守恒（非弹性碰撞时相对速率将减小，完全非弹性碰撞时相对 速度减为 0）。这种算法比代入法解二次方程简单。1.4弹簧问题知识点睛相互作用的两个物体在很多情况下运动特征与碰撞问题类似，可以运用动量、能量守恒来分析，物块弹簧模型是一类典型的问题。我们首先结合下面的例子，说明如何分析物块弹簧模型的运动情景。【问题】如图所示，物块 B 左端固定一轻弹簧，静止在光滑的水平面上，A 物体以速度 v0 向 B 运动，假设 A 与弹簧接触之后即与弹簧粘 连在一起不再分开，那么此后 A 、B 与弹簧相互作用的过程中，运动情景如何呢？【分析】 A 、 B 的运动涉及追及相遇问题，重点要把握住：两物体距离最近（弹簧最短）或最远（弹 簧最长）时二者的速度相等。 弹簧刚开始被压缩的过程中，B 受到弹簧的弹力向右做加速运动，A 受到弹力做减速 运动，开始时 A 的速度大于 B 的速度，弹簧一直被压缩； 当 A、B 的速度相等时，弹簧缩短到最短，此时弹簧的弹性势能最大； 此后由于 A 继续减速， B 加速， B 的速度开始大于 A 的速度，弹簧压缩量逐渐减小； 当弹簧恢复至原长时，弹性势能为零， A 的速度减至最小， B 的速度增至最大； 此后弹簧开始伸长， A 做加速运动， B 做减速运动； 当弹簧伸长至最长时， A、B 的速度再次相等，弹簧的弹性势能最大； 此后 A 继续加速， B 继续减速，弹簧逐渐缩短至原长； 当弹簧再恢复至原长时，弹性势能为零， A 的速度增至最大， B 的速度减至最小。此 后将重复上述过程。 上面我们从受力和运动的角度，分析了弹簧的运动情景。如果两物体是在光滑水平面上运动，系统的动量守恒；在这个过程中只有两物体的动能和弹簧弹性势能的相互转化；因此， 我们可以从动量和能量的角度来分析问题。设任意时刻 A 、 B 的速度分别为 vA 、 vB ，弹簧的 弹性势能为 Ep 。由动量守恒可得： mAv0 = mAvA + mBvB ；由能量守恒可得： 1 m v2 = 1 m v2 + 1 m v2 + E ；2 A 02 A A2 B Bp由此可以求解整个运动过程中各种速度及弹性势能的极值问题，具体结果请同学们结合 具体问题自己分析。对比碰撞模型的内容，我们会发现：从初始到弹簧压缩到最短 的过程，实际上是一个完全非弹性碰撞的过程；从初始到弹簧第一 次恢复原长过程，实际上是一个弹性碰撞的过程；两个模型所列出 的动量、能量守恒方程类似（只是非弹性碰撞过程中损失的能量表 现为弹性势能），因此我们可以直接套用上一讲碰撞问题中得出的 结果。上面我们通过具体的情景，说明了物块弹簧模型的分析方法，对于不同初始状态（如两个物块都 运动）、多物体多过程等其它复杂情况，请同学们结合具体问题自己进行分析。* 教师版说明： 物块弹簧模型比较复杂，讲义中重点分析了运动情景并给出了利用动量能量守恒解决 问题的思路，并没有给出速度和弹性势能的极值等结论，老师可以在分析的过程中推导结果。 老师 可以重点说明一下物块弹簧模型与碰撞问题的相似性，直接用碰撞的结论可以简化很多问题。 由于 学生可能没有学过简谐振动的内容，因此讲义中没有给运动过程中的 v - t 图象；但是如果学生可以接 受，老师也可以根据情况自己补充这个内容，加深对运动情景的理解。*例题精讲* 例题说明：例 17、例 18 侧重对运动情景的分析；例 19 计算速度及弹性势能等的极值；例 20 结合图象 分析运动过程并进行简单计算，此题只要求会读取有用信息即可，不要求学生明白为什么图象是这样 的，因此不涉及简谐振动内容；例 21 是简单变式，但本质仍是动量能量双守恒；例 22、例 23 是涉及多物体多过程的问题。挑战极限部分的两道题难度较大，例 24 设问比较特别，需要通过假设进行推理；例 25 是竖直方向的弹簧模型，运动情景比较复杂，需要分析清楚运动过程才能正确求解。*【例17】 如图所示，a 、b 两物体质量相等，b 上连有一轻质弹簧，且 静止在光滑的水平面上，当 a 以速度 v 通过弹簧与 b 正碰，则 A当弹簧压缩量最大， a 的动能恰好为零 B当弹簧压缩量最大时，弹簧具有的弹性势能等于物体 a 碰前动能的一半 C碰后 a 离开弹簧， a 被弹回向左运动， b 向右运动D碰后 a 离开弹簧， a 、 b 都以 v 的速度向右运动2【答案】B【例18】 在足够大的光滑水平面上放有两物块 A 和 B ，已知 mAmB ， A 物 块连接一个轻弹簧并处于静止状态，B 物体以初速度 v0 向着 A 物块运 动，在 B 物块与弹簧作用过程中（ B 与弹簧接触后不再分开），两物 块在同一条直线上运动，下列判断正确的是A弹簧恢复原长时， B 物块的速度为零 B弹簧恢复原长时， B 物块的速度不为零，且方向向右 C在弹簧压缩过程中， B 物块动能先减小后增大D在与弹簧相互作用的整个过程中， B 物块的动能先减小后增大【解析】本题中的情形可视为弹性碰撞，由于 mAmB ，故碰撞结束，即弹簧恢复原长后，B 的速度 vB 向左， A 速度 vA 向右，A、B 错。在弹簧压缩过程中，B 速度大于 A 速度，直至 AB 速度相等， 在此过程中， B 始终做减速运动，故其动能一直减小，C 错。在与弹簧相互作用的整个过程 中， B 始终受到弹簧对其向左的弹力， B 先减速到零，再加速到 vB ，D 对。【答案】D【例19】 如图所示， A 车质量为 m ，沿光滑水平面以速度 v1 向质量为 3m 的静止的 B 车运动， A 车 撞上 B 车后面的弹簧将弹簧压缩并与弹簧连接在一起，求在此后的运动过程中： 弹簧的最大弹性势能； B 车的最大速度。【解析】 把 A 、 B 车和弹簧看成一个系统，弹力是内力，系统动量守恒。两车速度相等时弹簧压缩 量最大，弹性势能最大。设 A 、 B 两车速度为V ，弹性势能为 Ep 。根据动量守恒： mv1 = (m + 3m)V根据机械能守恒： 1 mv 2 = 1 (m + 3m)V 2 + E联立解得： E212p= 3 mv 2p81 弹簧恢复原