高一物理竞赛第10讲 电容 电介质.教师版

第10讲 电容 电介质本讲提纲1. 电容器的基本原理。2. 电容的决定因素。3. 电场中的电介质。本讲慢慢要开始从静电向电路过渡，物理的学习的过程就是更新认知的过程。重新从更本质的角度理解带电，电流等现象会经常让我们有恍然大悟的感觉。知识模块引入：1748年的一个晴朗的日子，在巴黎圣母院前广场有一场大型“魔术” 表演，观众是法国国王路易十五的王室成员和王公大臣们。魔术师诺莱特让700个传教士手牵手站一排，用手去触摸一根从玻璃瓶中引出的导线，瓶子中另引了一根线与起电机相连。当最前面的传教士接触导线的一瞬间，所有的传教士突然齐声大叫起来被震倒了。这个实验轰动一时，而那个瓶子，就是莱顿发明的第一个可以把电荷“装起来”的电容，又叫莱顿瓶。 知识点睛电容：顾名思义，电容器是储存电荷的装置.从莱顿开始，人类发明了各式各样的电容。下面我们分别给与定义与介绍。一孤立导体的电容附近没有其他导体和带电体的电容叫孤立电容。不难证明，孤立电容的电势与其电量成正比。我们把其带电与电势的比叫做孤立电容器的电容值，简称电容，用字母C表示。记作：电容的单位为库伦每福特记作C/V，又叫法记作F，一般实用的单位为微法F，或者皮法pF。1F=106F=1012pF显然上述的表达式只能是电容的测量定义式，不是确定式。以下推到球形孤立电容的决定式：如图：所以有：可见：电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关，是一个类似电阻一样的电器参数。比如整个地球的电容约（这么小由此可见球电容的电容能力很小）二双极电容实际工作的电容大部分为双级电容，分别带等量异种电荷。此时电容器的电容为电容器一块极板所带电荷Q与两极板电势差U的比值 .电容的电路符号为：如图：其中： 双极电容的容值依然只与其几何参数以及两板间介质的种类有关，与是否带电以及带多少电无关。下面我们推导几种典型的电容的容值决定式。不过首先我们来研究一下一般绝缘介质在电场中的行为。三电介质的极化由于分子结构的不同，电介质分为两类：一类介质分子的正负电荷中心重合，这样的分子称为无极分子；一类介质分子的正负电荷中心不重合，形成一个电偶极子，这样的分子称为有极分子将电介质置于静电场中，无极分子正负电荷中心错开，沿外电场方向形成电偶极子；有极分子的电偶极矩将趋于按外电场方向排列，两端面出现等量的异种电荷，这种现象叫电介质的极化，两端面产生的电荷称为极化电荷或束缚电荷由于极化电荷产生的附加电场跟外电场反向，所以介质内的场强的比外场强小，我们把与的比值称为电介质的相对介电常数：电介质的相对介电常数与真空介电常数的乘积,称为电介质的绝对介电常数，简称介电常数不考虑材料分子对称的因素，我们可以简单的把均匀介质中的静电规律在真空中公式中的换成四电容器电容的计算根据电容的定义，我们不难总结出电容决定式计算的步骤。1. 设两极板分别带电Q 2. 求两极板间的电场强度E，注意如果有电介质存在，场强要除以相对介电常数.3. 求两极板间的电势差U4. 由C=Q/U求C应用：1.平板电容 如图，把两块金属板正对，中间夹上绝缘介质，就能形成平板电容。把这个电容与电源正负极相接，就可以给电容冲上正负的等量异种电荷。 因为平板电容器中间电场强度：所以电势差：所以平板电容器电容决定式： 实际应用的平板电容：纸质电容，通过在绝缘纸间夹上很薄的锡箔，再滚成圆筒制作。2.圆柱形电容器 如图用同心的导体圆筒夹着电介质制作.设单位长度带电，由高斯定理：又：3.球形电容器的电容 同理易得同心球壳电容：，其中R1，R2为内外球壳半径。这里不再证明。五电容电路 电容上电压的测量，不能依赖电压表，因为电压表其实也是导体，会让电容两端相连放电。所以一般只能用静电计粗略的测一下电势差，比较精确的电势差计原理很复杂，这里就不介绍了。有兴趣的同学可以自己查阅资料。1.串联电容电路特点：电压之和等于总电压，且电量处处一样，则必然有： = + 2并联电容电路特点：电压一致，总量为各电容电量之和，则必然有： C = C1 + C2 以上推导留给同学们作为小练习。3.电容器的能量用图表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E ，所以E = q0U0 = C = 电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示。对平行板电容器 E总 = E2 由公式，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在电荷上的其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量的分布问题由于在静电场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定经过麦克斯韦的计算，表明电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用来表示上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得一电动势为的电源对一电容为的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量 图1-5-2电容器所带能量 而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为 也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去六电容的应用 电容是电路中最基本的三大基本元器件之一，应用十分广泛。下面是常见的电容器件： 以下是一些电容出人意外的应用，具体原理请大家作为课后作业自己查阅资料弄明白。1.自动干手机，利用电容原理控制电吹风工作。2.现代移动电子设备的电容触摸屏：表面实际是一个电容板。3.电磁炮：应用电容放电产生巨大推力。其他的应用还有很多，有兴趣的同学不妨通过查阅资料做点小研究。知识点睛【例1】 两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S ，间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q1 ，B板带尽电量+Q2 ，且Q2Q1 ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。【解析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强定式。为方便解题，做图，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为1 、2 、3和4 ，显然（1 + 2）S = Q1 （3 + 4）S = Q2 A板内部空间场强为零，有 2k（1 2 3 4）= 0A板内部空间场强为零，有 2k（1 + 2 + 3 4）= 0解以上四式易得 1 = 4 = 2 = 3 = 有了四个面的电荷密度，、空间的场强就好求了如E =2k（1 + 2 3 4）= 2k。最后，UAB = Ed【例2】 如图所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。【解析】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q1 ，介质部分电量为Q2 ，显然有Q1 + Q2 = Q两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有U1 = U2 即 = ，即 = 解以上两式即可得Q1和Q2 。场强可以根据E = 关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2k（单面平板），当k 、同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2 ，所以E2 = 4k（ ）= 4k（ ）请注意：这里的和Q是指极化电荷的面密度和总量； E = 4k的关系是由两个带电面叠加的合效果。【例3】 如图所示，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为，带电量为的质点，平衡在极板间的空气区域中。此后，若将平行板电容器中的电介质抽去，则该质点：（ ）A保持不动 B.是否运动不能确定C. 向上运动 D.向下运动 答案：C 【例4】 C1和C2两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持联接的情况下，在C1中插入一电介质板，则 （ ） AC1极板上电量增加，C2极板上电量减少。B. C1极板上电量减少，C2极板上电量增加。C. C1极板上电量增加，C2极板上电量不变。 D. C1极板上电量减少，C2极板上电量不变。【解析】保持联接，则电容器上的电压不变。在C1中插入电介质板，则C1增大，C2不变。由Cq/U，知q1=C1U增大，q2=C2U不变。故选C【例5】 将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源。再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：（ ） (A) 储能减少，但与金属板位置无关； (B) 储能减少，但与金属板位置有关；(C) 储能增加，但与金属板位置无关；(D) 储能增加，但与金属板位置有关。 金 属 板【解析】充电后断开电源，则电容上电量保持不变，插入平板金属板，将使电容增加（与金属板位置无关），由电容器储能公式可知，C增加时，储能减少。故选A 【例6】 A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图91所示。设A板带正电3.010-7C，不计边缘效应，求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。 【解析】A板带正电，B、C两板接地，且两板在A板附近，所以A板上的正电荷电量为q，分布在左右两表面，设B板感应电荷为-q1，C板感应电荷为-q2 ，则q1+q2=q 由于AB间和AC间均可视为匀强电场所以 根据题意得 由解得 q1=1.010-7C， q2=2.010-7C B板上感应电荷为 q1= 1.010-7C C板上感应电荷为 q2= 2.010-7C【例7】 一平行板电容器，极板面积为S，相距为d。若B板接地，且保持A板的电势UA = U0不变，如左下图所示。把一块面积相同的带电量为Q的导体薄板C平行地插入两板之间，则导体薄板C的电势UC 。【答案】【例8】 一电容为C的空气平行板电容器，接端电压为U的电源充电后随即断开，试求把两个极板间距离增大至n倍时外力所作的功。 【解析】：充电后断开电源，极板上电量qCU保持不变。两极板间距变化前后电容分别为：。电容器储能分别为： 由功能原理，外力所作的功为： 【例9】 一空气电容器是由同样的四片同样的金属片平行整齐排列而成的，极板面积为，相隔均为，求按照和连接时，的电容是多少？答案：分别为： 提示：最好不要用串并联讲解【例10】 如图所示，平行板电容器两极板M、N水平放置，距离为d =1.0cm，其电容为，上极板M与地连接，且中央有一小孔A，开始时两极板不带电。一个装满油的容器置于小孔A正上方，带电油滴一滴一滴地，从容器下的小孔无初速滴下，正好掉入小孔。油滴下落高度处，带电量，质量，设油滴落在N板后把全部电量传给N板，N板上积存的油可以不考虑，g取10m/s2，求：（1） 第几滴油滴在板间作匀速直线运动？（2） 能够到达N板的油滴数量最多为多少？PMABN答案：（1）（2）【例11】 把一个半径为R，带电为Q的实心均匀带电球从中间切成两半，再按在一起，至少需要多大外力？答案：提示：不妨先用能量法计算平板电容间吸引力。课后练习1. 极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列说法正确的是 （ ） (A) 电容器极板上电荷面密度增加； (B) 电容器极板间的电场强度增加； (C) 电容器的电容不变； (D) 电容器极板间的电势差增大。答案：D2. 由四块面积相同的金属板、组成两个电容器，按如图所示接入电路中，已知两个电池的电动势分别为，开始时，四块金属板都不带电，且板间都是真空 如果合上开关，则流过开关的总电量为；如果合上开关，则流过开关的总电量为试求电容和的值； 如果先合上，然后再合上，那么流过的总电量是多少？ 如果只合上，从电容器两板、的中间处，以水平方向射入一带负电荷的油滴，并经过时间恰好到达大底板，和两板间的距离为试问若使该油滴不发生偏转，必须在电容器的两板和间充满相对介电常数为多大的电介质？3.如图所示，在A点和B点之间有5个电容器，连接如图所示。（1）求A，B两点之间的等效电容；（2）若A，B两点之间的电势差为12V，求，和。解：（2） 4.两块平行的金属板，相距，使得，分别保持和的电势，并在他们之间离板处平行地插入一块接地的厚为的金属板，如图，均不考虑金属板的边缘效应，求板插入后他自己获的何种电荷？两板上的电量发生什么变化？发明故事 卡尔森和他发明的静电复印机在现代化的办公室里，复印机成了必不可少的办公用具。复印机是谁发明的呢？这位发明家叫查切斯特卡尔森。卡尔森12岁时，个子长得又瘦又高。为了帮助父母养家糊口，他在加利福尼亚州圣贝纳迪诺干零活。14岁那年，他挑起了抚养双亲的重担，每天早早就得起床，上学前先去商店擦玻璃橱窗，下午还得去银行和报社打扫，每星期六要从早晨六点一直忙到晚上六点。他的父亲是一位流动理发师，由于关节炎和肺病而无法工作。母亲也患有肺病，长年卧床不起。他俩就生卡尔森一人。生活上的重担压得卡尔森喘不过气来，许多小孩子处于这种压力下早就退学了。但是，卡尔森顶住了。当他念初中时除了看门的工作外，还在印刷厂当学徒。高中时他除了继续干擦洗玻璃窗、打扫地板等活计外，还利用星期六和星期天在化学实验室工作。他先进入里弗赛德专科学校学习，然后又在加利福尼亚州理工学院念书。他艰苦奋斗了5年，可是，他却欠了1400美元的债。1930年，工作特别难找，卡尔森给82家公司写信要求工作，但是只有两家公司给他复函，还表示不能雇用他。最后，卡尔森总算在纽约一家电子公司的专利部门找到了一个固定的工作。在那儿复制文件和图表之类的麻烦事给他留下了不可磨灭的印象。手稿必须重新打印出来，图表得送到照相复印公司去复印，这既花钱又费时间。他心想如果在办公室里有一架机器，只要把原文本塞进这架机器里，一按电钮就可得到一模一样的复本，那该有多好呀！1935年，他开始着手研制这种机器。当时人们同现在一样，总认为没有设备完善、规模巨大的实验室就不可能有重大发明。29岁的卡尔森，瘦瘦的个子，虽然两眼近视，却是个意志坚强、锲而不舍的人。他单枪匹马埋头干了三年，细心观察光怎样作用于物质和探索图像从一张纸传到另张纸上面的独特方法。星期六、星期天和每天晚上，纽约公共图书馆内都留下了他勤奋学习的身影，甚至在地铁里他也在思考问题。对他来说，时间永远不够用，因为他身负三副重担，白天他得努力工作来保住他的饭碗；夜晚去夜校读书，以便取得学位；百忙之中还要实现他的夙愿研制复印机。通过理论上探索，他终于掌握了静电学。1937年，他正式提出申请，要求获得“静电摄影法”的专利权。卡尔森确信他已掌握了静电复印的基本概念，但是他还得把理论用于实际。他便把自己唯一的一间起居室的壁橱改成临时实验室，但结果证明它不能适应实验需要。因此，他在长岛的阿斯托里亚租了一小间简陋房子，在里面配备了实验用的物品。另外，他节衣缩食，用节省下的钱雇用了一位实验助手，帮他一起做实验。1938年10月22日，在这间简陋的房间里，卡尔森用墨水在一块玻璃板上书写了“阿斯托里亚1938.10.22”几个字，又用一块布手帕在涂硫金属板上拭擦，使它带上电荷，然后隔着写有字的玻璃板，在泛光灯下将这块金属板爆光3秒钟，又在板上显示出来了。接着卡尔森又把一张蜡纸平压在涂硫的金属板上，纸上也复印出了相同的字。这就是世界上最早的静电复印，以后这种方法被命名为“静电印刷术”。然而，对卡尔森来说，以后几年的经历并不是一帆风顺的。根据他的图纸设计生产的各种复印机总不能使他满意。他想方设法推广这种机器，以引起人们的注意，可是他发现人们对他的发明漠不关心。19391944年间，包括雷明顿兰德和国际商业机器公司在内的二十多家公司拒绝接