高中物理竞赛第六阶段第7讲建立微分方程（无答案）

第7讲 建立微分方程本讲导学 上讲代表的是动力学里的最基本的套路，好好练习。 这讲处理的如何建立微分方程。竞赛中用微分方程处理的问题，一定都可以绕过微分方程解决。然而不论是用什么方法，建立方程的过程必然是一样的。1、 步找出多少个独立变量，通过常见的各种约束，表达系统的变量。2、 方程的来源可以是牛顿第二定律/角动量定理，也可以是XX守恒，本质上是相通的。写方程的时候如果发现要算的变量在积分上下限的位置，或者在积分变量的位置，说明不应当对整个过程写方程，而是应当对某一小段过程写方程（即把积分方程化成微分方程）。3、 消去无关的变量。例如要干掉而算出，关系的时候，v显然应当为，或者通过加减将等一起消掉。例题精讲上讲复习-关联【例1】 在光滑的固定的，倾斜角度为的水平面上，有一个半径为的薄壁圆筒，外面饶了一圈绳子，绳子一端接在天花板上。初始状态圆筒被挡板挡住，露出的绳子长度为，然后突然撤掉挡板（1） 求刚撤掉挡板的时候，圆筒的加速度和角加速度。（2） 求这个瞬间绳子上与圆筒接触的点的加速度与圆筒上与绳子接触的点的加速度。上讲复习-曲率半径【例2】 半径R的大圆内，取半径，小圆对应的滚轮线，求线上最大曲率半径，上讲复习-惯性力【例3】 在竖直平面上，设置图示的水平X轴和数值向下的y轴，t=0时刻位于x=0，y=0处的小水桶从静止出发，以匀加速，沿X轴运动。过程中桶底小孔向下漏水，单位时间漏水质量为常量。略去漏水相对水桶的初速度，在任意时刻，试求：（1）漏水迹线方程；（2）漏水迹线中的质量线速度随y坐标的分布函数。【例4】 如图两个质量为的方块，边长分别为和。方块上下面摩擦系数均为。初始时刻，上面的小方块速度为向右。要求最后小方块能停在大方块上，而不发生以下事情，求各参数应当满足的关系。A 上面的方块不翻动B 下面的方块不滑动 C 上面的方块不掉下来 D 下面的方块不反翻如何建立微分方程【例5】 原题出自更高更妙的物理如图一卷水管立在地上。铺开之后每层水管厚度为，水管卷的总半径为。开始的时候踢一脚，让水管卷滚起来，初态速度为。在水管滚开的过程中没有能量损耗，求整个卷摊平需要多长时间。【例6】按照广义相对论的预言，加速运动的物体会引起引力场的变化，从而激发引力波，向外辐射能量。引力波的探测一直以来是非常困难的。一种判定引力波存在的证据是观察大质量双星系统的运动周期（或者中子星的脉冲）。我们把模型作如下简化：两个质量为的星体绕着其质心作圆周运动。初始时刻两个星体之间距离为l。，当星体的加速度为时，其引力波辐射功率为，其中是一个很小的常数。（万有引力常数为，双星之间的引力作用可以用牛顿的万有引力公式计算）（1） 双星体系的周期变化需要经过多长时间。（2） 按照这个理论双星越来越近，最后几乎相撞。估算相撞需要的时间。【例7】 一根轻绳跨过具有光滑水平轴的定滑轮（质量可忽略），两个质量为和的人各抓住绳的一端开始时，两人与水平轴之间的高度差分别为和，他们同时从绳上开始向上爬，并同时到达该滑轮水平轴处，试求所需时间t。【例8】在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。一半径为R，质量为M的薄壁圆筒，其横截面如图所示，图中O是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为的小球，正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为0。若要使卫星减慢或者停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，解除小球与卫星的联系，于是卫星转动停止。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q处。1、 求当卫星角速度减至时绳拉直部分的长度l；2、 求绳的总长度L；3、 求卫星从0到停转所经历的时间t。物理世界想象中的夸克星我们正常看到的天体是原子构成的，如果压强再大一些，原子的结构被压垮，星体由中子构成。如果压强更大一些，一般理论就认为形成黑洞了。有没有可能中子被压垮，由夸克形成星体呢？夸克星（英语：Quark star）这一概念就由此而来。目前这样的理论都还处于假说状态。以夸克为基础的星体在理论模型上至少有三种，“奇异夸克星”、“孤子星”及“玻色星”。“奇异夸克星”是科普文章通称的“夸克星”，成分以奇异物质为主，专业学者文章多以“奇异星”来区分其差异，强调出其为奇异物质所组成的夸克星，由于“奇异星”有时会跟“奇异原子”发生混淆，而“孤子星”及“玻色星”本身都有专有名词，故一般称“夸克星”系指“奇异夸克星”，而专业研究者之间因为有共通语言，因此学术论文中则大多以“奇异星”来避免泛指所有类型的夸克星。“孤子星”（Soliton Star）以诺贝尔奖得主李政道所推出的“非拓朴性孤子”（Non-topological soliton, NTS）为理论基础（拓朴性孤子的模型目前有Skyrmion），主要是以纯粹“费米子”具有孤子波性质的“孤子”来组成夸克星，被认为是“暗物质”的最佳候选者。由于宇宙间有73%以上的物质属于暗物质或暗能量，“孤子星”为“暗物质”的最佳候选者，“孤子星模型”则在天体物理学当中形成一大门派，在宇宙学上是非常重要的一个分支，解释了宇宙间观测到的质量遗失问题。雷蒙鲁菲尼（Remo Ruffini）的理论研究导致“玻色星”概念出现“玻色星”则为以纯粹“玻色子”来组成夸克星，由于普通的星体一般是以费米子为主的重子所组成，星爆不能供应足够的玻色子，“玻色星”被认为不能由星爆产生，而是由大爆炸时期所遗留下来的暗物质，或是存在于“银核”当中作为“巨质量玻色星”。因为希格氏玻色子的加入，“巨质量玻色星”应该是最常见的形式，“银核”在这一理论当中被认为是“玻色星”而非“黑洞”所组成的，此即为“银核是由暗物质所组成”的说法来源，此一说法比“银核是由黑洞所组成”更加合理，矛盾较少，同时作为“银核”的“玻色星”无法任意被制造出来，也是观测当中没有见过“黑洞”吸聚物质因而产生婴儿银河的合理解释。“玻色星”的性质相当奇怪，活动模式也非常多样化，许多人关注的黑洞、孤子星、夸克星及重力真空星的活动与玻色星相较之下可说堪称无聊至极，由此可见玻色星具有很高的研究价值。Pawel Mazur的“重力真空星” 重力真空星模型的共同作者Emil Mottola有些观点认为，作为黑洞替代方案最佳选择之一的黑星：“重力真空星”（Gravastar），其真空极化外壳组成成分因为是透过玻色爱因斯坦凝聚态所产生的，也应该是夸克所组成的，所以“重力真空星”应该也是属于夸克星的一种类型，但是“重力真空星”并未推导出其内部实际组成物质，此外“重力真空星”虽无奇点，但是却有一个类似“事件地平面”的“拟事界”，星体活动近似于黑洞，使得外部观测者没有任何手段来区分“重力真空星”与“黑洞”的差别，要透过观测来证明其组成物质为夸克，存在巨大的技术难度，难以提供确切证