《复变函数》第1章ppt课件

复变函数（第四版）电子教案,中山大学公共卫生学院刘素芳邓卓燊编写,2020/5/6,复变函数(第四版),第2页,第一章复数与复变函数,1复数及其代数运算1.复数的概念,复变函数自变量为复数的函数.,复变函数研究的中心对象:解析函数,复变函数论又称为解析函数论,i虚数单位i2=1,复数：z=x+iy,(或z=x+yi),x,y为实数,实部：x=Re(z),虚部：y=Im(z),纯虚数：z=iy,(y0),2020/5/6,复变函数(第四版),第3页,2.复数的代数运算,(1)加(减)法:,(2)乘法:按多项式法则相乘,z=0,x=y=0,z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z1=z2,x1=x2,y1=y2,注意：任意两个复数不能比较大小.,z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,共轭复数：,z1z2=,(x1x2)+i(y1y2),z1z2=,(x1+iy1)(x2+iy2),=(x1x2y1y2)+i(x2y1+x1y2),2020/5/6,复变函数(第四版),第4页,(3)除法:,复数的运算满足交换律、结合律和分配律.,(4)共轭复数性质,i),ii),iii),iv),2020/5/6,复变函数(第四版),第5页,证,例1,解:,P.4,设z1=55i,z2=3+4i,求,与,2020/5/6,复变函数(第四版),第6页,例2,解:,设,求Re(z),Im(z)与,2020/5/6,复变函数(第四版),第7页,2复数的几何意义,1.复平面,复数的其它表示法,复数的加减法可用向量的三角形法则和平行四边形法则.,(1),z=x+iy,点(x,y),(几何表示法),直角坐标平面xoy,复平面.,x实轴,y虚轴,(2),z=x+iy,(向量表示法),模,由此:,2020/5/6,复变函数(第四版),第8页,结论:,辐角:,辐角主值:,(两边之和大于第三边),(两边之差小于第三边),(z0),无穷多个,相差2k.,k=0,1,2,当z=0时,|z|=0,而辐角不确定.,2020/5/6,复变函数(第四版),第9页,Argz的主值argz(z0)可由Arctan的主值arctan来确定:,例:,其中,z=3+3i,(图示),2020/5/6,复变函数(第四版),第10页,(3)三角表示法,(4)指数表示法,例,由欧拉公式,得,求,和,的辐角主值.,解:,2020/5/6,复变函数(第四版),第11页,例1,解:1),将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,1),2),(或,z在第三象限),三角式:,指数式:,书P.7,2020/5/6,复变函数(第四版),第12页,解:2),例2.见书P.8(自阅),续上页例1,三角式:,指数式:,2020/5/6,复变函数(第四版),第13页,平面图形与复数形式方程,例3,通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线的方程,解法一:,由过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的参数方程,得复数形式的参数方程,解法二:,如图,zz1与z2z1共线,即,2020/5/6,复变函数(第四版),第14页,例4,解:1),解:2),求下列方程所表示的曲线,1)|z+i|=2;,2)|z2i|=|z+2|;,3),几何上看,|z+i|=|z(i)|=2:,的距离为2的点轨迹,即中心为(i),半径为2的圆.,代数推导:,设z=x+iy,则,|x+(y+1)i|=2,x2+(y+1)2=4,|z2i|=|z+2|,到点2i和2距离,连结2i和2的线段的垂直平分线.,与点i,相等的点轨迹:,|x+(y2)i|=|(x+2)+yi|,x2+(y2)2=(x+2)2+y2,y=x,(见书P10图1.5),2020/5/6,复变函数(第四版),第15页,解:3),问:,续上页例4,1y=4,y=3,|z+3|+|z+1|=4中z的轨迹?,到定点z=3和z=1的距离和为常数椭圆.,(左焦点),(右焦点),2020/5/6,复变函数(第四版),第16页,2.复球面,任取一与复平面切于原点的球面,原点称球面的南极,过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极.,连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点,又在平面上引入一个假想点与球面北极对应,构成扩充复平面与球面点的一一对应,即复数与球面上的点的一一对应,球面称为复球面.,2020/5/6,复变函数(第四版),第17页,规定:,注:1.在高等数学中,可以分为+和.而在复变函数中只有唯一的无穷远点.(这样才能与复球面一一对应),2.引入唯一无穷远点在理论上有重要意义.可以作为复平面的唯一的边界点.在扩充的复平面上,直线可看成是一个圆.,|=+,+=+=,=,=,无特殊说明,平面仍指有限平面.,2020/5/6,复变函数(第四版),第18页,3复数的乘幂与方根,1.乘积与商,(两端可能值相等,即集相等),2020/5/6,复变函数(第四版),第19页,几何意义:,特别:,z1z2:,z1逆时针旋转一个角度argz2,并伸长|z1|到|z2|倍.,z2顺时针旋转一个角度argz1,并伸长,iz1,对z1实行一次旋转变换,旋转角,2020/5/6,复变函数(第四版),第20页,例1,方法一:,已知正三角形的两个顶点为z1=1与z2=2+i,求它的另一个顶点.,解:,设z3=x+yi,2020/5/6,复变函数(第四版),第21页,方法二:,类似,可得,续上页例1,(书P14图1.8),2020/5/6,复变函数(第四版),第22页,补例:,证:,若|z1|=|z2|=|z3|.,求证,三点共圆,=,2020/5/6,复变函数(第四版),第23页,2.幂与根,棣莫弗(DeMoivre)公式,z的n次方根:,(n为负整数时亦成立),r=1:,(k=0,1,2,n-1),为以原点为中心,为半径的圆的内接正,n边形的n个顶点.,2020/5/6,复变函数(第四版),第24页,特别:,补例1:,1的n次方根也叫n次单位根.,1的三次方根:,x11+x7+x3=x2+x+1,解:,x31=(x1)(x2+x+1),而x2+x+1=0,故x是一个三次单位根.,从而,x11=x9x2=x2,x7=x,x3=1.,=0,已知x2+x+1=0,求x11+x7+x3的值.,2020/5/6,复变函数(第四版),第25页,补例2:,证:,求证,易知,比较虚部与实部,即得所证.,2020/5/6,复变函数(第四版),第26页,补例3:,解:,但,(1+z)5=(1z)5,验证知z1.,故原方程可写成:,则w5=1.,k=0,1,2,3,4,故原方程的根为:,解方程,2020/5/6,复变函数(第四版),第27页,4区域,1.区域的概念,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),zo的邻域:|zzo|的全体点.(半径为的圆域),模,zo的去心邻域:0|zzo|M,内点:zoG,zo的某个邻域属于G,zo为G的内点,开集:集内的每个点都是内点.,连通集:连接G内任意两点的折线也属于G.,区域:连通的开集.,边界点:zo的任意一个邻域内既有属于G的点又有不属于G的点.zo为边界点。,闭区域:区域+边界=,边界可以是曲线,也可以是孤立点.,2020/5/6,复变函数(第四版),第28页,2.单连通域与多连通域,(1)简单闭曲线:,(2)光滑曲线:,设z(t)=x(t)+iy(t),(atb)为复平面上一条连续曲线,(x(t),y(t)连续),一条没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线,如果简单曲线的起点与终点重合,称为简单闭曲线.,简单曲线自身不相交,(t1t2,z(t1)z(t2),称为光滑曲线.,(atb),由几条光滑曲线依次连接而成的曲线,称为,按段光滑曲线.,曲线z=z(t)=x(t)+iy(t),2020/5/6,复变函数(第四版),第29页,(3)单连通域:,从几何上看:,特征:,若属于区域G的任何简单闭曲线C的内部也属于G,则称G为单连通域;否则称为多连通域.,单连通域即是无洞、无割痕的域.,属于单连通域的任何一条简单闭曲线,在域内可以经过连续变形而缩成一点.,常见曲线与区域:,2020/5/6,复变函数(第四版),第30页,常见曲线与区域:,2020/5/6,复变函数(第四版),第31页,1.定义,设G是复平面上的一个点集,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数z,都有一个或几个复数,w=u+iv与之对应,那么称复变数w是,复变数z的函数(简称复变函数),记作,w=f(z),单值:一个z对应w的一个值.,多值:一个z对应w的两个或两个以上的值.,5复变函数,2020/5/6,复变函数(第四版),第32页,一个复变函数确定了自变量为x、y的两个二元实变函数.,例:,z=x+yi,w=f(z)=f(x+iy),=u+iv,相当于两个关系式:,u=u(x,y),v=v(x,y).,令z=x+iy,w=u+iv,2020/5/6,复变函数(第四版),第33页,例:,涉及四个变量x、y、u、v,故不能用一个平面,也不能用三维空间中的几何图形表示.,反映z平面上的一个点集G(定义集合)到w平面上一个点集G*(函数值集合)的一个映射.,x2+y21,u2+v21,几何意义:,2020/5/6,复变函数(第四版),第34页,代入法：,已知,将其写成关于z=x+iy的解析式.,补例:,解:常用的方法有三种.,2020/5/6,复变函数(第四版),第35页,设零法：,将式中项凑成xiy的组合,设式中y=0,得f(x),代回f(z),最简单,拼凑法：,2020/5/6,复变函数(第四版),第36页,z原象,w象(映象),w=f(z),今后不再区分函数与映射(变换).,若G与G*的映射是一一对应,则有逆映射z=(w).,即w=f(w),z=f(z).,2.映射的概念,2020/5/6,复变函数(第四版),第37页,(1)w=关于实轴的一个对称映射(将z与w重叠),象与映象是关于实轴对称的全同图形.,例:,2020/5/6,复变函数(第四版),第38页,(2)w=z2,z=x+yi,w=u+iv,u=x2y2,v=2xy.,argw=2argz,辐角增大一倍.,角形域,角形域,2020/5/6,复变函数(第四版),第39页,z平面:,x2y2=c1,2xy=c2,(以y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线),两族平行直线:,u=c1,v=c2.,(图示见书P24图1.17),2020/5/6,复变函数(第四版),第40页,1.函数的极限(1)定义:,(2)几何意义,w=f(z)在zo的去心邻域00,使0|zzo|0,当0|(x+iy)(xo+iyo)|时,|(u+iv)(uo+ivo)|,|(uuo)+i(vvo)|.,|uuo|0,|f(z)A|,=|(uuo)+i(vvo)|,|uuo|+|vvo|,=,证:充分性.,2020/5/6,复变函数(第四版),第44页,由此知：复变函数极限的定义，形式上与一元实函数类似，实质上却相当于二元函数的极限。（导致导数概念的苛刻）,例:,2020/5/6,复变函数(第四版),第45页,Th2.,同样有基本式:,如果,则,2020/5/6,复变函数(第四版),第46页,证:,证明函数,当z0时的极限不存在.,它随k的不同而不同,例:,2020/5/6,复变函数(第四版),第47页,当z沿不同射线argz=趋于零时,f(z)趋于不同的值.,如,沿正实轴,f(z)1;,沿正虚轴,f(z)0;,另证:,2020/5/6,复变函数(第四版),第48页,Th3.,Th4.,(与实函数有类似的结论),定义:,f(z)在z=zo处连续.,f(z)在D内连续,f(z)在D内处处连续.,f(z)=u+iv在zo=xo+iyo连续,u(x,y)和v(x,y)在(xo,yo)处连续.,连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍连续.,注:在连续点上,2.函数的连续