2.5 Hermite插值多项式PPT幻灯片

第二章插值法,学习目标：掌握多项式插值的Lagrange插值公式、牛顿插值公式等，等距节点插值、差分、差商、Hermite插值、三次样条插值。重点是多项式插值方法。,1、两点三次Hermite插值问题,2.5Hermite插值多项式,2、一般Hermite插值问题,3、Hermite插值余项,例2.12,补充：不完全导数条件的Hermite插值,问题描述,三次Hermite插值的构造,高次Hermite插值的构造,定理1,定理2,三次Hermite插值余项,补例1,练习,2.5Hermite插值多项式,1、两点三次Hermite插值问题,许多实际问题不但要求插值函数p(x)在插值节点处与被插函数f(x)有相同的函数值p(xi)=f(xi)(i=0,1,2,n),而且要求在有些节点或全部节点上与f(x)的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，能满足这种要求的插值问题就称为埃尔米特插值(Hermite).,求3次多项式使满足插值条件,问题:已知,函数表及导数表,（1）,三次Hermite插值的构造,存在性给定f(xi)=yi,f(xi)=mi,i=0,1.设代入插值条件:H3(xi)=f(xi),H3(xi)=f(xi),i=0,1,得,其解存在唯一,解出a0,a1,a2,a3,代入即得H3(x).,利用拉格朗日插值的基函数法构造,设在处的插值基函数分别为,它们的取值如下表：,或简记为,基函数法,则满足条件（1）的多项式,为,先构造0(x),设0(x)=(+x)(xx1)2,为方便计算，可设,0(x1)=0(x1)=0,先构造0(x),设0(x)=(+x)(xx1)2,为方便计算，可设,由0(x0)=1,得=1；由所以，同理设,0(x1)=0(x1)=0,0(x0)=0(x1)=0,0(x1)=0,综上可得,（2）,由0(x0)=1,得=1。所以,可得,注：我们知道，过x0,x1两点的Lagrange插值基函数为显然，于是，三次Hermite插值的基函数可表为,三次Hermite插值多项式为容易验证，当f(x)C4a,b时,三次Hermite插值的截断误差为提示：设作辅助函数固定xa,b，则(t)有三个零点x0,x1,x,且x0,x1为二重零点。反复应用Rolle定理可证。,以上方法推广到一般情形，给定n+1个节点x0,x1,xn上的函数值f(xi)和导数值f(xi)，可以构造2n+1次Hermite插值多项式,高次Hermite插值的构造插值基函数法,在n+1个节点函数表及导数表,已知,插值条件:,2、一般Hermite插值问题,定理1,类似于拉格朗日插值的基函数构造法，可得,Hermite插值基函数,(4),(5),则有,其中,3、Hermite插值余项,定理2Hermite插值余项),为Hermite插值多项式，,证明与拉格朗日余项公式证明类似.,则,三次Hermite插值余项为,设f(x)=lnx，给定f(1)=0,f(2)=0.693147,f(1)=1,f(2)=0.5。用三次Hermite插值多项式H3(x)计算f(1.5)的近似值。,解记x0=1,x1=2,利用(2)可得,得三次Hermite插值多项式,由此得f(1.5)的近似值H3(1.5)=0.409074,例2.12,补例1给定f(0)=1,f(1)=2,f(0)=2,构造二次插值函数。,解(1)公式法设f(1)=m1，由三次Hermite插值公式得，令m1=0，得到二次Hermite插值函数P2(x)=x2+2x+1.,不完全导数条件的Hermite插值,解(2)扩展牛顿法-用牛顿差商表构造Hermite插值,写成差商表的形式，将带导数的节点X0及其上的函数值重复一遍，无导数的节点X1不重复，即xf(x)一阶差商x001x1012X1x21211,