2020届高考数学（理）“大题精练”（5）含答案

2020届高三数学（理）“大题精练”517（12分）已知,数列、满足:,记.（1）若，求数列、的通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）定义，在（1）的条件下，是否存在，使得有两个整数零点，如果存在，求出满足的集合，如果不存在，说明理由.18（12分）如图，在四面体中，平面，.，.M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且.（1）证明：；（2）若二面角的大小为60，求的大小.19（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验现有（且）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为（1）如果，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当和满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）当（且）时，将这份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；当（，且，）时，将这份产品均分为组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，设过点的直线被椭圆截得线段,当轴时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆的左顶点，是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线的斜率分别为，若，试问直线是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21（12分）已知函数.（1）当时，不等式成立，求整数的最大值；（参考数据：）；（2）证明：当时，.22（10分）在极坐标系中，已知圆的圆心，且圆经过点.（1）求圆的普通方程；（2）已知直线的参数方程为（为参数），点，直线交圆于两点，求的取值范围.2020届高三数学（理）“大题精练”517（12分）已知,数列、满足:,记.（1）若，求数列、的通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）定义，在（1）的条件下，是否存在，使得有两个整数零点，如果存在，求出满足的集合，如果不存在，说明理由.解：（1），由累加法得 .（2）是公差为1的等差数列. (3)由（1）（2）得， 函数的零点为，要想为整数，则必为完全平方数，不妨设，此时，又因为是连续的两个整数 能被2整除，即函数的零点为整数， 所求的集合为.18（12分）如图，在四面体中，平面，.，.M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且.（1）证明：；（2）若二面角的大小为60，求的大小.解：（1）证明：如图，取的中点O，以O为原点，所在射线y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意知设点C的坐标为，因为，所以因为点M为的中点，故又点P为的中点，故所以，所以.（2）解：设为平面的一个法向量由，知取，得.又平面的一个法向量为，于是即.又，所以，故即.联立，解得（舍去）或.所以.又是锐角，所以.19（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验现有（且）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为（1）如果，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当和满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）当（且）时，将这份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；当（，且，）时，将这份产品均分为组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）解：（1）如果,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为检测结果恰有两份次品的概率（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为,由已知得,的所有可能取值为,=要减少检验次数,则,则,即,（3）两组采用混合检验的检验次数分别为,则由（2）知,设这组采用混合检验的检验次数分别为,且检验总次数,所以检验总次数的数学期望20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，设过点的直线被椭圆截得线段,当轴时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆的左顶点，是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线的斜率分别为，若，试问直线是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得，得将代入，结合，得，所以，由得故椭圆的标准方程为（2）设点的坐标分别为，.当直线的斜率不存在时，由题意得或，直线的方程为当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，消去得，由，得）由可得，得，整理得由（1）和（2）得，解得或当时，直线的方程为，过定点，不合题意； 当时，直线的方程为，过定点，综上直线过定点，定点坐标为.21（12分）已知函数.（1）当时，不等式成立，求整数的最大值；（参考数据：）；（2）证明：当时，.解：（1）当时,令,则,因此在上为增函数,又,使得,即,当时,为减函数；当时,为增函数；,所以整数的最大值为3（2）法一：要证,即证,令,则,令,则,在上为增函数,又,在上为增函数,又,在上为增函数,又,即,在上为增函数,故.22（10分）在极坐标系中，已知圆的圆心，且圆经过点