【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）课件 新人教a版必修4

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二),两角和与差的正切公式,思考：在公式T()中，能否是任意角？提示：从公式的推导过程来看,要使公式成立,角，以及不能等于k+ (kZ),因此,不能为任意角.,【知识点拨】1.解读两角和与差的正切公式(1)公式成立的条件角，以及不能等于k+ (kZ),且tantan1(或tantan-1).(2)公式的结构特征公式T()的右侧为分式形式,其中分子为tan与tan的和或差,分母为1与tantan的差或和.(3)公式的符号规律符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.,2.两角和的正切公式的常用变形形式(1)tan+tan=tan(+)(1-tantan).(2)1-tantan =(3)tan+tan+tantantan(+)=tan(+).(4)tantan=,类型 一 两角和与差的正切公式的简单应用 【典型例题】1.已知tan+tan=2，tan(+)=4，则tantan等于 ( )A.2 B.1 C. D.42.3.求值：tan 75.,【解题探究】1.在T(+)中，tantan如何用tan(+)和tan+tan来表示？2.为了利用公式,“1”可以怎样代换?3.75可以由哪两个特殊角来表示？探究提示：1.tantan=1-2.1=tan45.3.75=45+30.,【解析】1.选C. 因为所以tantan=2.答案：3.,【拓展提升】利用公式T()化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式.T()是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.,(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用.当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“ ”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“ ”“ ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.,【变式训练】 等于( )A.-1 B.1 C. D.【解析】选A.,类型 二 给值求值 【典型例题】1.已知，为锐角， 则tan的值为( )2.若a=tan 20，b=tan 60，c=tan 100，则3.已知 则,【解题探究】1.如何与-建立联系？2.若+=，则tan与tan存在什么关系？3.+- 与已知角 两角存在怎样的关系？探究提示：1.=-(-).2.tan=tan(-)=-tan.3.,【解析】1.选B.因为是锐角，cos=故所以 tan=tan-(-)=,2.因为所以tan20+tan100=tan120(1-tan20tan100)，即tan20+tan100=tan120-tan120tan20tan100,又tan120=-tan60,所以tan20+tan100+tan60=tan60tan20tan100，所以即答案：1,3. 由于故答案：,【互动探究】 在题1中，若sin= 其他条件不变，则tan应为多少？【解题指南】由角是锐角以及sin= 先求出tan的值，然后利用tan=tan-(-)求出tan的值.【解析】因为是锐角，sin=故所以tan=tan-(-),【拓展提升】给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值.(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用=-(-)、2=(+)+(-)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.,【变式训练】若tan tan(-)=-1，则tan的值为_【解析】因为 且tan=所以解得答案：,类型 三 给值求角问题及综合应用 【典型例题】1.已知tan，tan是方程x2+3 x+4=0的两根，且 则+的值为( )A. B. C. 或 D.无法确定2.已知tan(-)= tan= ，(0,)，则2-=_.3.在ABC中，tanA= tanB=-2，则角C=_.,【解题探究】1.二次方程ax2+bx+c=0中，根与系数有怎样的关系？2.2-能用已知角-与直接表示吗？若不能，可以怎么办？3.在ABC中，A，B，C三个角有什么关系？探究提示：1.2.不能，可以先求=(-)+，再求2-.3.A+B+C=.,【解析】1.选B.由已知得,tan+tan=tantan=4，所以tan0，tan0,又所以-+0,所以+=,2.又(0,),所以(0, ).而tan= (0,)，所以( ),所以2-(-,0)，2-=答案：,3.所以tanC=1,C(0,)，故C=答案：,【互动探究】若将题1中的方程改为 其余条件不变，则+的值是( )A. B. C. 或 D.【解题指南】由tan与tan的和与积，先判断tan与tan的符号，再进一步限定角，的取值范围,【解析】选A.由题意，tan+tan= tantan=-2，所以tan与tan一正一负，不妨设tan0，tan0，则 所以又所以+,【拓展提升】给值求角问题的步骤及选取函数的原则(1)给值求角问题的步骤求所求角的某个三角函数值.确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角.,(2)选取函数的原则已知正切函数值，选正切函数.已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是(0, )，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0,)，选余弦较好；若角的范围是( )，选正弦较好.,【变式训练】在ABC中，则角C等于( )【解析】选A.由题意tanA+tanB= (1-tanAtanB)，故tan(A+B)=又A+B+C=，所以,【易错误区】给值求角问题中忽略角的范围致误 【典例】(2013杭州高一检测) 已知tan= (1+m)， (tantan+m)+tan=0，且，都是锐角，则+=_.,【解析】由已知可得tan= (1+m)，tan= tantan上式两边分别相加得：tan+tan= (1-tantan)，所以又因为所以0+,所以+=答案：,【误区警示】,【防范措施】1.明确角的范围在求解给值求角问题时，要根据已知条件明确所要求的角的范围，根据所求角的三角函数值才能准确把握所求的角.如本例中由已知得出0+，在此范围内tan(+)=的角只有一个.,2.明确三角函数名称的选择在给值求角的题目中，需由已知条件先求出此角的某个三角函数值，如本例中由已知都与正切值有关，故对+求其正切值.,【类题试解】已知tan=3，tan=2，,( )，则+=_.【解析】因为,( )，所以+(0,)，所以+=答案：,1.与 相等的是( )A.tan 66 B.tan 24C.tan 42 D.tan 21【解析】选B.原式,2.已知，为任意角，则下列等式：sin(+)=sincos+cossin.cos(+)=coscos-sinsin.cos( )=-sin.tan(-)=其中恒成立的等式有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.1个,【解析】选B.中，均为任意角，但是中需要满足正切函数的定义域，还要满足分母不为零，不能为任意角.,3已知tan= tan(-)= 则tan(-2)的值是 ( )【解析】选C.tan(2-)=tan+(-)=故tan(-2)=-tan(2- )=,4.已知 则【解析】答案：,5.tan 67-tan 22-tan 67tan 22=_.【解析】因为tan67