本征值与本征向量

一.内容分布7.5.1线性变换的本征值和本征向量的定义7.5.2本征值和本征向量的计算方法7.5.3与本征值和本征向量相关的几个问题二.教学目的1.理解本征值和本征向量的概念2.熟练掌握求线性变换(矩阵)的本征值和本征向量的方法三.重点难点线性变换(矩阵)的特征值和特征向量的求法,7.5本征值和本征向量,复习与引入:,问题1:在向量空间V中,同一线性变换关于不同基的矩阵有什么关系?这种关系是如何刻划的?,问题2:矩阵的这种相似关系对于我们研究线性变换有什么启发?,问题3:线性变换关于向量空间V中某个基的矩阵为这种简单形式的矩阵(准对角矩阵或者甚至就是对角形),这与什么理论有关?你认为应该怎样选取这个基呢?,即设dimV=n，L(V)，在什么条件下可找到V的一个基，使得关于这个基的矩阵为对角形,要做到这一点，从上节最后的分析结果知道在于V能否分解为的一维不变子空间的直和.我们将看到这不是总能办到的，因而只能从另外的方面讨论.,显然,从解决的问题所满足的式子（*）给予我们一个重要启示，即研究线性变换，很重要的一点就是设法去寻找满足条件的数和非零向量，这就是下面要介绍的线性变换的本征值和本征向量问题.,值得一提的是:本征值-也叫特征值;本征向量-也叫特征向量.以后我们可以根据自己的喜好称呼它们.,7.5.1特征值和特征向量的定义,定义1：设V是数域F上的向量空间,是V的一个线性变换.是F中的一个数，如果存在V中非零向量，使得,2)本征值和本征向量这两个概念是相互联系着的，它们的关系是“共生”，有本征值必有本征向量；反过来，本征向量是相对于某一本征值而言的;,Note:,1)本征向量必须是一个非零向量;,例题（P290-例1、2、3，略）,4）在关系式中，尽管对于任意都成立，但此时的却不是特征向量，因而要把它除外;,3）的本征值必须属于数域F(讨论的范围，基础域），否则无意义;,5）特征值、特征向量与一维不变子空间有密切联系;,6）一个线性变换的本征值不唯一，且属于同一本征值的本征向量亦不唯一(例2,例1);,7)同一个线性变换的不同本征值的本征向量不同;,8）并不是每个线性变换都有特征值(例3).,7.5.2寻求特征值和特征向量的方法,设(V,F,dimV=n),是V的基,关于这个基的矩阵是,或,（),由于,所以齐次线性方程组()必有非零解,因而,由此可求特征值.,对于行列式，我们给出,定义2：设,由此可求属于的特征向量,则行列式,由于同一个线性变换关于向量空间中不同基的矩阵是相似的，我们自然要问:相似矩阵是否具有相同的特征值呢?,定理7.5.1相似矩阵具有相同的特征多项式，因而具有相同的特征值,证明：令、是线性变换关于中不同基的矩阵，则,存在可逆矩阵，使，从而,由于矩阵A是线性变换关于向量空间中基的矩阵，因此，矩阵的特征多项式就是线性变换的特征多项式，记为，即,于是又有：定理7.5.2设，是的一个特征值的充要条件是是的特征多项式的一个根,小结：求线性变换的特征值和特征向量的方法,解：,对于,有齐次线性方程组,由