市级联考广东省深圳市2019届高三第一次2月调研考试数学理试题版.doc

深圳市2019届高三第一次调研考试数学理试题第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算可知，再根据共轭复数的概念，即可求解。【详解】由题意，根据复数的运算可知，所以，其共轭复数为：，故选D。【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。2.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解。【详解】由题意，求得集合，所以，【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及集合的交集运算问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及集合交集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。3.设为等差数列的前项和若，则的公差为A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式和题设条件，求得，进而求解数列的公差，得到答案。【详解】依题意，可得，解得，又，所以，所以公差，故选A。【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。4.己知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：（单位：万元）01234（单位：万元）1015203035若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为A. 42万元B. 45万元C. 48万元D. 51万元【答案】C【解析】【分析】根据上表中的数据，求得样本点中心，代入回归直线的方程，求得的值，得到回归直线的方程，即可求解。【详解】由题意，根据上表中的数据，可得，即回归方程经过样本点中心，又由线性回归方程为，所以，解得，所以，当时，故选C.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用问题，其中解答中熟记回归直线方程的性质，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。5.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 72B. 64C. 48D. 32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，所以几何体的体积为，故选B。【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。6.己知直线是函数与的图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】【分析】依题意，得，解得，所以函数，再根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案。【详解】依题意，直线是函数与的图象的一条对称轴，则，即，解得，因为，所以，所以函数，将的图象向左平行移动个单位长度得，选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，其中解答中正确李颖三角函数的性质，得出三角函数的解析式，熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。7.在中，为的中点，则A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算得 ，再利用和数量积的运算，即可求解。【详解】由题意，在中，为的中点， 所以 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的线性表示和数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。8.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段，过点作的垂线，并 用圆规在垂线上截取，连接；（2）以为圆心，为半径画弧，交 于点；（3）以为圆心，以为半径画弧，交于点则点即为线段的黄金分割点若在线段上随机取一点F，则使得的概率约为 （参考数据：）A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618【答案】A【解析】【分析】由勾股定理可得，由图可得，由长度比的几何概型可得概率为的概率为，即可求解。【详解】由勾股定理可得，由图可知，则，由长度比的几何概型，可得概率为的概率为，故选A。【点睛】本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，利用勾股定理求得，利用长度比求解概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。9.已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，得到函数在时是减函数，在函数在时是增函数，且，进而可求解不等式的解集，得到答案。【详解】由题意，当时，不等式恒成立，所以函数在时是减函数，又由偶函数的图象经过点，所以函数在时是增函数，当时，由，得，即当时，由，得，即，所以，的取值范围是【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中合理应用函数的单调性和函数的奇偶性转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。10.已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将的面积转化为的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点为圆的直径 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形又，可得： 本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.11.已知为球的球面上的三个定点，为球的球面上的动点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若的最大值为3，则球的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设的外接圆圆心为，其半径为，球的半径为，且，根据体积比求得，利用球的性质，得，再由三角形的性质，求得，利用球的表面积公式，即可求解。【详解】由题意，设的外接圆圆心为，其半径为，球的半径为，且依题意可知，即，显然，故，又由，故，球的表面积为，故选B.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，合理利用求得性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题。12.若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】因为，两边同取对数，可得，即，令，利用导数求得函数的单调性，由，只需，即可求解。【详解】由题意，因为，所以，两边同取对数，可得，令，则，当时，函数为单调递增函数，当时，函数为单调递减函数，因为，只需考虑和的大小关系，又，只需，即，即实数的最小值为6，故选A.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及有解问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设满足约束条件，则目标函数的最大值为_【答案】3【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定函数的最优解，解求解目标函数的最大值，得到答案。【详解】由题意，作出约束条件表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为。【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题14.若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中的系数为_【答案】15【解析】【分析】依题意，令，求得，写出二项展开式的通项，进而可确定展开式中的系数。【详解】依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为：，令，得，所以的系数为。【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用各项系数的和，求解n的值，再利用二项展开式的通项求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。15.已知点在轴上，点是抛物线的焦点，直线与抛物线交于， 两点，若点为线段的中点，且，则_【答案】8【解析】【分析】设，又，由为的中点，求得，直线的方程代入，得，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解。【详解】设，又，因为为的中点，所以点的坐标为，则，即，又由，则，即，直线的方程为，代入，得，设，则，解得，由抛物线的定义得：，解得：。【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。16.在下图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数（），已知（），且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即（，若，则正整数的最小值为_【答案】103【解析】【分析】根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解。【详解】因为，所以，由题意可知，（），（），即，（）， ，又由 所以当时,数列显然递增，又易知，的最小值为103，故应填103.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中结合数列的性质，求出数列的通项公式是解答本题的关键，综合性较强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力。三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.如图，在平面四边形中，与为其对角线，已知，且（1）若 平分，且，求的长；（2）若，求的长【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由对角线平分，求得，进而得到，在中，利用余弦定理，即可求得的长.（2）根据三角恒等变换的公式，求得，再在中，由正弦定理，即可求解。【详解】（1）若对角线平分，即，在中，由余弦定理可得：，解得，或（舍去），的长为.（2），又， ，在中，由正弦定理，可得，即的长为5.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，为的中点，为的中点，点在线段上，且.（1）求证：平面 ；（2） 若平面底面，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）（法一）如图，设中点为，连接，则有，利用线面平行的判定定理，证得平面，进而证得平面，从而证得平面平面，即可求得平面.（法二）连接、，则有，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】解：（1）证明：（法一）如图，设中点为，连接，则有，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，又，平面平面，平面.（法二）如图，设中点为，为线段上一点，且.连接、，则有，且，即为平行四边形，平面，平面，平面.（2）平面底面，且，底面，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，取，可得，又易知平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和平面与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理。同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.在平面直角坐标系中， 椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，且点 在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为、是椭圆上异于，的任意一点，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点， 求证：，三点在同一条直线上【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（法二）设椭圆的方程为（），列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。（2）设，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即可证得三点共线。【详解】（1）（法一）设椭圆的方程为，一个焦点坐标为，另一个焦点坐标为，由椭圆定义可知，椭圆的方程为.（法二）不妨设椭圆的方程为（），一个焦点坐标为，又点在椭圆上，联立方程，解得，椭圆的方程为.（2）设，直线的方程为，由方程组消去，并整理得：，直线的方程可表示为，将此方程与直线联立，可求得点的坐标为， ，所以，又向量和有公共点，故，三点在同一条直线上.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。20.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级消费金额普通会员2000银卡会员2700金卡会员3200预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.【答案】（1）（2）预计方案2投资较少.详见解析【解析】【分析】（1）由题意，随机变量的可能值为“”，得，即可求解。（2）根据方案1求得按照方案1奖励的总金额元，又由方案2：得到的可能值为“”，求得其概率，列出分布列，求得按照方案2奖励的总金额，比较得到答案。【详解】（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有人，则的可能值为“0，1，2”， .（或者.（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：，按照方案1奖励的总金额为：元，方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能值为“0，200，300”，摸到红球的概率：， ，的分布列为0200300元，按照方案2奖励的总金额为：元，方案1奖励的总金额多于方案1奖励的总金额，预计方案2投资较少.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.21.已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的递增区间；（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由题意，问题转化为，令，即证，根据函数的单调性，即可作出证明。【详解】（1）易知，若，由解得，函数的递增区间为；若，则1+0-0+极大值极小值函数的递增区间为和；若，则，函数的递增区间为；若，则1+0-0+极大值极小值函数的递增区间为和；综上，若，的递增区间为；若，的递增区间为和；若，函数的递增区间为； 若，函数的递增区间为和.（2）函数为上的增函数，即，注意到，故，不妨设，欲证，只需证，只需证，即证，即证，令，只需证， ，下证，即证，由熟知的不等式可知，当时，即， ，易知当时，即单调递增，即，从而得证.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于不等式的证明问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题