概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理

1,前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.,4.3随机变量的方差,2,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,3,例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好.,4,为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随机变量取值相对于其中心的离散程度.,这个数字特征就是下面要介绍的,方差,5,设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X)2存在,则称它为X的方差(此时，也称X的方差存在)，记为Var(X)或D(X),即,定义,称Var(X)的算术平方根,为X的标准差或均方差，记为(X).,Var(X)=E(X-E(X)2,6,注意：,1)Var(X)0，即方差是一个非负实数。2）当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。方差刻画了随机变量的取值相对于其数学期望即均值的离散程度。,若X的取值比较分散，则方差较大.,若X的取值比较集中，则方差较小；,7,方差的计算公式,(1)若X为离散型随机变量，其分布律为,pk=P(X=xk),k=1,2,.,且Var(X)存在，则,由定义可知，方差是随机变量X的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望.,8,（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，且Var(X)存在，则,（3）若随机变量X的方差Var(X)存在，则,9,证明：Var(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：Var(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望性质,10,常见随机变量的方差,(1)参数为p的两点分布,分布列为：,前面已经计算过：E(X)=p，又,所以,11,分布列为：,已计算过：E(X)=np，又,所以,(2)二项分布B(n,p),12,分布列为：,已计算过：E(X)=，又,所以,(3)泊松分布P(),13,概率密度为：,已计算过：E(X)=(a+b)/2，又,所以,(4)区间a,b上的均匀分布Ua,b,14,概率密度为：,已计算过：E(X)=1/，又,所以,(5)指数分布E(),15,概率密度为：,已计算过：E(X)=，所以,(6)正态分布N(,2),16,说明,正态分布的概率密度中的两个参数分别就是该分布的数学期望和方差，,因此，正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定,17,例1,18,例1（续）,乙的平均环数为,19,例1（续）,20,例2.设,求E(Y),D(Y).,解:,21,22,例3.已知X的密度函数为,其中A，B是常数，且E(X)=0.5.,求A，B.(2)设Y=X2,求E(Y),D(Y).,23,解:(1),24,(2),25,性质1:若X=C，C为常数，则Var(X)=0.,若b为常数,随机变量X的方差存在，则bX的方差存在，且Var(bX)=b2Var(X),性质2:,Var(aX+b)=a2Var(X),结合性质1与性质2就有,26,若随机变量X1,X2,Xn的方差都存在，则X1+X2+.+Xn的方差存在，且,若随机变量X1,X2,Xn相互独立，则,性质4:,n2时就有,性质3:,Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY),Var(XY)=VarX+VarY,若X,Y独立，,27,一般地,证：,28,若X,Y独立，则E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)=0故,29,性质6:,性质6说明除了以概率1等于常数的随机变量外，任何随机变量的方差都大于0.,性质5:,对任意常数C,Var(X)E(XC)2,等号成立当且仅当C=E(X).,Var(X)=0,P(X=E(X)=1,称为X依概率1等于常数E(X).,性质5说明随机变量X在均方误差的意义下距离均值E(X)最近.,注：以后若无特殊说明，都认为随机变量的方差大于0。,30,解：设XB(n,p),则X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p.引入随机变量,则是事件A发生的次数,例4设XB(n,p)，求Var(X),31,由于Xk只依赖于第k次试验，而各次试验相互独立，于是,X1，X2，Xn相互独立，而且都服从两点分布，故,Var(Xk)=p(1-p),k=1,2,n.,因此,32,则,例5.设X1,X2,Xn相互独立，有共同的期望和方差，,证明:,33,例6.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+Xn.求E(Y2).,解：由已知，则有,因此，,34,例7.设随机变量X和Y相互独立，且XN(1,2),YN(0,1),试求Z=2X-Y+3的期望和方差。,由已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=1,且X和Y独立。因此，,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.,E(Z)=2E(X)E(Y)+3=2+3=5,解:,注：由此可知ZN（5,9）。,35,结论：,36,标准化随机变量,设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称,为X的标准化随机变量.显然，,37,解：,38,C.两个不等式,定理3.2(马尔可夫(Markov)不等式)：对随机变量X和任意的0，有,证明:设为连续型,密度函数为f(x),则,39,上式常称为切比雪夫（Chebyshev）不等式,在马尔可夫不等式中取=2,X为X-EX得,是概率论中的一个基本不等式.,40,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量X与它的期望的偏差小于的概率的下限的估计式.,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则r.vX取值偏离E(X)小于3的概率不小于0.8889.,41,例8.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解：由切比雪夫不等式,令,42,例9.在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90?,解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，,E(X)=0.75n,的最小的n.,则XB(n,0.75),所求为满足,Var(X)=0.750.25n=0.1875n,43,=P(-0.01nX-0.75n0.01n),=P|X-E(X)|0.01n,P(0.74nX0.76n),可改写为,=P|X-E(X)|0.01n,44,解得,依题意，取,即n取18750时，可以使得在n次