材料力学第六章-弯曲变形

王培荣,材料力学课堂教学课件,2020年5月7日,教学要求,1.明确挠曲线、挠度和转角的概念；2.深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立过程；3.掌握计算梁变形的积分法。,第六章弯曲变形,DeformationsinBending,61工程中的弯曲变形问题,工程实例,研究梁变形的主要目的：1.对梁进行刚度计算；2.求解静不定梁。3.为研究压杆稳定问题提供理论依据。,计算梁变形的方法:积分法、初参数法、虚梁法、图解法、叠加法、差分法、奇异函数法、面积一力矩法、迈克勒法、逐次面积矩法、拉普拉斯变换法、三角级数法、能量法及虚位移法、导线法、剪力面矩法、常数相等法、焦点法、近似计算法、面积向量法、马克劳林级数法、定积分法、位移置换法等等。能量法又细分为几种方法，即卡氏定理、单位载荷法、图形互乘法等等。,二、弯曲变形的基本概念,1.挠曲线梁在平面弯曲时，挠曲线是一条光滑连续的平面曲线，可用连续函数v=f(x)或w=f(x)表示挠曲线方程。,取直角坐标系xoy，原点取在梁的左端点，x轴沿轴线方向,向右为正，y轴向上为正。,2.挠度和转角(度量梁变形基本量),挠度(v或w):梁上任一横截面形心C在垂直于轴线方向的线位移。挠度(v或w)向上为正。在弹性小变形的情况下，沿轴线方向的位移属于高阶微量，可以忽略不计。,转角():横截面绕中性轴转动角度。转角逆时针转向为正，顺时针转向为负。转角等于等于挠曲线的法线与y轴的夹角，也等于挠曲线在x点的切线与x轴的夹角。,3.挠度与转角之间的关系,约束对位移的影响,没有约束无法确定位移,位移与变形的相依关系,比较二梁的受力、弯矩、变形与位移,位移除与变形有关外，还与约束有关;总体变形是微段变形累加的结果;有位移不一定有变形;有变形不一定处处有位移。,位移与变形的相依关系,几点重要结论,62挠曲线的微分方程,一、梁的挠曲线近似微分方程式,63用积分法求弯曲变形,Calculationofdeformationinbendingbyintegration,用积分法计算梁的挠度和转角的一般步骤：,（1）建立坐标系（2）分段写弯矩方程M(x),（3）分段建立挠度近似微分方程分段的原则：一是弯矩方程M(x)不同；二是抗弯刚度EI有变化。（4）积分、确定积分常数,试求图示悬臂梁的转角方程和挠曲线方程,并确定B和wB。,试求图示悬臂梁的转角方程和挠曲线方程,并确定B和wB。,应用积分法时要注意以下几点,1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程，而对每一段进行积分时，必然要有两个积分常数；2.将所有的转角方程和挠曲线方程全部列出以后，再来确定积分常数，并应了解到每段方程只适用于一定的区间之内;3.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。连续条件则在每一分段处有两个：一个是挠度连续，另一个是转角连续；,如何才能简化确定积分常数的工作？,1.后一段梁的转角方程（挠曲线方程）中总是包括了前一段梁的转角方程（挠曲线方程）每一项；2.后一段梁的转角方程（挠曲线方程）中增加项在分段处值为零;则独立积分常数减少为两个：C1=C2=Cn=C,D1=D2=Dn=D积分常数C和D分别是梁在坐标原点处的转角和挠度（或1/EI）。,积分时采取一些措施独立积分常数减少为两个：C、D,1.写各段弯矩方程时，采用同一坐标系，即取梁左端点为原点，向右为正。2.写弯矩方程时，根据从坐标原点到所研究的截面之间的一段梁上的外力来写弯矩方程。3.写M(x)方程时,统一写成：力力臂形式,力臂在积分时作为一个独立自变量积分。4.遇到分布载荷延长到梁的右端点，并在延长段上加一个等值反向的分布载荷。,积分法的优点是普遍适用于求解等截面或变截面梁在各种载荷情况下的转角、挠度方程。当仅需计算个别截截面的挠度、转角时，其计算过程显得繁琐。,画梁挠曲线大致形状的依据,(1)根据弯矩M（x）的正负确定梁挠曲线凸凹;(2)根据梁的支座的“约束条件”，即支座处的位移情况；(3)梁的挠曲线为一连续、光滑的曲线；(4)利用对称性、反对称性。,画梁挠曲线大致形状的步骤,(1)画弯矩M（x）图；(2)根据梁的支座的“约束条件”，即支座处的位移情况；(3)根据弯矩M（x）的正负确定梁挠曲线凸凹；(4)梁的挠曲线为一连续、光滑的曲线。,画梁挠曲线的大致形状,画梁挠曲线的大致形状,画梁挠曲线的大致形状,讨论与思考题,画梁挠曲线的大致形状。,A,B,a,a,q,l,作业,61(c),(d)63(c)64(d),*6-3计算梁位移的奇异函数法,积分法需要分段建立与求解挠曲轴近似微分方程，并确定许多积分常数，实际应用很不方便。本节所述奇异函数法，采用奇异函数，建立同时适用于各梁段的弯矩通用方程，求解方法简捷规范，特别适合于计算机的应用。,定义图形微分和积分弯矩方程的奇异函数表示梁的挠度方程的奇异函数形式,奇异函数定义（SingularFunction）,奇异函数图形,奇异函数图形,奇异函数图形,奇异函数的微分和积分,奇异函数的微分和积分,弯矩方程的奇异函数表示,集中力偶作用的情形,弯矩方程的奇异函数表示,集中力作用的情形,j,弯矩方程的奇异函数表示,均布力作用的情形,弯矩方程的奇异函数表示,一般情形,（1）弯矩方程,（2）挠度微分方程,（3）微分方程的积分,（4）利用约束条件确定积分常数,（5）挠度与转角方程,解题步骤,梁挠度方程的奇异函数形式,试求图示梁的转角方程和挠曲线方程,并求A、B和wB。,梁挠度方程的奇异函数形式,（1）弯矩方程（只需考虑左端约束力和载荷）,（1）弯矩方程（只需考虑左端约束力和载荷）,