第三章-Z变换PPT课件

-,1,第三章z变换,Thez-Transform,-,2,3.0引言连续时间信号与系统：时域频域（傅立叶变换）；复频域（s域，拉氏变换）离散时间信号与系统：时域频域（傅立叶变换）；复频域（z域，z变换）引入z变换的主要原因：傅立叶变换的收敛性（更广泛的信号）z变换概念的方便性（分析研究信号、系统）傅立叶变换与z变换的关系：推广形式（数学、物理意义上）分析上的全面性（稳态、动态、瞬态、静态）,-,3,3.1z变换定义：一个序列xn的z变换为（双边，单边）其中z是一个复变量（连续），X(z)是一个连续的复函数。用符号表示为：比较序列的傅立叶变换：,-,4,ejz，傅立叶变换X(ej)z变换X(z)将复变量z表示成极坐标形式：z=rej，z变换可以写成：可见，xn的z变换：指数序列r-n乘以xn后的傅立叶变换。当z=1，即r=1时，z变换就是傅立叶变换。z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；,-,5,z平面：称为单位圆傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换傅立叶变换的周期性解释z变换的收敛域：（regionofconvergence,ROC）对给定的序列xn，所有满足下列不等式的z值傅立叶不收敛z变换收敛若z=z1在ROC内，z=z1的值也一定在ROC内，表示收敛域的形状：z平面以原点为中心的圆环组成内、外边界是一个圆（原点、无穷远）,-,6,收敛域一般形式：z变换收敛域与傅立叶变换收敛的关系：ROC是否包括单位圆傅立叶变换收敛序列绝对可和序列稳定（系统稳定）。收敛域与稳定性关系：z变换一个重要的表示形式：有理函数形式零点与极点有理函数的极点位置与收敛域的关系系统的稳定性关系,-,7,序列的z变换收敛域讨论：（1）右边指数序列xn=anun收敛条件：收敛域：z变换：一个零点：z=0；一个极点：z=a对于a=1，阶跃序列，其z变换及其收敛域为：（傅立叶变换不收敛）右边序列的收敛域：一个圆的外部,az-1a,-,8,（2）左边指数序列xn=-anu-n-1收敛域：z变换：一个零点：z=0；一个极点：z=a左边序列的收敛域：一个圆的内部（仅收敛域不同！）z变换、零极点、收敛域比较z变换-表达式+收敛域,a-1z1或者za,-,9,（3）两个序列之和收敛域：单个收敛域的重叠部分收敛域：,-,10,（4）双边指数序列z变换：收敛域：双边序列的收敛域（如果存在）：一个圆环,1/3z1/2,-,11,（5）有限长序列z变换：收敛域的条件：有限长序列的收敛域：整个z平面（z=0和z=由具体序列定）,-,12,-,13,3.2z变换收敛域的性质性质1：ROC在z平面是中心在原点的一个圆环或圆盘，即：0rRzrL性质2：当且仅当xn在z变换的ROC包括单位圆时，xn的傅立叶变换才绝对收敛。性质3：ROC内不能包含任何极点。性质4：若xn是一个有限长序列，即一个序列在有限区间-N1nN2+内，其余均为零，那么其ROC就是整个z平面，可能z=0或z=除外。N10，N20，（n为负）0zN10，N20，（n有正有负）0zN10，N20，（n为正）0z,-,14,性质5：若xn是一个右边序列，即一个序列在nN1+是零，那么其ROC是从X(z)中最外面（即最大幅度）的有限值极点向外延伸至（可能包括）z=。性质6：若xn是一个左边序列，即一个序列在nN2-是零，那么其ROC是从X(z)中最里面（即最小幅度）的非零值极点向内延伸至（可能包括）z=0。性质7：若xn是一个双边序列（一个无限长序列），那么其ROC一定由z平面的一个圆环所组成，其内外边界均由某一极点所界定，其内不能包含任何极点。性质8：ROC必须是一个连通的区域。,-,15,几个收敛域的例子：,-,16,线性时不变系统的稳定性、因果性ROC稳定：hn绝对可和傅立叶变换存在ROC包括单位圆稳定的充要条件：z变换的收敛域：当z=1或r=1时两者相等。推论：如果hn在z平面单位圆上收敛，则系统稳定。判据：收敛域包括单位圆。,-,17,例子：系统的零极点图为若系统稳定，ROC必须为：1/2z2hn为双边序列，非因果系统；若系统为因果，hn为右边序列ROC为z2，系统是不稳定。因此，对于这样一个零极点的系统来说，不可能既是因果又是稳定的。,-,18,3.2z反变换本课程的z变换-离散时间线性系统分析（非纯数学理论）正规方法（纯数学）-基于柯西积分定理简便方法（工程实用）-观察法，部分分式法，幂级数法3.3.1观察法利用基本z变换对（表3.1），通过对比直接得到z反变换例：求：通过比较可直接得到其反变换：特点：简单求解,-,19,3.3.2部分分式展开法对于任意有理函数形式的X(z)-主要方法通常的X(z)表示形式：（z-1多项式之比）或：M个零点（分子z的M次多项式）N个极点（分母z的N次多项式）z=0的多重极点或零点相同的有限值零点和极点数（包括z=0，不包括z=）,-,20,为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：ck-M个非零零点；dk-N个非零极点；若MN，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：式中系数Ak求法：,-,21,例子：极点：，（一阶）零点：z=0（二阶）右边序列部分分式展开：系数：查表求得：,-,22,其它几种情况：（1）MNBr系数通过长除法获得。对应的z反变换为：Brn-r（2）MN，且有多重极点若X(z)有一个s阶极点：z=di(其余极点均为一阶)则X(z)可以展开为：Cm系数：,-,23,几点说明：（1）项对应于取决于收敛域（2）X(z)的有理式表示为：z-1(1-az-1)而不是：z(z-a)主要考虑与z变换对（表3.1）一致-方便性例3.9可展开为：,-,24,其零极点图和收敛域：长除法求系数B0A系数：,-,25,则X(z)可展开为：根据收敛域，查表：最终可得反变换：,-,26,3.3.3幂级数展开法（不作要求）3.4z变换性质3.4.1线性注意：收敛域-交集,-,27,3.4.2时移例：可写为：利用时移性质，3.4.3指数序列相乘（频移）收敛域尺度变化z平面压缩或扩展零极点位置改变若在z平面旋转一个角度0或称为频率移位，时域表现为调制,-,28,例3.15求z变换：表示为：根据un的z变换并利用指数相乘性质，最终可得：,-,29,3.4.4微分性质,-,30,3.4.5复数序列的共轭：,当是实信号时，于是有,表明如果有复数零极点，必共轭成对出现。,若,则,-,31,3.4.6时间倒置：,若,（1）若x(n)x*(n)是实序列,则与的零极点呈共轭倒量对称。,（2）若x(n)x*(n)x(-n)是实偶序列,-,32,3.4.7序列卷积推导：交换求和次序，变量代换：m=n-k,-,33,则有：例3.19求卷积求x1n=anun与x2n=un的线性卷积,若|a|1,-,34,3.4.8初值定理若xn是因果序列，有3.4.9性质列表,-,35,3.5Z变换与LTI系统,一.系统特性与的关系:,Z-TransformsandLTISystems,LTI系统的特性可以由或描述，因而也可以由连同ROC来表征。,1.因果性：如果LTI系统是因果的，则时有所以,的ROC是最外部极点的外部，并且包括。,-,36,因此，因果稳定的LTI系统其的全部极点必须位于单位圆内，反之亦然。当是关于Z的有理函数时，因果性要求的分子阶数不能高于分母阶数。?,例如不是因果信号,-,37,3）由得出并确定它的ROC包括。4）对做反变换得到。,二.LTI系统的Z变换分析法：,1）由求得及其。2）由系统的描述求得及其。,分析步骤：,-,38,是一个有理函数。,的ROC需要通过其它条件确定，如：,1.系统的因果性或稳定性。2.系统是否具有零初始条件等。,三.由LCCDE描述的LTI系统的:,对方程两边做Z变换可得：,-,39,3.6单边Z变换：,一.单边Z变换：,单边Z变换是双边Z变换的特例，也就是因果信号的双边Z变换。因此单边Z变换的ROC一定是最外部极点的外部，并且包括。,TheUnilateralZ-Transform,-,40,所以在讨论单边Z变换时,不再强调其ROC。它的反变换也一定与双边Z变换的反变换一致。,如果信号不是因果序列，则其双边Z变换与单边Z变换不同。,例1:,对其做双边Z变换有：,-,41,显然,对其做单边Z变换有：,例2.,对其做双边Z变换有：,对其做单边Z变换有：,-,42,这是因为在的部分对双边Z变换起作用，而对单边Z变换不起作用所致。,只要所涉及的信号是因果信号，单边Z变换除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其它性质与双边Z变换的情况是一致的。,显然,二.单边Z变换的性质：,-,43,时移特性：,Proof:,若,则,-,44,同理可得：,Proof：,同理可得：,-,45,单边Z变换在将LCCDE变换为代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。,三.利用单边Z变换分析增量线性系统：,则,-,46,-,47,如果只求单位冲激响应/单位序列响应，或者零状态响应，则(1)只需对方程进行双边S变换/双边Z变换，得到系统函数H(s)/H(z);(2)直接逆变换可得单位冲激响应/单位序列响应(3)Yzs(s)=H(s)X(s),Yzs(z)=H(z)X(z),逆变换可得零状态响应yzs(t)/yzs(n);,对于增量线性系统，要求零输入响应，则必须单边变换，或者时域求解。,总结：,-,48,像原函数(差分方程的解),像函数,差分方程,像函数的代数方程,Z逆变换,Z变换,解代数方程,例3.11求二阶常系数线性差分方程,满足初始条件的解.,解设对差分方程取Z变换,并利用(右边序列