拓扑优化PPT课件

-,0,TopologyOptimization拓扑优化,-,1,简介,拓扑优化是用来描述优化设计特性的一个词汇，可以预测结构和机械系统的布局规划。也就是说，结构的拓扑或者布局应该是一个过程的结果。原则上讲，拓扑优化的结果相对于尺寸优化和形状优化得到的结果来说也是最优的；但是，我们在这里也有必要提及一下，由于基本的设计参数上的不同，那么直接对这几种优化的结果比较仍是比较困难的。而且，拓扑优化一般只能用于那些有适度数量约束条件的设计情况。我们应该把拓扑优化当做是那种可以直接给使用者提供新的设计方法或者进一步限制尺寸和形状优化的一种伴随的设计方法。,-,2,经典的拓扑优化的概念是在20世纪初期，由Michell提出的，并且，这个概念是伴随着桁架结构设计的弹性极限设置所提出的。这时的拓扑优化主要是基于分析法。很久之后，数学分析的方法得到普及，更多的明确的线性程序的技术和单一性方法被用于分析桁架结构设计最小重量下的应力。通过考虑到下限到0的变量横截面积，单一载荷，桁架的拓扑优化最小柔顺度可以通过解一个线性问题就可得到。这里，拓扑表示那些连在一起的节点，来自由一组给定的节点和与之相连的杆件组成的所谓的ground-structure。,-,3,这种给定一个参考域的想法ground-structure，随后被应用于连续结构的例子。这其中的一些基本想法首先在一些理论研究中得到阐释，这些理论主要是与那些为了获得适定问题的公式化表达的均质化技巧的应用和存在性相关的。反过来，这个成果构成了数值计算方法的基础，这个方法现在代表性地可以被称作材料分布方法，并且那些参数化设计的成果可以预测在给定参考域内材料分布的优化。尽管最初的计算的结果主要依靠优化的最优准则，但现在代表性的方法是基于有限元分析的数学规划。这意味着许多材料分布法的基本求解技巧和尺寸优化发展出的方法很相似，但是有一系列与拓扑优化特有的参数化设计的特殊形式相关的复杂难点。而且，拓扑优化所要求的大规模的设定，当公式化设计问题要求解时，需要更多的注意。,-,4,在这个领域的最近的一个发展是对于设计的描述应用水平集的方法。这其中包含了一个隐含的对设计的描述，通过有水平集函数所确定的水平集曲线。这意味着这样的方法依靠院子形状设计的精度分析，但是与标准形状设计方法相反的是，这个水平集法在拓扑上允许变化。接下来，我们把精力集中于结构问题的材料分布法的发展并且给出几个在工业设置上的使用方法的实例。而且，当前有很多与多物理场设计问题以及水平集法和新的数学求解方法的多种发展相关的研究问题被提出。为了总结这个领域的历史，我们参考了Eschenauer和Olhoff的详尽的回顾性文章，并且读者也参考了这个领域的多种专题著作。这包括大量的拓扑方面的著作，特别是在所谓的均质化方法和多样性方法的方面。,-,5,三种优化的直观区别,-,6,尺寸优化的设计变量是板的厚度，二力杆的截面积以及梁截面的高度等结构的尺寸参数，尺寸优化的目的是要在满足结构的力学控制方程，周长约束以及诸多性态约束条件的前提下，寻求一组最优的结构尺寸参数，使得关于结构性能的某种指标函数达到最优。板在体积约束下，使得柔顺性最小的最优厚度分布设计，桁架结构在应力、位移约束下的重量极小化设计，Bemouli梁在体积约束下，使得基频最大化的最优高度分布设计都属于此类优化设计问题。,-,7,形状优化的优化变量为杆系结构的节点坐标或连续体的边界形状。形状优化力图通过调整结构的内外边界形状，来达到改善结构性能，节省材料使用的目的。如果结构的边界形状可以用一条曲线(曲面)的方程来描述，那么形状优化的目的就是要求得最佳边界形状所对应的曲线(曲面)方程。对于大多数实际的形状优化问题，结构的边界形状常常采用一组适当的基函数并附加一些可以自由变化的参数来描述，此时，这些自由参数就可以选作形状优化的设计变量。对于平面桁架结构，节点的位置亦可以作为形状优化的设计变量，变化节点的位置坐标可以大大改善结构的力学性能。,-,8,而对于结构拓扑优化来说，其所关心的是离散结构中杆件之间的最优连接关系或连续体中开孔的数量及位置等。拓扑优化力图通过寻求结构的最优拓扑布局(结构内有无孔洞，孔洞的数量、位置、结构内杆件的相互联接方式)，使得结构能够在满足一切有关平衡、应力、位移等约束条件的情形下，将外荷载传递到支座，同时使得结构的某种性能指标达到最优。拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有无穷多种形式，并且这些拓扑形式难以定量的描述即参数化。,-,9,Michell在1904年在桁架理论中首次提出了拓扑优化的概念，用解析分析的方法研究了应力约束、单荷载作用下的结构，得到最优桁架所应满足的条件，后称为Michell准则，并将符合Michell准则的桁架称为Michell桁架也称最小重量桁架这被认为是结构拓扑优化设计理论研究的一个里程碑,发展概况,-,10,变厚度法几何描述方式其基本思想是以基结构中单元厚度为拓扑设计变量，以结果中的厚度分布确定最优拓扑，是尺寸优化方法的直接推广。优点是方法简单，但不能用于三维连续体结构拓扑优化，一般用于处理平面弹性体、受弯薄板、壳体结构的拓扑优化问题。变密度方法材料（物理）描述方式其基本思想是人为地引入一种假想的密度可变的材料，材料物理参数(如许用应力，弹性模量)与材料密度间的关系也是人为假定的。优化时以材料密度为拓扑设计变量，这样结构拓扑优化问题被转换为材料的最优分布问题。,-,11,水平集方法基本思路是引入一个水平集函数，然后采用如下的方式对结构的拓扑形式加以描述：,采用水平集方法求解拓扑优化问题最大的优点在于它可以用一种隐含的方式灵活地描述结构的拓扑变化，可以很好的描述二维空间中的曲线运动和三维空间中的曲面运动。所有有关结构拓扑和结构边界的信息都体现在了这个水平集函数之中。在整个结构优化过程之中，我们无需显式的提取出结构的边界。,-,12,结构渐进优化法(简称ESO法)通过将无效的或低效的材料一步步去掉，获得优化拓扑，方法通用性好，可解决尺寸优化，还可同时实现形状与拓扑优化(主要包括应力，位移刚度和临界应力等约束问题的优化)。,-,13,2.问题的设定,柔顺机构的拓扑优化首先假设线性弹性材料有微小的变形柔顺结构的一个重要运用在于机电系统（MicroElectroMechanicalSystems(MEMS),在该系统中小规模的计算使得很难利用刚体结构来实现铰链、轴承以及滑块处的机动性。该问题可以表示为在输入端有一个外力作用下输出端的最大位移。为了满足几何最优和结构最优的假定，输出端用到了弹簧刚度系数为kout的线性弹簧。刚度越大，则输出位移越小，输出载荷越大；相反，弹簧刚度越小，则输出位移越大，输出载荷越小。同时为了模拟输入端的激励，我们基于弹簧刚度系数为kin的线性弹簧，输入载荷为fin来建立线性应变模式,-,14,如果我们只考虑线性弹性材料（只发生微小变形）的分析问题，则决定输出位移的的有限元方法公式为：,其中K为刚度矩阵，f为载荷矢量，u是位移矢量，l是单元载荷矢量。在平衡方程（1）中，刚度矩阵K由设计变量决定,（1）,-,15,2.1.0-1规划问题,对于拓扑优化设计的一个基本问题就是决定分析域中的哪些单元来作为最终的结构，设计变量(在有限元网格中每个单元的真实变量)为离散值，且因此在定义域内的优化问题可以写成如下形式：,（2）,-,16,当分析网格与栅格吻合时，刚度矩阵就可以写成如下形式:,其中Ke为单元刚度矩阵，下标lin表示它与设计变量是线性关系。如果我们希望将问题设定成一个标准的嵌套式方程，其中要求平衡条件能排除使刚度矩阵奇异的情况，可以用一个很小但非零的值来代替，其刚度矩阵可以写成：,（3）,（4）,-,17,现在我们可以把优化设计问题写成：,（5）,式（5）的优点是所分析的问题可以在一个定义域内解决，也就是说如果放松整数约束条件，那么问题就可以转化成标准的尺寸优化问题。,-,18,然而，式（5）是一个带整数变量的非凸数学规划问题，此外由于我们是从网格表示的方法来定义该拓扑优化问题的，所以其计算规模非常大，因此为了找到一个有效的解决方法，必须运用大量的单元，如果是三维问题，情况就更厉害了。这不仅意味着需要处理大量的设计变量，而且也影响到有限元分析的计算成本。些为了得到高精度的设计，运用模拟退火法、遗传算法、或是确定性方法计算成本都是很高的，而且这些方法只适用于相对较小的规模，或是些特定的设计问题，如最小柔顺性问题。在式（2）的连续性问题假设中可以看出，寻求结构拓扑的基本思想是通过寻找一个在定义域的子集上定义的指示函数来得到的，很明显这一问题很难解决，我们可以通过限制子集的等级或是扩展设计集来获得一个适当的模式。对于柔度，均匀的多尺度层状微结构组成了一个扩展的设计空间，同时也意味着整数约束松弛为连续约束。,-,19,2.2解决灰色尺度：差值模式,由于整数模型的计算求解非常困难，通常采用变量连续化方法，将0-1整数变量问题变为01间的连续变量优化模型，获得方程（在设计变量上松弛整数约束）的最直接方式是考虑以下问题：,其中可取0-1之间的值,（6）,-,20,然而这种方程会导致较大区域内是在0-1之间的值，所以必须添加额外的约束来避免这种“灰色”区域。要求是优化结果基本上都在或，即密度变量要收敛到0-1，若取中间密度值是要被惩罚的，必须选择一个惩罚函数直接加到目标函数中，其形式为：,一种有效的避免上述问题的方式称为采用中间材料密度惩罚模型，最常用的为SIMP(固体各向同性材料惩罚法)模型，这种方式的刚度矩阵为：,（7）,（8）,-,21,其中指数p1,也就意味着设计问题变为：,（9）,在SIMP模式中选择P1是为了使中间密度值不可取，也就是说中间密度的刚度矩阵与体积相比是很小的，当体积约束在优化问题中起主导作用时，如果我们将p取的足够大（根据经验可取p3），这将会导致黑白（即0-1）设计问题。,-,22,式（9）优化设计问题是一种标准的连续变量的尺寸优化问题，并且是在一个固定域定义的。所以前一节提到的方法也可以应用到该问题上。人们也提出了多种以上问题的替代形式，都是基于同样的原来，即可以在0-1之间差值或是根据材料特性，在弱材料和强材料之间差值。这种模型称为RAMP模型，其刚度矩阵为：,其中q应该适当的取大一点，这种方法是为了得到一个方程，使最小柔顺性问题在设计变量上变成凹的（这就要求），因此产生了可以保证整数值的方法。,（10）,-,23,2.3灰色尺度的解释：材料模式,如果我们将公式（9）中的p=1，则又回到了式（6）的假定，这个问题在二维空间里可以解释成是一个薄盘的结构设计问题，其中每个单元的厚度是由决定的。对于SIMP方法，如果这种模式可以从物理的角度来解释，那么“灰色”区域就可以理解成是由混合材料组成的区域。这种对比主要是为了更好的理解计算流程，然而，如果数值方法导致了0-1规划，那就可以忽略这一目的。如果我们想构造一种材料模式来模拟SIMP模式的话，我们至少应该满足著名的二阶材料特性的Hashin-Shtrikman边界，这表示了带有微结构（由两种给定的材料，即线弹性材料和各向同性材料构成）的各向同性材料的边界。为了满足这样的边界条件，SIMP模式中的指数p应该要满足一定的条件，这些条件是由空间维度和泊松比决定的。比如说，在二维和三维空间中，p应该满足的条件是,-,24,3.求解方法,3.1计算框架,解决式（9）的方法是基于有限元分析，并结合数值规划算法来进行迭代的，式（9）的迭代形式为：,这意味着我们将分析结果作为调用函数，并进行灵敏度分析，这都是为了运用基于梯度的优化算法。,（11）,-,25,3.1.1有限单元法（FEM）,有限元法模式涉及到材料分配法，这使计算规模变大，尤其是在三维问题中。然而我们是在一个固定的网格上进行计算的，所以无需在设计域上重新画网格，此外特定的刚度矩阵也就是所有单元的矩阵是可以预先计算的，设计变量的改变只相对影响整体刚度矩阵。如果定义域是矩形的，并且以相同单元进行离散，那么有限元分析是可以进一步优化的。然后只需计算一个单元的刚度矩阵。总而言之，平衡方程的求解时拓扑优化问题中最耗时的。,-,26,3.1.2灵敏度分析,在拓扑优化问题中我们需要处理大量的设计变量，同时我们试图限制约束的数量，因此我们运用了伴随法来计算梯度。对于方程，使u满足平衡方程，也就是说,对于任意矢量都有：,（12）,-,27,方程两边对求导，得：,如果其中伴随变量应满足伴随方程，,我们可以获得如下输出位移的简单表达式,（13）,（14）,（15）,（16）,其中刚度矩阵K满足式（8）,-,28,3.1.3优化算法,计算机所要完成的一个最大的工作就是处理大量的设计变量，首先选择的是优化准则法，但是数学规划算法较灵活，这点对于本章中讨论的问题是很重要的。正如之前提到的那样，拓扑优化设计中有大量的设计变量，并有适量的约束条件，有一种通用的算法叫做MMA，即移动渐进法，它适用于大规模的拓扑优化问题。对于复杂的拓扑优化问题，MMA方法具有更好的适应性，因而MMA方法更适于处理具有多约束和复杂目标函数的优化问题，MMA方法没有显示的设计变量迭代格式，而是通过求解一系列凸的子优化问题来获得新的设计变量。移动渐进法以及相关的方法，如序列线性规划法（SLP）和序列二次规划法（SQP）处理一系列近似的子问题。子问题是由当前迭代点的灵敏度信息所构造的，在移动渐进法中，这些子问题是分离的，并且是凸的。,-,29,3.2较优点,在拓扑优化设计的计算方案实行之后，易发现额外的问题就会出现。第一，如果在分析单元中运用低阶单元，那么结果就会出现棋盘格式，此外，改进的网格会产生巨大的影响，并且会为了使在设计中包括最优点而改变设计。,3.2.1几何尺寸控制,另一个与0-1规划有关的严重问题是没有一种方法可以求解连续设计问题，这不仅是一个严重的理论缺点，也对计算结果的有限单元网格有影响。网格依赖性的物理解释是通过引入越来越好的规模，设计空间会扩展。获得网格独立结果的方法是限制几何变量。已经提出了几种方法来限制几何设计变量，这些变量是由材料分配法产生的。因为这种方法运用了网格表示，所以在图像处理方面有多种解释也并不奇怪。,-,30,有一系列的方法可以限制设计的几何变量，如添加额外的约束来限制密度分配的尺寸梯度。这可以加周长约束或是在梯度的Lq规范上加约束，无论在哪种情况下，都有必要通过实验的方法来获得适当的约束值。另一种方法是在密度域梯度上强加逐点限制，此时的约束值有快速几何意义，实行起来可能会有问题，但是可以通过MMA中的内点概念或是通过移动限制策略来处理。限制网格表示设计中的几何变量可以通过多种方法，最流行的方法是在图像处理时运用过滤器，这样就可以在刚度矩阵中用过滤密度来处理，式（9）中的平衡约束可以改进为如下形式：,（17）,-,31,其中H是的过滤。这可以是过滤半径为的线性过滤器，由此单元e的改进密度为：,（18）,规范化的权重因子被定义成：,（19）,其中,（20）,-,32,在该表达式中，rmin是滤波区域的控制半径，保证优化结果中杆状单元的半径不小于rmin,dist(e,k)表示相邻单元e、k的中心距离，卷积权重在过滤区域外为零，且单元k的权重随着与单元e之间的距离线性衰退。过滤的意思是单元e的刚度取决于相邻单元e的密度，过滤可以使密度曲线光滑，具有连续性，同时也会导致密度域取双值，但是在“灰色”边界上刚度分配会比较模糊。在具体实施时，标准流程仍然适用，但是灵敏度信息需要根据重新定义的刚度矩阵而有所改进（也就是说关于的输出位移的灵敏度与相邻单元的信息有关）。需要注意的是，过滤器的使用并不需要额外的添加约束，而是限制梯度或是周长条约束。,-,33,另外一种直接过滤密度的问题是过滤优化问题的灵敏度信息，从计算经验来讲这也是中高效的保证网格独立性的方法。这种方法与模拟骨骼重构时或是分析软塑性材料时保证网格独立性是相似的，这种方法是将式（16）的单元灵敏度修改成：,（21）,这种过滤方式与式（18）非常相似，但与将过滤器H运用到灵敏度中是不同的，在优化算法过程中运用这种灵敏度与通过局部梯度约束来计算的方法是类似的。这种方法对CPU所花的时间要求很少，而且易于实现。当过滤半径接近于零，灵敏度收敛于初始灵敏度值；当过滤半径无限大时各单元灵敏度值相等，通过给定适当的，保证相邻域内单元灵敏度呈平滑变化，降低相邻域内单元密度值的波动幅度，达到消除棋盘格式的目的。,敏度过滤法:,-,34,3.2.2棋盘格式,在材料分配问题中必须要提到的一点就是棋盘格式问题。在某些问题中运用材料分配法来进行拓扑优化会产生棋盘补丁，在某些区域内，结构拓扑优化设计变量(如密度法中的伪密度、渐进法中的单元存在状态)在01两者之间变化，在优化结构中出现一种棋盘状的构形。这种现象是由于较差的有限元模型所导致的，比如说在均匀网格中材料的棋盘行式有一个刚度，这个刚度会大于其他任何可能的材料分配。棋盘格式与单元的类型、单元的划分、单元的弹性模量、与单元密度之间以及算法本身都有关系的。棋盘现象是可以避免的，之前提到的用于实现网格独立性的方法如果网格划分足够好的话也可以用来去除棋盘格式。,-,35,解决棋盘格式的方法最简单的方法是采用高阶有限单元代替低阶单元，通过增加单元自由度来克服这个问题。周长控制法(PerimeterControlMethod)是一种全局约束方法，它在优化问题中引入一个额外的周长约束。周长控制法的基本思想是：对于相同的孔洞面积，孔洞的数量越多，则所有孔洞的周长和越大。当设计结果中的孔洞数量增加时，容易出现棋盘格式。因此在优化模型中引入结构周长的上限约束PPmax。，通过限制孔洞总的周长和来间接地起到抑制棋盘格式的出现。,连续体结构拓扑优化问题中的周长定义为固体结构内外边界的总长度和：,-,36,3.局部密度斜率控制法(localdensityslopecontrol)主要对单元密度斜率的局部梯度引入约束来保证有限元求解的准确性。其约束条件为：,4.滤波方法(FilterMethod)滤波方法是一种简单适用的启发式算法，基于图像处理过程中的噪声过滤技术，过滤有线性和非线性形式。拓扑优化中主要使用线性形式中的基于卷积的过滤技术，可分为密度过滤技术和敏度过滤技术。敏度过滤技术是一种局部意义上的约束方法，它以过滤半径范围内各单元敏度的加权平均值代替原单元的敏度值。,-,37,还有一种数值不稳定现象为网格依赖(mesh-dependency)。网格依赖性是指利用不同单元的初始网格进行结构拓扑优化设计时，可能会产生不同的优化结果，且随着网格的剖分密度增加，优化结果的几何复杂性增加，几何尺寸逐步减小。网格细化时，可能会得到不同的局部最优解，导致网格依赖性现象的出现。该现象的避免也可以通过上述解决棋盘格式的方法来解决。,-,38,3.2.3铰链,当检查柔性结构的拓扑优化的结果时，结果并不是总是柔性的，反而存在无力矩作用，单节点的铰链连接，尤其是输出位移较大的情况，结构在铰链出会断裂，所以需要采取一些方法来避免这种情况。单节点连接的铰链是由于较差的计算模式所引起的，在一个Q4模式中，铰链是不易弯曲的，且应力变量模拟的较差，然而，使用高阶单元是结果位移的一部分，方程中应加入局部应力约束。只有之前提到的棋盘格式和网格独立性方案可以避免单节点连接的铰链。比如说如果结构中铰链的灵敏度足够大，那么梯度的过滤就不能避免铰链现象，或是局部梯度控制只能消除部分这样的问题，而且经常会导致中间密度出现铰链现象。,-,39,我们在这里要详细描述一下一种特殊的几何约束，这是由于铰链问题而提出的基于最小长度尺度的单调性（MOLE），在优化问题中加入了一个额外的约束，在满足约束的情况下，使最小长度尺度为零。此外，当只有一个约束使用局部梯度时，这种方法提供了一种类似的几何控制。MOLE方法就是如果沿着四个方向（水平、垂直、与水平夹角的方向）其密度值是单调的，或是不在窗口内的，则通过一个循环过滤窗口。该窗口的直径定义了设计问题中期望的最小长度尺寸。单调性可以通过观察一组真实序列来判断，即观察当且仅当下列等式成立时，x,y,z是否为单调的,在所有单元中添加该计算表达式，且其他方向上的结果也为零的话，则表示该区域构型满足给定尺寸限定。,-,40,4.拓展,4.1几何非线性,在线性有限元理论的框架中探讨机械设计问题时，我们在最大化位移时存在一些矛盾。因此对于所有的实际情况，应该用几何非线性有限元分析方法来建立模型。假设应变很小，并且材料的非线性可以被忽略，直接应用非线性有限元分析方法可以得到如下平衡：,（22）,这里R是用格林-拉格朗日应变(Green-Lagrange)和皮奥拉基尔霍夫(Piola-Kirchhoff)应力表示的平衡余项，我们通过标准的SIMP关系假设它们满足线性的胡克定律。我们发现这个有限元平衡方程（22）在牛顿拉夫申法下是递增的或者处于一个负载变动幅度内，而且两种可能都要求切线刚度矩阵的测定：,（23）,-,41,在这种非线性建模形式下，我们的机械设计问题的大位移规划可以表示成：,（24）,-,42,输出位移的灵敏度可以在第八章这方面的专题论述中找到，并且应用伴随法我们将方程（16）修改为,这里是伴随负荷问题的解,伴随负荷问题在当前设计和相应的位移上使用了切线刚度矩阵。有了这些发展，现在我们可以像线性情况一样应用标准优化步骤。,（25）,（26）,-,43,4.1.1非线性建模的重要性,应用几何非线性有限元建模对机械系统是非常重要的。如果一个机械是用线性分析方法来设计，那在用大位移方法对它进行分析时会表现得有所不同。非线性建模在大多情况下会得到准确的结果，但是对于大位移机械就不一定。见图6.,4.1.2计算问题,每个新的牛顿-拉夫申平衡迭代之前的拓扑迭代所得到的位移解，可以大大节省非线性有限元分析的计算量。尤其对于优化过程中的渐近收敛而言。数值实验表明切线刚度矩阵在拓扑优化过程中能变成不定的乃至负定的，破坏了收敛性。这与有最小或者接近最小刚度的低密度元的严重变形有关。因为这样的元素是无效的，它们的性能不应该影响这个结构响应，所以应该采用避免的方案。一种方案是忽略在被无效元素包围的节点处的迭代求解收敛性。另一种方案，可以选择从这个可设计区域中删除最低密度元。然而，元素的删除对优化过程和本应被包括的材料再现的可能性都是有害的。这个可以基于类似过滤一样的方法。,-,44,图6：,-,45,4.2支承结构的设计,对柔性机构进行设计时，作用点和支撑的数量在建模时是固定的，但是作为优化的一部分，我们可以从一个支撑的引入过程中获得更进一步的改进。在这样一个构想中我们能应用拓扑设计概念，并建立一个允许严格赋值的或者在一个支撑可设计区域中每个元素都没有支撑的问题。我们把这个整数类型问题转换成连续性问题，通过引入一个元素支撑设计变量和一个对角线上有较大值的对角元支撑刚度矩阵，如此我们得到了一个组合的总体刚度矩阵（对于线性分析情况）：,是支撑设计变量，它的下界，我们作如下定义：,-,46,这里q是对应于SIMP方法中刚度变量的指数p的惩罚因子。对拓扑设计问题，总支撑区域S上的一个边界也被引入（对机械设计而言这个边界不是很重要），我们可以写一个组合的材料和支撑分布问题如下,（27）,-,47,图7：,-,48,5.题目的变化,5.1.数学规划问题,到现在为止出现的用于材料分布问题上的拓扑设计方法是用连续变量把问题转变成一个标准尺寸计算问题，然后标准嵌套格式来处理。标准嵌套格式往往用在结构优化上。以下列出对优化问题可以选择的数学规划建模方法。,5.1.1同时分析与设计方法,用同时分析与设计的方法，可以直接解决（9）中的问题，并且既可以用这个数学规划代码来寻找最优化的，又可以寻找相关的位移。优化代码可以直接处理平衡约束。这样优化问题的尺寸增大了。同时分析与设计方法的很多发展在今天的文献中被称作偏微分方程（PDE）约束的最优化或者称作有平衡约束（MPECs）的数学规划问题。,-,49,5.1.2混合整数规划,同时分析与设计方法的一个特征是可以为0。在同时分析与设计方法中刚度矩阵不要求是非奇异矩阵。,如果我们用另外一组代表元素应力的变量s来重写原始0-1规划的问题（2），它将是如下形式：,-,50,模型中B,和是已定义的矩阵，其中也包括了一些冗余位移约束。在（28）中只有第二组约束是双线性，它是和位移约束上的整数约束条件的组合形式，这种形式可以分解成线性约束。因此存在数字和可以使问题（28）与以下问题等价:,（28）,-,51,（29）,-,52,模型中有相当一部分的额外约束。这个问题虽然有混合整数和连续变量，但已逐渐成为一个线性规划问题。这意味着我们可以采用一些方法来获得全局最优设计。仅仅相当小范围的问题能被使用一个像CPLEX一样的代码来直接解决，之后这些就可以作为基准点的例子用在其他技术上。在探索（29）的变体上的更深入的工作将减少一种需要用更多的良性行为进行的计算的复杂性。,-,53,5.1.3应力约束,在SIMP的框架下给拓扑优化问题添加应力约束有许多难题。首先，应力约束的建模是非直接的。但是和微结构建模相比照，存在一个合理的约束以形式,表示。这个约束的依据是冯米赛斯（vonMises）等效应力和一个应力极限。应力约束组依赖于设计变量的值。这种效应可以被转移,（30）,（31）,-,54,但是，结果表明如果应力约束被直接应用到优化设计中的嵌套公式中，将给基于梯度的算法带来严重的问题。这种现象通常被称为应力“单一”问题。应力约束问题多半与桁架结构有关，我们经常使用一个约束松弛方案，但是也会带来麻烦。如果应用原始的0-1规划，那么这个应力约束的建模就进展顺利，此外，（29）的混合整数LP格式也能被扩展到覆盖应力约束。,-,55,图8：,-,56,到目前为止所描述的拓扑设计方法与一个基于光栅的设计描述和一个基于梯度的为优化迭代而进行的数学规划方法一起并存。针对0-1规划和插入的灰阶模型，除了选择性的优化方法外，已经提出了许多来维持这个基本的光栅概念方法。这些方法往往组合了全应力设计，OC方法，元素去除，或者结构增长，时常性的应用敏感性的分析等来作为更新方案的一个基础。包含“演化”字样的方法在这里不能与遗传算法相混淆。,5.2铰接机构的设计,我们到现在为止所遇到的设计问题都是与柔顺机构相关，它们从组成杆件的灵活性中获得它们的活动性。在这里我们应用材料分配技术来寻找已有设计条件下的最优拓扑方法。有个可选方案是使用一个桁架作为代表。这个代表需要能展示机构的一个中间等级，就是既有桁架杆件的灵活性，也有桁架节点处的枢纽。,5.1.4其他演算方法,-,57,图9：,-,58,运动系统图被广泛应用在传统机构设计中，它通过桁架杆件和销接头来展示。在一个桁架地面结构代表中也可能使没有杆件变形问题的大位移实现。为了正确的设计有全部链接点活动性的真铰链机构，自由度（DOF）的观念至关重要。（由于柔性机构没有真铰点，所以自由度观念对于柔性机构设计是一个非重要特征。）因此，设计方程式必须包括与整数型内在相关的附加约束。被包括的自由度约束能基于麦克斯韦规则。这就要求每个次结构不能包含冗余元素，并且对于一个地面结构必须用一种正确的方法来数拉杆的数目。例如，通过引入附加的约束或者制定正确的计算流程。对于设计问题的结果，可以使用多种技术来放宽各种整数约束条件，或者可以在问题的整数形式上直接应用分支与界定法。,-,59,5.3水平集方法,水平集方法是拓扑设计的一个新方法，在自由建模和运动表面问题上已有应用。水平集方法使用边界隐定义。在大多数应用中，边界的更新是基于被称为哈密顿-雅可比的等式，而水平集本身没有被参数化。反过来，这个等式的驱动项使用外形灵敏度信息。这使得优化方法类似于最陡坡度法。如果直接对水平集进行参数化，那么就可以使用一般数学规划方法，但是它的几何建模将更复杂。水平集方法允许拓扑方法的一个变动，因为水平集函数在迭代优化过程中是可以变化的。另一种可以考虑拓扑方法变化的可能是泡沫法。这个方法是用来计算无限小拓扑学函数的变化的灵敏度，这些变化取决于偏微分方程的解。在这里，一个拓扑方法的变化意味着空洞的出现或关闭。这个方法与形状敏感性分析密切相关。这个敏感性分析不能应用在一个标准数学规划结构中，因为这个设计方法没有基本参数空间；取而代之的是可以采用材料切除的方法或者可以把这些信息与水平集方法联系起来。,-,60,图10：,-,61,6从理论到产品,6.1.拓扑设计的工业应用,基于计算机的拓扑优化方法在1988年被第一次引入，用于结构组件的最低重量的设计。从那以后，拓扑优化方法在学术、工业上都得到了广泛的流行，现在被用来减轻重量和优化汽车、飞机、太空交通工具和其他结构体的运行。今天，许多商业软件系统为工业提供拓扑最优化，在日常设计工作中拓扑学设计的一个主要用户是汽车工业，这个行业的大多数主要制造商和他们的二级供应商现在都在使用这个方法学。最近在航空学上应用拓扑设计的一个例子是为新大型客机设计整体加强机械肋，这些肋是用在空中客车A380内侧的内固定前缘上的。用了两种类型的软件，一个是类似于这里所描述的方法的，另外一个也包括了对设计有帮助的材料类型信息。基于这些结果和相当一部分的工程说明而发明的一种肋板新型结构，与传统类型相比在重量上减少了40%，并且它的蜂窝状/合成物的设计是很有竞争力的。,-,62,图11：,-,63,6.2.纳米光子学,6.2.1.波的传播问题,许多不同的波传播问题的控制方程是标量赫尔姆霍茨方程式,这里，场u（二维或三维）和材料常数有不同的物理意义。对于平面横向电磁偏振波的情况（TE模式），u是电场，A是绝缘体常数的倒数，B是真空介电常数和真空磁导率的乘积，而对于其他偏振（横向电磁波-TM模式），u表示了磁场值，A=1，B等于绝缘材料值，真空介电常数和真空磁导率的乘积。,（32）,-,64,对于光子晶体的拓扑优化，一个p=1的SIMP模型足够可以将设计方法参数化，因为在很多应用中最大对比度提供了最好的波禁闭。但在某些情况下有中间密度的“灰色解”会出现。这时，通过在其中一个材料相中引入一些人工阻尼，或者引入一个惩罚性阻尼术语（叫“pamping”），就可以得到一个0-1设计方法。对优化的目标函数，我们能用坡印廷向量来使波能向具体输出区域的传输达到最大化；将坡印廷向量在一个时间周期内平均化，即可有以下计算：,这里是测得的一条能量流的贯穿线，表示复数的实数部分。,（33）,-,65,6.2.2一个光子学Z形弯道,平面的光子晶体是一个折射率可以周期调节的光学纳米材料，通过调节可以防止被称为光子能隙的特定波长范围的光的传播。线缺陷和其他间断点破坏了晶体的对称性，由此可以控制次波段的光在光子晶体中的传播。故基于能带隙效应的光子组件可能比传统集成光学器件的一些空间尺寸要小。设计构想如下：光以波的形式传播，从像玻璃这样透明的媒介中传播将没有损失。然而，如果在玻璃结构中打上周期性排列的气孔，孔距比光波波长稍小，特定频率的波将不再能沿着玻璃传播，这种作用能被用来制造纳米级的镜子，或者它能被用在光学芯片中来导光。后者通过填充一些通道形式的气孔来实现。这些气孔就如图12中所看到的对一个Z形弯道一样。因为光线不能在多孔结构中传播，它会停留在通道中，并且能被导入尖角周围，也能用其他方法操纵。这样的光子晶体结构在可以制作成光学器件和计算器。,-,66,上面所提到的光波通过光子晶体的无损