高考数学 8.5曲线与方程配套课件 理 新人教A版.ppt

第五节曲线与方程,三年4考高考指数:1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.理解数形结合的思想.,1.求点的轨迹、轨迹方程是高考的重点;一般用直接法、定义法或相关点法求解,所求轨迹一般为圆锥曲线；2.经常在解答题的第一问中出现，属中低档题目；有时也在选择、填空题中出现.,1.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:（1）曲线上点的坐标都是_；（2）以这个方程的解为坐标的点都是_.那么，这个方程叫做_，这条曲线叫做_.,这个方程的解,曲线上的点,曲线的方程,方程的曲线,【即时应用】(1)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲线的方程吗？提示：不一定是.因为只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方程的曲线.,(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，那么该曲线是这个方程的曲线吗？提示：不一定是.因为只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程.,(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是_.【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或x+y-1=0，它们表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为两条直线.答案：两条直线,2.求曲线方程的基本步骤,【即时应用】(1)已知点a(-2,0)、b(-3,0)，动点p(x,y)满足则点p的轨迹方程是_.(2)已知abc的顶点b(0,0)，c(5,0)，ab边上的中线长|cd|=3,则顶点a的轨迹方程为_.,【解析】（1）由题意得=(-2-x,-y),=(-3-x,-y)，所以=(-2-x,-y)（-3-x,-y）,又因为=x2+1,所以(-2-x,-y)(-3-x,-y)=x2+1,化简得：y2+5x+5=0.,（2）设点a(x,y)，因为b(0,0)，所以ab的中点d()又c(5,0)|cd|=3所以化简得：(x-10)2+y2=36.又abc中的三点a、b、c不能共线，所以去掉点(4,0)和(16,0).答案：（1）y2+5x+5=0（2）（x-10）2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0),直接法求轨迹方程【方法点睛】1.直接法如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.,2.运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.,【例1】（1）已知点m、n为两个定点，|mn|=6,且动点p满足，求点p的轨迹方程.（2）已知直角坐标平面上的点q(2,0)和圆c：x2+y2=1,动点m到圆c的切线长与|mq|的比等于常数(0)，求动点m的轨迹方程.,【解题指南】(1)先建立平面直角坐标系，设出动点p的坐标，依据得出轨迹方程；(2)可设出动点m的坐标，依据动点m到圆c的切线长与|mq|的比等于常数(0)即可得出方程.,【规范解答】(1)以点m、n所在的直线为x轴，mn的中点o为坐标原点，建立平面直角坐标系，则m(-3,0)、n(3,0),设p(x,y)，则=(-3-x,-y)，=(3-x,-y),=(-3-x,-y)(3-x,-y)，又因为,所以(-3-x,-y)(3-x,-y)=6，化简整理得：x2+y2=15.,（2）设直线mn切圆c于n点，则动点m的集合为：p=m|mn|=|mq|，因为圆c的半径|cn|=1,所以|mn|2=|mc|2-|cn|2=|mc|2-1，设点m的坐标为m(x,y)，则化简整理得：(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0).,【互动探究】本例（2）中的条件不变，求动点m的轨迹.【解析】由例题解析可知：曲线的方程为：(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0，因为0,所以当=1时，方程化为4x-5=0,它表示一条直线;当1时，方程化为：它表示圆心为(,0),半径为的圆.,【反思感悟】1.从两个题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程；2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.,【变式备选】在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（-1，1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于-，求动点p的轨迹方程.【解析】因为点b与点a（-1，1）关于原点o对称，所以点b的坐标为（1，-1），设点p的坐标为（x,y)，由题意得化简得x2+3y2=4(x1)，故动点p的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).,定义法求轨迹方程【方法点睛】定义法求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是理解解析几何中有关曲线的定义.,【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.,【例2】（1）(2012绍兴模拟）已知定点f1（-2，0），f2（2，0），n是圆o：x2+y2=1上任意一点，点f1关于点n的对称点为m，线段f1m的中垂线与直线f2m相交于点p，则点p的轨迹是()（a）椭圆（b）双曲线（c）抛物线（d）圆(2)已知圆c:x2+y2+6x-91=0及圆内一点p(3,0),则过点p且与圆c内切的动圆圆心m的轨迹方程为_.(3)已知动圆p与圆c1:(x+5)2+y2=9和圆c2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心p的轨迹方程.,【解题指南】（1）作出图形，利用已知条件转化求解.(2)由两圆内切可得出两圆圆心距与两圆半径差之间的关系|cm|=10-r(r为动圆m的半径)，再注意|pm|=r，从而有|cm|+|pm|=10，由椭圆的定义得出所求轨迹为椭圆；(3)由动圆p与圆c1、圆c2均外切得出|c1p|=r+3，|c2p|=r+1，由此得到|c1p|-|c2p|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.,【规范解答】（1）选b.如图所示.连接pf1、on.由f1、m关于n对称，故n为f1m中点，又o是f1f2中点，故on是f1f2m的中位线，,|f2m|=2|on|=2，由题意可知|pm|=|pf1|，又|pm|-|pf2|=|f2m|，故|pf1|-|pf2|=|f2m|=2，当p点在y轴左侧时有|pf2|-|pf1|=2，又|f1f2|=42，p点的轨迹是以f1，f2为焦点，实轴长为2的双曲线.,(2)因为圆c:x2+y2+6x-91=0的方程可化为：(x+3)2+y2=100，所以圆心坐标为c(-3,0)，半径为10；设动圆圆心m的坐标为m(x,y)，半径为r，因为圆c与动圆m内切，所以|cm|=10-r，又因为动圆过点p，所以|pm|=r，因此|cm|+|pm|=106=|cp|，所以动圆圆心m的轨迹为椭圆，其中长轴长为10，焦距等于6，所以椭圆方程为：即所求轨迹方程.答案：,（3）设动圆圆心p的坐标为p(x,y)，半径为r，因为动圆p与圆c1外切，所以|c1p|=r+3，又动圆p与圆c2外切，所以|c2p|=r+1，因此|c1p|-|c2p|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支（右支）.由圆c1:(x+5)2+y2=9和圆c2:(x-5)2+y2=1可知：c1(-5,0)、c2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹方程为,【互动探究】在本例（3）中：若动圆p与圆c2内切，与圆c1外切，则动圆圆心p的轨迹是什么？若动圆p与圆c1内切，与圆c2外切，则动圆圆心p的轨迹是什么？若把圆c1的半径改为1，则动圆圆心p的轨迹是什么？,【解析】因为动圆p与圆c1外切，所以|c1p|=r+3，又动圆p与圆c2内切，所以|c2p|=r-1；因此|c1p|-|c2p|=4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的右支.因为动圆p与圆c2外切，所以|c2p|=r+1，又动圆p与圆c1内切，所以|c1p|=r-3，因此|c1p|-|c2p|=-4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的左支.,因为动圆p与圆c1外切，所以|c1p|=r+1，又动圆p与圆c2外切，所以|c2p|=r+1，因此|c1p|=|c2p|，所以点p在c1c2的垂直平分线上，即所求轨迹为两定圆圆心连线的垂直平分线.,【反思感悟】1.本例（2）（3）题都是求轨迹方程，它们的共同特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨迹方程；2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论.,【变式备选】已知a(-,0)，b是圆f：(x-)2+y2=4（f为圆心）上一动点，线段ab的垂直平分线交bf于点p，求动点p的轨迹方程.,【解析】如图，连接pa.依题意可知|pa|=|pb|，,|pa|+|pf|=|pb|+|pf|=|bf|=2,p点轨迹为以a（-,0）,f(,0)为焦点，长半轴长为1的椭圆.其方程可设为又c=,a=1,b2=a2-c2=.故p点的轨迹方程为x2+y2=1.,相关点(代入)法求轨迹方程【方法点睛】相关点（代入）法动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点p(x,y)却随另一动点q(x,y)的运动而有规律地运动，而且动点q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x、y表示成x、y的式子，再代入q的轨迹方程，整理化简即得动点p的轨迹方程.,【提醒】用代入法求轨迹方程是将x、y表示成x、y的式子，同时注意x、y的限制条件.,【例3】设f(1,0)，点m在x轴上，点p在y轴上，且，当点p在y轴上运动时，求点n的轨迹方程.【解题指南】设点n，m，p的坐标分别为n(x,y)，m(x,0)，p(0,y),可由已知条件得出x、y与x、y之间的关系，同时得到x、y满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.,【规范解答】设m(x,0),p(0,y)，n(x,y),由，得(x-x,y)=2(-x,y),所以又因为=(x,-y)，=(1,-y),所以(x,-y)(1,-y)=0,即x+y2=0,所以-x+()2=0，即y2=4x.因此所求的轨迹方程为y2=4x.,【反思感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x、y之间的关系式及x、y与x、y之间的关系；2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.,【变式训练】设线段ab的两个端点a、b分别在x轴、y轴上滑动，且|ab|=5，则点m的轨迹方程为()（a）=1（b）=1（c）=1（d）=1,【解析】选a.设m(x,y)，a（x0,0）,b(0,y0),由由|ab|=5，得(x)2+(y)2=25,化简得，故选a.,【满分指导】求轨迹方程主观题的规范解答【典例】（14分）(2011广东高考）在平面直角坐标系xoy中，直线l:x=-2交x轴于点a.设p是l上一点，m是线段op的垂直平分线上一点，且满足mpo=aop.（1）当点p在l上运动时，求点m的轨迹e的方程；,（2）已知t（1，-1），设h是e上的动点,求|ho|+|ht|的最小值，并给出此时点h的坐标；（3）过点t（1，-1）且不平行于y轴的直线l1与轨迹e有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围.,【解题指南】（1）由已知可得，动点m到直线l与到原点o的距离相等，或点m在x轴负半轴上，从而可求出轨迹方程；（2）利用抛物线的定义，其上的点到准线的距离等于到焦点的距离，可得答案；（3）由几何性质可得结论.,【规范解答】（1）如图所示，连接om，则|pm|=|om|,mpo=aop,动点m满足mpl,或m在x轴的负半轴上，设m(x,y)，,当mpl时，|mp|=|x+2|,|om|=|x+2|=化简得y2=4x+4(x-1)2分当m在x轴的负半轴上时，y=0(x-1).综上所述，点m的轨迹e的方程为y2=4x+4(x-1)或y=0（x-1）4分,（2）由(1)知m的轨迹是顶点为(-1,0)，焦点为原点的抛物线和y=0(x-1).若h是抛物线上的动点，过h作hnl于n，由于l是抛物线的准线，根据抛物线的定义有|ho|=|hn|，则|ho|+|ht|=|hn|+|ht|,当n，h，t三点共线时，|hn|+|ht|有最小值,|tn|=3，求得此时h的坐标为(-,-1).6分若h是y=0(x-1)上的动点,显然有|ho|+|ht|3,综上所述，|ho|+|ht|的最小值为3,此时点h的坐标为(-,-1)8分,（3）如图，设抛物线顶点b（-1,0），则直线bt的斜率kbt=-,点t(1,-1)在抛物线内部,过点t且不平行于x,y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹e的交点个数分以下四种情况讨论：10分,当k-时，直线l1与轨迹e有且只有两个不同的交点,当-k0时，直线l1与轨迹e有且只有三个不同的交点12分当k=0时，直线l1与轨迹e有且只有一个交点当k0时，直线l1与轨迹e有且只有两个不同的交点.综上所述，直线l1的斜率k的取值范围是(-,-(0,+).14分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011广东高考）设圆c与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y=0相切，则圆c的圆心轨迹为()(a)抛物线(b)双曲线(c)椭圆(d)圆【解析】选a.由题意知圆c的圆心到点（0，3）与到直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知圆c的圆心轨迹为抛物线，故选a.,2.(2012浙江名校联考）已知正三棱锥sabc，若点p是底面abc内一点，且p到三棱锥sabc的侧面sab、侧面sbc、侧面sac的距离依次成等差数列，则点p的轨迹是()（a）一条直线的一部分（b）椭圆的一部分（c）圆的一部分（d）抛物线的一部分,【解析】选a.设p到面sab，面sbc，面sac的距离分别为h1,h2,h3,则h1+h3=2h2,设三棱锥sabc的高so=h,由sabc为正三棱锥，三个侧面面积相等不妨设为s，下底面面积为s，,s,a,p,o,b,c,由vsabc=vpsab+vpsbc+vpsac，sh=sh1+sh2+sh3=s(h1+h2+h3)=3sh2,h2=(定值)，即p点到面sbc的距离为定值，故p应在底面abc内平行于面sbc的一条直线上（abc内部的部分），故选a.,3.(2012烟台模拟）已知圆o的方程为：x2+y2=4，过圆o上一动点m作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为