高中数学 2.11变化率与导数、导数的计算课件 文 新人教A版.ppt

第十一节变化率与导数、导数的计算,1.导数的几何意义是考查重点.2.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，常在考查导数应用的同时进行考查.3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中会渗透导数的运算.,1.导数的定义及几何意义(1)定义：函数在x0处的平均变化率当x0时的极限(即瞬时变化率)叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0)或y|x=x0，即_.(2)几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,y0)处的_.,切线的斜率,【即时应用】(1)思考：f(x)与f(x0)有何区别？提示：f(x)是x的函数，f(x0)只是f(x)的一个函数值.(2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是_.【解析】y=2x，曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2.答案：2,(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e)处的切线方程是_.【解析】f(e)=|x=e=，所求的切线方程为y-f(e)=f(e)(x-e)，即y-lne=(x-e)，化简得x-ey=0.答案：x-ey=0,2.基本初等函数的导数公式(1)(c)=_；(c为常数)(2)(x)=_；(q*)(3)(sinx)=_；(4)(cosx)=_；(5)(ex)=_；(6)(ax)=_(a0)；(7)(lnx)=_；(8)(logax)=_(a0且a1).,0,x-1,cosx,-sinx,ex,axlna,【即时应用】(1)y=x-5，则y=_.(2)y=4x，则y=_.(3)y=log3x，则y=_.(4)y=则y=_.答案：(1)-5x-6(2)4xln4(3)(4)0,3.导数的运算法则若y=f(x)，y=g(x)的导数存在，则(1)f(x)g(x)=_；(2)f(x)g(x)=_；(3)f(x)g(x)=_(g(x)0).,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),【即时应用】(1)y=x3+sinx，则y=_.(2)y=x4-x2-x+3，则y=_.(3)y=(2x2+3)(3x-2)，则y=_.(4)f(x)=则f(x)=_.【解析】(1)y=(x3)+(sinx)=3x2+cosx.(2)y=4x3-2x-1.,(3)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.或：y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.(4)f(x)=答案：(1)3x2+cosx(2)4x3-2x-1(3)18x2-8x+9(4),导数的运算【方法点睛】求函数的导数的方法(1)总原则：先化简解析式，再求导.(2)具体方法连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.根式形式：先化为分数指数幂，再求导.复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.,【例1】(1)(2011江西高考)若f(x)=x2-2x-4lnx，则f(x)0的解集为()(a)(0,+)(b)(-1,0)(2,+)(c)(2,+)(d)(-1,0)(2)求下列函数的导数.y=x2sinx；y=【解题指南】(1)首先求出f(x)的导数，再解分式不等式.(2)利用积的导数法则；利用商的导数法则或先化简分式再求导.,【规范解答】(1)选c.f(x)=2x-2-0,即0,x0,(x-2)(x+1)0,x2.(2)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.方法一：y=方法二：y=y=1+(),即y=,【互动探究】把本例(2)中函数改为y=如何求导？【解析】,【反思感悟】准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则，根据所给函数解析式的特点，确定求导方法.,【变式备选】求下列函数的导数：(1)y=(2)y=3xex-lnx+e【解析】(1)y=y=(2)y=3xexln(3e)-,导数的几何意义【方法点睛】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点a(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：k=f(x0)；(2)已知斜率k，求切点a(x1，f(x1)，即解方程f(x1)=k；,(3)已知过某点m(x1,f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点a(x0，f(x0)，利用k=求解.【提醒】审题时注意所给点是否是切点.,【例2】(1)(2011湖南高考)曲线y=在点m(0)处的切线的斜率为()(a)(b)(c)(d)(2)(2011山东高考)曲线y=x3+11在点p(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()(a)-9(b)-3(c)9(d)15【解题指南】利用导数的几何意义，(1)可以直接求出切线斜率；(2)先求出切线方程，得到与y轴交点的纵坐标.,【规范解答】(1)选b.y=所以(2)选c.y=3x2，切线斜率为3,切线方程为y=3x+9，与y轴交点的纵坐标是9.,【互动探究】若把本例(2)中“在点p(1，12)处”改为“过点p(1，12)”其他条件不变，求此时切线与y轴交点的纵坐标.【解析】当p为切点时，由例题(2)知，切线与y轴交点的纵坐标为9.当p不是切点时，设切点坐标为(x0,y0)，则即解得x0=或x0=1(舍去)，切点为()，切线方程为y=与y轴交点的纵坐标为,【反思感悟】1.要体会切线定义中的运动变化思想，由割线切线，由两个不同的公共点无限接近重合(切点).2.利用导数的几何意义求曲线的有关切线问题时，一定要抓住切点的多面性：在曲线上、在切线上，该点处的导数是切线斜率.,【变式备选】函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kn*，若a1=16，则a1+a3+a5的值是_.【解析】由y=x2(x0)，得y=2x，所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：y-ak2=2ak(x-ak),当y=0时，解得x=,所以ak+1=,a1+a3+a5=16+4+1=21.答案：21,【易错误区】导数几何意义应用的易错点【典例】(2012杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+-9都相切，则a等于()(a)-1或(b)-1或(c)或(d)或7,【解题指南】因为点(1,0)不在曲线y=x3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y=ax2+-9相切求a的值.【规范解答】选a.设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03)，所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03，又(1,0)在切线上，则x0=0或x0=当x0=0时，由y=0与y=ax2+-9相切可得a=当x0=时，由y=与y=ax2+-9相切可得a=-1，所以选a.,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011重庆高考)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为()(a)y=3x-1(b)y=-3x+5(c)y=3x+5(d)y=2x【解析】选a.由y=-3x2+6x知,切线斜率为k=-3+6=3.所以切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.,2.(2012深圳模拟)已知f(x)=lnx(x0),f(x)的导数是f(x)，若a=f(7),b=f(),c=f()，则a、b、c的大小关系是()(a)cba.,3.(2012咸宁模拟)函数f(x)=mx3+(m+1)x2+x+2,若f(1)=18,则m=()(a)4(b)3(c)5(d)6【解析】选b.f(x)=3mx2+2(m+1)x+1,f(1)=3m+2m+2+1=18,m=3.,4.