高中数学 11.3二项式定理课件 理 新人教A版.ppt

第三节二项式定理,三年10考高考指数:,1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.,1.二项式定理,(a+b)n=_(nn*),tk+1=_,二项展开式中各项的系数为_,(k=0,1,2,n),它表示第_项,【即时应用】(1)(a+b)n展开式中，二项式系数(k=0,1,2,n)与展开式中项的系数_(填：“一定”，“不一定”)相同.(2)(3)的展开式中，x3的系数等于_.,【解析】(1)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指它只与各项的项数有关，而与a,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,b所代表的项有密切关系.(2)原式=(1-2)11=-1.,(3)的通项为令63，得r2，30，故x3的系数为15.答案：(1)不一定(2)-1(3)15,2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即_.(2)增减性：二项式系数当k_时，二项式系数是递增的；当k_时，二项式系数是递减的.,(3)最大值:当n是偶数时，中间的一项_取得最大值；当n是奇数时，中间两项_和_相等，且同时取得最大值.,【即时应用】(1)二项式的展开式中，系数最大的项为第_项.(2)若展开式中第6项的系数最大，则不含x的项等于_.,【解析】(1)因为4n+1为奇数，所以展开式有4n+2项，则系数分别为所以系数最大的项为第2n+1项.(2)由已知，得第6项应为中间项，则n=10.令30-5r=0，得r=6.答案：(1)2n+1(2)210,3.各个二项式系数的和(1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于_，即;(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即,2n,【即时应用】(1)若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为_.(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4等于_.(3)已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_,【解析】(1)依题意，得即n(n1)30(其中n2)，由此解得n6，因此展开式中所有项的系数之和为(2)由题意，可知令x1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a43(1)4256.(3)分别令x1、x1,得a0a1a2a3a4a50,a0a1a2a3a4a532，由此解得a0a2a416，a1a3a516，所以(a0a2a4)(a1a3a5)256.答案:(1)(2)256(3)-256,求二项展开式中特定的项或特定项的系数【方法点睛】1.理解二项式定理应注意的问题(1)tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心,以防出错.,2.求特定项的步骤(1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且rn)；(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项.,【例1】(1)(2012宁波模拟)在的展开式中，系数为有理数的项共有_项.(2)(2012烟台模拟)展开式中的常数项为_.(3)(2012武汉模拟)在的展开式中，系数绝对值最大的项是第几项？【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数.(2)可将括号内的三项分成两组看成两项，再利用二项式定理求解.也可直接展开所给式子，相应求解.,(3)设第r+1项系数的绝对值最大，据此可构造含有r的不等式组，求出r的范围后，再求项数.【规范解答】(1)要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0r20且rn知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数.答案:6,(2)方法一：它的展开式的通项为：(0r5).当r=5时，当0r5时，的通项公式为(0k5-r).0r5且rz,r只能取1或3,相应的k值分别为2或1，即所以，其常数项为,方法二：由于本题只是5次展开式，也可以直接展开即由的对称性知，只有在的偶次幂中，其展开式才会出现常数项，且是各自的中间项.所以，其常数项为：答案:-51,(3)设第r+1项系数的绝对值最大，则即：5r6，故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.,【互动探究】在本例(3)中，条件不变，求系数最大的项和最小的项？【解析】由本例(3)知，展开式的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为：系数最小的项为：,【反思感悟】求二项式n次幂的展开式中的特定项，一般利用结合律，借助于二项式定理的通项求解；当幂指数比较小时，可以直接写出展开式的全部或局部.,【变式备选】已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)求证：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项.【解析】由题意得即n29n80，所以n8或n1(舍去).所以(0r8，rz).,(1)若tr1是常数项，则即163r0，因为rz，这不可能，所以展开式中没有常数项.(2)若tr1是有理项，当且仅当为整数，又0r8，rz，所以r0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是t1x4，,二项式系数和或各项的系数和【方法点睛】赋值法的应用(1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,cr)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a,br)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.,(2)若f(x)=a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为偶数项系数之和为【提醒】“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意.,【例2】设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.(1)求a0;(2)求a0+a1+a2+a3+a4;(3)求a0+a2+a4;(4)求a1+a3;(5)求a1+a2+a3+a4;(6)求各项二项式系数的和.【解题指南】本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和或部分项系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决.,【规范解答】(1)令x=0,得a0=(-1)4=1.(2)令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.(3)令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4=(-3-1)4=256,而由(2)知a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.两式相加，得a0+a2+a4=136.,(4)由(2)、(3)得(a0+a1+a2+a3+a4)-(a0+a2+a4)=a1+a3=-120.(5)令x=0得a0=1，亦得a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=16-1=15.(6)各项二项式系数的和为,【反思感悟】1.在求解本例第(5)题时容易忽略a0的值导致错解.2.运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.,【变式训练】1.已知(1x)(1x)2(1x)na0a1xa2x2anxn，且a1a2an129n，则n_.【解析】易知an1，令x0得a0n，所以a0a1an30.又令x1，有2222na0a1an30，即2n1230，所以n4.答案:4,2.已知(1x)na0a1xa2x2anxn，若5a12a20，则a0a1a2a3(1)nan_.【解析】由二项式定理，得a1代入已知得5nn(n1)0，所以n6，令x1得(11)6a0a1a2a3a4a5a6，即a0a1a2a3a4a5a664.答案:64,【变式备选】设(x2-x-1)50=a100 x100+a99x99+a98x98+a0.(1)求a100+a99+a98+a1的值；(2)求a100+a98+a96+a2+a0的值.【解析】(1)令x=0,得a0=1;令x=1,得a100+a99+a98+a1+a0=1,所以a100+a99+a98+a1=0.(2)令x=-1,得a100-a99+a98+-a1+a0=1,而a100+a99+a98+a1+a0=1,+整理可得a100+a98+a96+a2+a0=1.,二项式定理的综合应用【方法点睛】二项式定理的综合应用(1)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1+x)n1+nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.,(3)利用二项式定理证明不等式:由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.,【例3】(1)求证：46n5n19能被20整除.(2)根据下列要求的精确度，求1.025的近似值.(精确到0.01).【解题指南】(1)将6拆成“5+1”，将5拆成“4+1”,进而利用二项式定理求解.(2)把1.025转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可.,【规范解答】(1)46n5n194(6n1)5(5n1)4(51)n15(41)n120(5n1)，是20的倍数，所以46n5n19能被20整除.(2)1.025=(1+0.02)5=当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.,【互动探究】将本例(2)中精确到0.01改为精确到0.001，如何求解?【解析】由本例(2)知，当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和,1+0.10+0.004+0.00008=1.10408.近似值为1.104.,【反思感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(ab)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.,【变式备选】1.除以9，得余数是多少？【解析】(i)当n为奇数时原式=除以9所得余数为7.,(ii)当n为偶数时原式=除以9所得余数为0，即被9整除.,2.求0.9986的近似值，使误差小于0.001.【解析】0.9986(10.002)616(0.002)115(0.002)2(0.002)6.因为且第3项以后的绝对值都小于0.001，所以从第3项起,以后的项都可以忽略不计.所以0.9986=(1-0.002)61+6(-0.002)=1-0.012=0.988.,【易错误区】对展开式中的项考虑不全面致误【典例】(2011新课标全国卷)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()(a)-40(b)-20(c)20(d)40【解题指南】用赋值法求各项系数和，确定a的值，然后再求常数项.,【规范解答】选d.令x=1，可得的展开式中各项系数和为1+a，1+a=2，即a=1.的通项公式的展开式中的常数项为,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011陕西高考)(4x-2-x)6(xr)展开式中的常数项是()(a)-20(b)-15(c)15(d)20【解析】选c.令12x-3xr=0，则r=4，所以故选c.,2.(2011山东