中学生标准学术能力诊断性测试（11月）试卷 理科数学（PDF版）

第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年年 11 月测试月测试 理科理科数学试卷数学试卷（一卷）（一卷） 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合1,1,3,5,7,9U = ,1,5A=,7 , 5 , 1=B ，则() U CAB = A3,9 B1,5,7 C1,1,3,9 D1,1,3,7,9 2已知空间三条直线nml,，若l与m垂直，l与n垂直，则 Am与n异面 Bm与n相交 Cm与n平行 Dm与n平行、相交、异面均有可能 3复数z满足31+=zz，则z A恒等于 1 B最大值为 1，无最小值 C最小值为 1，无最大值 D无最大值，也无最小值 4某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位： 2 cm）是 A16 B32 C44 D64 5已知0+ yx，则“ 2 | 2 | 22yx yx +”是“0x”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6函数lncos(2 ) 2 yxx =的图像可能是 A B C D 7已知两个不相等的非零向量b , a，满足1=a，且a与ab的夹角为 60，则b的取值范围是 A 2 3 0， B 1 , 2 3 C +, 2 3 D()+，1 8已知随机变量的分布列为： x y P y x 则下列说法正确的是 A存在 x，y()1 , 0， 1 ( ) 2 E B对任意 x，y()1 , 0， 1 ( ) 4 E C对任意 x，y()1 , 0，( )( )DE D存在 x，y()1 , 0， 1 ( ) 4 D 9设函数( )dcxbxaxxf+= 23 (), , ,0a b c daR 且，若( )( )( )14433220=fff，则 ( )( )51ff+的取值范围是 A()10， B()21， C()3 , 2 D()4 , 3 10已知 21,F F分别为双曲线()001 2 2 2 2 =,ba b y a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，使得点 2 F到直线 1 PF的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是 A 2 5 1， B +， 2 5 C()51， D()+，5 11 如图， 在菱形 ABCD 中，60ABC=， E， F 分别是边 AB， CD 的中点， 现将ABC 沿着对角线 AC 翻折，则直线EF与平面 ACD 所成角的正切值最大值为 A2 B 3 21 C 3 3 D 2 2 （第 11 题图） 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 12已知数列 n a满足1 1= a，1 1 ln 1 += + n nn a aa，记 nn aaaS+= 21 ， t表示不超过t的 最大整数，则 2019 S的值为 A2019 B2018 C4038 D4037 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13在2 , 2上随机地取一个实数k，则事件“直线kxy =与圆()95 2 2 =+yx相交”发生的概率 为 14如图，在ABC中，ACAB ，32=BC，= 60A，ABC的面积 等于32，则角平分线AD的长等于 15已知数列 n a满足naa nn 215 1 =+ + ，其前n项和为 n S，若 n S 8 S恒 成立，则 1 a的取值范围为 16已知 P 为椭圆 C： 22 +1 43 xy =上一个动点， 1 F、 2 F是椭圆 C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处的切线距离为 d，若 12 24 7 PFPF=，则d = 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作题为必考题，每个试题考生都必须作 答第答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17（12 分）已知函数xxxfcos3sin)(= （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2） 在ABC中， 角, ,A B C所对的边分别是a,b,c， 若( )3f B =，3b= ， 求ABC 面积的最大值 18 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD/BC，BC=2AD， ADCD，PD平面 ABCD，E 为 PB 的中点 （1）求证：AE/平面 PDC； （2）若 BC=CD=PD，求直线 AC 与平面 PBC 所成角的余弦值 19(12 分) 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球，现从甲，乙 两个盒内各任取 2 个球 （1）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （2）设为取出的 4 个球中红球的个数，求的分布列和数学期望 20(12 分)如图，斜率为k的直线l与抛物线 2 4yx=交于A、B两点，直线PM垂 直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知()4,0P （1）求M点的横坐标； （2）求PAB面积的最大值 21（12 分）已知函数 x axx xf = ln )(，Ra （1）若函数)(xf有且只有两个零点，求实数a的取值范围； （2）设函数)(xf的两个零点为 21,x x，且 21 xx ，求证exx2 21 + （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清作答时请写清 题号题号 22选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 4cos 2sin x y = = （为参数），在以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为4, 3 ，直线l的极坐标方程为2 sin9 6 = （1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程； （2）若 Q 是曲线 C 上的动点，M 为线段 PQ 的中点，直线l上有两点 A,B，始终满足AB 4= ，求MAB面积 的最大值与最小值 23选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲（10 分分） 已知cba,为正实数，且满足3=+cba证明： （1）3+acbcab； （2）3 222 + a c c b b a （第 14 题图） l 第1页 共 7 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年年 11 月测试月测试 理理科数学科数学（一卷）答案（一卷）答案 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B A D D C A B D D 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 3 8 14 4 3 3 15 (,7 16 14 2 三、 解答题三、 解答题： 共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17解：( )sin3cos2sin() 3 f xxxx = 2 分 （1）令22 232 kxk +（kZ）得 5 22 66 kxk + （kZ） 故函数( )f x的单调递增区间为 5 2,2 66 kk + （kZ） 5 分 （2）由( )3f B = ，得 3 sin() 32 B =， 3 2 3 +=kB 或 , 3 2 2 3 +=kB 2 22, 3 BkBkkZ =+=+或 ， 第2页 共 7 页 3 2 =BB是三角形的内角， 7 分 Baccabcos2 222 += 9 22 =+acca 92+acac ，即 3ac 9 分 13 3 sin 24 ABC SacB = 11 分 当且仅当3ac= 时，ABC面积的最大值是 3 3 4 12 分 18 （1）取 PC 的中点 F，连接 DF，EF， E 是 PB 的中点， EF/BC，且 BC=2EF， 又 AD/BC，BC=2AD AD/EF 且 AD=EF， 2 分 四边形 ADFE 是平行四边形， AE/DF，又 DF平面 PDC,AEPCD平面 ， 4 分 AE/平面 PDC 5 分 （2）若 PD=DC，则PDC 是等腰三角形， DFPC， 又 AE/DF， AEPC PD平面 ABCD，BC平面 ABCD PDBC， 又 BCCD,CDPDD= BC平面 PDC， 7 分 DF平面 PDC BCDF BCAE 又 AEPC ,PCBCC= AE平面 PBC， 9 分 连接 EC，AC，则ACE 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角 10 分 设 PD=CD=BC=2， E B A P C D F 第3页 共 7 页 在 RtPCB 中，求得 PC=2 2 ，PB=2 3 ，EC=3， 在 RtADC 中，求得 AC=5, 在 RtAEC 中， 315 5 c s 5 o EC ECA AC = 12 分 19 （1）设事件 i A 为“甲盒中取出i个红球” ，事件 j B为“乙盒中取出j个红球” 则()() 22 2333 22 56 , iijj ij C CC C P AP B CC = 设事件C为“4 个球中恰有 1 个红球” ( )()() 02111102 23332333 0110 2222 5656 39633 C 10 1510 1510 C CC CC CC C PP A BP AB CCCC =+=+=+= 3 分 （2）可取的值为0,1,2,34， ()() 0202 2333 00 22 56 C CC C3 0B= CC50 PP A= 5 分 ()( ) 3 1C 10 PP= ()()()() 022011112002 233323332333 021120 222222 565656 11 2+ 25 C CC CC CC CC CC C PP A BP ABP A B CCCCCC =+=+= 7 分 ()()() 11202011 23332333 1221 2222 5656 9 3+ 50 C CC CC CC C PP ABP A B CCCC = 9 分 ()() 2020 2333 22 22 56 C CC C1 4B= CC50 PP A= 10 分 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 3 50 3 10 11 25 9 50 50 1 3311919 0123+4 50102550505 E= + + + = 12分 第4页 共 7 页 20 （1）设 112200 ( ,), (,),(,)A x yB x yM x y ，则 1212 00 , 22 xxyy xy + =，1 分 12 12120 42yy k xxyyy = + ， 3 分 而 0 0 4 MP y k x = ， 4 分 由1 MP k k= 得 0 42x = ，即 0 2x = 5 分 （2）设直线 0 :()2AB xm yy=+ 即 0 :2AB xmymy=+ ， 与抛物线 2 4yx= 联立得 2 0 4480ymymy+= ， 22 0 164(48)0,2mmym= 则 12120 4 ,48yym y ymy+=， 7 分 所以 222 120 |1|1161632ABmyymmmy=+=+ ， 而P 到直线AB的距离为 0 2 |+2| 1 my d m = + ， 所以 2 00 1 | 2|2|2 2 PAB Sd ABmymmy =+ 9 分 又由于 0 1 2 y m k =， 所以 2222 2(22) 24(1) 2 PAB Smmmm =+=+ （ 2 2m ） ， 10 分 令 2 2mt=，则0t 且 22 2mt=， 所以 23 4(3)124 PAB Stttt = ， 令 3 ( )124 (0)g ttt t= ， 则 2 ( )12 1212(1)(1)g tttt=+， 当01t ，( )0g t ，当1t 时，( )0g t， 故 3 ( )124(1)8g tttg=，即 PAB 面积的最大值为 8 12 分 第5页 共 7 页 21 （1）解： 2 1 ln )0, x fxxe x =（ 当)00,( )0)fxxef xe（时，在（ ， 上单调递增 ， 当)0,( ),)fxxef xe+（时，在（上单调递减 1 )( )f xf ea e = 极大值 （ 3 分， 1 )0f xa e （ 有且只有两个零点，00( )0 xxf x又且时， 0( )0 xaf x+=时，若时，不符合题意，0lim( )0 x af xa + = 若时,不符合， 0lim( )0 x af xa + = 若时,满足， 综上，若使( )f x有且只有两个零点， 1 0a e 4 分 （2）证法一： ln ln )0ln,ln x x f xaxaxxa e x =（， 12 ln,ln x xxxea =是的两根 tt ettgettgxtxt =)1 ()( ,)(,ln,ln 2211 设 ， 上单调递减上单调递增，在，在（), 1 1-)(+tg ， 6 分 ,10,),()( 212121 tttttgtg=则必有设 ），（构造函数10),1 ()1 ()(G+=ttgtgt ， , 01-()1 ( )1 ( )(G 2 1 =+= + ） t t e e t tgtgt , 0)0()(,) 1 , 0()(G=GtGtt上单调递增在 9 分 )()()2( 211 tgtgtg= ， 上单调递减，在又), 1 ()(), 1 (,2 21 +ttgtt 2,-2 2121 +tttt , 12 lnln2xx+，即 2 12 xxe； 12 12 2 xx xxe + ，即 12 2xxe+12 分 证法二： 不妨设 12 1xex， 第6页 共 7 页 )()( 21 xfxf= ， 12 12 lnlnxx xx =，即 22 11 ln ln xx xx =， 6 分 设 21( 1)xtx t= ， 11 11 lnlnln lnln txtx t xx + = ， 1 ln ln 1 t x t = ， 1 ln 1 ln lnlnln)ln(ln 112 = +=+= t tt t t txttxx ， t t t xxln 1 1 lnln 21 + =+ ， 12 12 2 xx xx + ，要证 12 2xxe+，只需证 2 12 xxe， 即证 12 1 lnlnln2 1 t xxt t + += ，即证 2(1) ln0 1 t t t + 9 分 设 2(1) ( )ln,(1) 1 t g ttt t = + ， 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t g t ttt t = + ，( )g t在(1,)+单调递增 0) 1 (=g ， 0) 1 ()(=gtg ， 12 lnln2xx+， 12 12 2 xx xxe + ，即 12 2xxe+12 分 证法三： 不妨设 12 1xex， 12 ( )()f xf x=， 12 12 lnlnxx xx =， 6 分 要证 12 2xxe+，只需证 12211 211 2lnlnln xxxxx e xxx + = ， 7 分 变形，得： 21 21 21 2() lnln xx xx xx + ，即 2 21 2 1 1 2(1) ln 1 x xx x x x + 设 2 1 2(1) ln(1) 1 xt ttt xt = + ，设 2(1) ( )ln,(1) 1 t g ttt t = + ，10 分 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t g t ttt t = + ，( )1g t+在（ ，）上单调递增， ( )(1)0g tg=， 121 1 2ln xxx e x + = 成立， 12 2xxe+12 分 第7页 共 7 页 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分作答时请写清题号作答