2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（二）

2019年高考理科数学考前30天-计算题专训（二）17已知数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为证明：【解析】解：（1）当时，有，解得.当时，有，则，整理得：，数列是以为公比，以为首项的等比数列，即数列的通项公式为：6分（2）由（1）有，则易知数列为递增数列，即12分18（本小题满分12分）据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数1849245（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高（2）若导游的奖金（单位：万元），与其一年内旅游总收入（单位：百万元）之间的关系为，求甲公司导游的年平均奖金；（3）从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中，随机的抽取人进行表彰，设来自乙公司的人数为，求的分布列及数学期望【解析】解：（1）由直方图知：，有，由频数分布表知：，有甲公司的导游优秀率为：；乙公司的导游优秀率为：；由于，所以甲公司的影响度高4分（2）甲公司年旅游总收入的人数为人；年旅游总收入的人数为人；年旅游总收入的人数为人；故甲公司导游的年平均奖金（万元）8分（3）由已知得，年旅游总收入在的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人故的可能取值为0，1，2，3易知：；的分布列为：的数学期望为：12分19（本小题满分12分）在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【解析】（1）证明：取中点，连接，在中，有，分别为、中点，在矩形中，为中点，四边形是平行四边形，而平面，平面，平面6分（2）取中点，连接，设四边形是矩形，平面平面，平面平面=，平面，平面，又，为中点，故可建立空间直角坐标系，如图所示，则，设是平面的一个法向量，则，即，不妨设，则易知向量为平面的一个法向量，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为12分20（本小题满分12分）已知点为曲线上任意一点，、，直线，的斜率之积为（1）求曲线的轨迹方程；（2）是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）设点，则，整理得：，故曲线的轨迹方程为：，5分（2）假设存在直线满足题意显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交当直线的斜率时，设直线为：，联立，化简得：，由，解得，设点，则，取的中点，则，则，即，化简得，无实数解，故舍去当时，为椭圆的左右顶点，显然满足，此时直线的方程为综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为12分21（本小题满分12分）已知函数，(是常数)（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数有零点，求的取值范围【解析】解：（1）由题意知：，则，当时，令，有；令，有故函数在上单调递增，在上单调递减当时，令，有；令，有故函数在上单调递增，在和上单调递减当时，令，有或；令，有故函数在和上单调递增，在上单调递减综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；5分（2）当时，由可得，有，故满足题意当时，若，即时，由（1）知函数在上递增