南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题15：应用题

南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 1 页 共 40 页 专题专题 15：应用题应用题 目录目录 问题归类篇 . 2 类型一：几何背景类型 . 2 类型二：函数、数列背景类型 . 25 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 2 页 共 40 页 问题问题归归类类篇篇 类型一：类型一：几何几何背景背景类型类型 一、一、考题考题回顾回顾 *1、 （2008 江苏高考，平面几何背景） 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ， 且与 A,B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 ykm （）按下列要求写出函数关系式： 设BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式； 设 OPx(km) ，将y表示成 xx的函数关系式 （）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位 置，使三条排污管道总长度最短 【解析】本小题主要考查函数最值的应用 （）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO=(rad) ，则 10 coscos AQ OA , 故 10 cos OB ，又 OP10 10tan1010ta， 所以 1010 10 10tan coscos yOAOBOP ， 所求函数关系式为 20 10sin 10 cos y 0 4 若 OP=x(km) ，则 OQ10x，所以 OA =OB= 2 22 101020200 xxx 所求函数关系式为 2 220200 010yxxxx （）选择函数模型， 22 10coscos20 10sin10 2sin1 coscos sin y 令 y 0 得 sin 1 2 ，因为0 4 ，所以= 6 ， 当0, 6 时， 0y ，y是的减函数； 当, 6 4 时， 0y ，y是的增函数， 所以当= 6 C B P O A D 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 3 页 共 40 页 时， min 10 10 3y。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边10 3 3 km 处。 *2 （2013 江苏高考，平面几何背景）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一 种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位 游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min，在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处 停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m， 经测量，cos A12 13 ，cos C 3 5 . (1)求索道 AB 的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 答案：(1) 1 040 m，(2) 35 37 t ，(3) 1250 625 , 4314 乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得 500710 33 50v ，解得 1250625 4314 v ，所以为使两位游客在 C 处互相 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 4 页 共 40 页 等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在 1250 625 , 4314 (单位：m/min)范围内 *3.（2018 江苏高考，平面几何背景）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米先规划在 此农田上修建两个温室大棚， 大棚内的地块形状为矩形 ABCD， 大棚内的地块形状为CDP， 要求,A B 均在线段MN上，,C D均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 解析:（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PHMN，所以 OH=10 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k0） ， 则年总产值为 4k 800（4sincos+cos）+3k 1600（cossincos） =8000k（sincos+cos） ，0， 2 ） 设 f（）= sincos+cos，0， 2 ） ， 则 222 ( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 5 页 共 40 页 令( )=0f，得 = 6 ， 当 （0， 6 ）时，( )0f，所以 f（）为增函数； 当 （ 6 ， 2 ）时，( )0f，所以 f（）为减函数， 因此，当 = 6 时，f（）取到最大值 答：当 = 6 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 *4 （2014 江苏高考，解析几何背景）如图：为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个 圆形保护区，规划要求，新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的 圆，且古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于 80m，经测量，点A位于点O正北方向 60m处， 点C位于点O正东方向 170m处， （OC为河岸） ， 4 tan 3 BCO. （1）求新桥BC的长； （2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 答案： （1）150m； （2）10m 解析： （1）以,OC OA为, x y轴建立直角坐标系，则(170,0)C，(0,60)A，由题意 4 3 BC k ，直线BC方 程为 4 (170) 3 yx 又 13 4 AB BC k k ，故直线AB方程为 3 60 4 yx，由 4 (170) 3 3 60 4 yx yx ， 解得 80 120 x y ，即(80,120)B，所以 22 (80 170)120150BC ( )m； （2）设OMt，即(0, )Mt(060)t ，由（1）直线BC的一般方程为436800 xy，圆M的半 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 6 页 共 40 页 径为 36 8 0 5 t r ， 由 题意 要求 80, (60)80, rt rt ， 由 于06 0t ，因此 36 8 0 5 t r 6 8 033 136 55 t t ， 3 13680, 5 3 136(60)80, 5 tt tt 1035t ，所以当10t 时，r取 得最大值130m，此时圆面积最大 *5.（2015 江苏高考，解析几何背景）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交 通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 12 ll，山区边界 曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 12 ll，的距离分别为 5 千 米和 40 千米，点 N 到 12 ll，的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 12 ll，所在的直线分别为 x，y 轴，建立平 面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 2 a y xb （其中 a，b 为常数）模型. （1）求 a，b 的值； （2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. 请写出公路 l 长度的函数解析式 f t，并写出其定义域； 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度. 答案： （1）1000,0;ab （2） 6 2 4 9 109 ( ), 4 f tt t 定义域为5,20， min 10 2, ( )15 3tf t千米 解析： （1）由题意知，点，的坐标分别为5,40，20,2.5 将其分别代入 2 a y xb ，得 40 25 2.5 400 a b a b ， 解得 1000 0 a b （2）由（1）知， 2 1000 y x （520 x） ，则点的坐标为 2 1000 , t t ， 设在点处的切线l交x，y轴分别于，点， 3 2000 y x ， M N l2 l1 x y O C P l 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 7 页 共 40 页 则l的方程为 23 10002000 yxt tt ，由此得 3 ,0 2 t ， 2 3000 0, t 故 22 6 2 24 3300034 10 22 t f tt tt ，5,20t 设 6 2 4 4 10 g tt t ，则 6 5 16 10 2g tt t 令 0g t ，解得 10 2t 当5,10 2t时， 0g t ， g t是减函数； 当10 2,20t时， 0g t ， g t是增函数 从而，当 10 2t 时，函数 g t有极小值，也是最小值，所以 min300g t，此时 min15 3f t 答：当 10 2t 时，公路l的长度最短，最短长度为15 3千米 *6.(2011 江苏高考，立体几何背景)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸 片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图 中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边 的两个端点设 AEFBx(cm) (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 答案：(1) 15 ，(2) x20 时，包装盒的高与底面边长的比值为 1 2 . 解析：设包装盒的高为 h（cm） ，底面边长为 a（cm） ，由已知得 .300),30(2 2 260 ,2 xx x hxa （1）,1800)15(8)30(84 2 xxxahS 所以当15x时，S 取得最大值. （2）).20(26),30(22 222 xxVxxhaV 由00xV得（舍）或 x=20. 当)20, 0(x时，. 0)30,20(; 0VxV时当 所以当 x=20 时，V 取得极大值，也是最小值. 此时 11 22 h a 即装盒的高与底面边长的比值为 1 . 2 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 8 页 共 40 页 *7.(2016 江苏高考,立体几何背景)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 1111 PABC D， 下部分的形状是正四棱柱 1111 ABCDABC D(如图所示)， 并要求正四棱柱的高 1 OO是正四 棱锥的高 1 PO的 4 倍. （1）若 1 6m,2m,ABPO则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当 1 PO为多少时，仓库的容积最大？ 答案： （1）312（2） 1 2 3PO 解析：由 PO1=2 知 OO1=4 PO1=8.因为 A1B1=AB=6 所以正四棱锥 P-A1B1C1D1的体积 223 111 11 =6224 m; 33 VABPO 锥 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的体积 223 1 =68288 m.VABOO 柱 所以仓库的容积 V=V锥+V柱=24+288=312（m3）. (2)设 A1B1=a(m)，PO1=h(m)，则 0，. 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 26 页 共 40 页 2 202020 =10 1 12 k x k k k ，当且仅当=1k时取等号.炮的最大射程是 10 千米. （2）0a，炮弹可以击中目标等价于存在0k ，使 22 1 (1)=3.2 20 kaka成立， 即关于k的方程 222 2064=0a kaka有正根. 由 2 22 =204640aaa得6a . 此时， 2 22 2 2020464 =0 2 aaaa k a （不考虑另一根）. 当a不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标. *2.（2009 江苏高考，函数背景）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如 果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为 m ma ；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度 为 n na .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1 h和 2 h，则他对这两种交易的综合满意度为 1 2 hh ，现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成 本分别为 3 元和 20 元， 设产品 A、 B 的单价分别为 A m元和 B m元， 甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h甲， 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙 (1)求h甲和h乙关于 A m、 B m的表达式；当 3 5 AB mm时，求证：h甲=h乙； (2)设 3 5 AB mm，当 A m、 B m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多 少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为 0 h， 试问能否适当选取 A m、 B m的值， 使得 0 hh 甲 和 0 hh 乙 同时成立， 但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及 数学阅读能力。满分 16 分。 (1) 当 3 5 AB mm时， 2 3 5 3 5(20)(5) 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 , 2 3 5 3 20(5)(20) 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 , h甲=h乙 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 27 页 共 40 页 （2）当 3 5 AB mm时， 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5,20, 20 5 B B m m 得， 故当 11 20 B m 即20,12 BA mm时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 。 （3） （方法一）由（2）知： 0 h= 10 5 由 0 10 = 1255 AB AB mm hh mm 甲 得： 1255 2 AB AB mm mm ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 35 , AB xy mm 则 1 ,1 4 xy、，即： 5 (1 4 )(1) 2 xy。 同理，由 0 10 5 hh 乙 得： 5 (1)(1 4 ) 2 xy 另一方面， 1 ,1 4 xy、1 41xx 5 、1+4y 2,5,、1+y ,2, 2 55 (1 4 )(1),(1)(1 4 ), 22 xyxy当且仅当 1 4 xy，即 A m= B m时，取等号。 所以不能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 甲 和 0 hh 乙 同时成立，但等号不同时成立。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m *3. 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有 2009 根现将它们堆放在一起 (1) 若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多 1 根)， 并使剩余的圆钢尽可能地少， 则剩余 了多少根圆钢？ (2) 若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多 1 根)，且不少于七层， 共有几种不同的方案？已知每根圆钢的直径为 10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于 4m，则选 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 28 页 共 40 页 择哪个方案，最能节省堆放场地？ 解析： （1）当纵断面为正三角形时，设共堆放 n 层，则从上到下每层圆钢根数是以 1 为首项、1 为公差的 等差数列，且剩余的圆钢一定小于 n 根 从而由 2009 2 n， 2 2009 且 nN*，得当 n62 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了 56 根 圆钢 （2）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放 n 层，则从上到下每层圆钢根数是以 x 为首项、1 为公差的等差 数列， 从而 nx1 2n(n1)2009(n7)， 即 n(2xn1)2 20092 7 7 41， 因为 n1 与 n 的奇偶性不同， 所以 2xn1 与 n 的奇偶性也不同，且 n0 且 a1，b0) 幂函数模型 f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0，n0) 方法： （1）若已知函数类型，常根据待定系数法确定函数解析式（代点列方程） 。 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 29 页 共 40 页 （2）含参二次函数有解、最值问题的转化及有理分式函数（尤其二次分式函数 edxcx bax y 2 ） 、无理 函数等最值的求法（导数法、不等式法） 。 2.数列背景函数模型 方法： （1）等差、等比数列的通项与求和 （2）数列的最值问题与数列中的不定方程求解。 三、三、方方法运用法运用 *例 1. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D（分贝）由 公式lgDaIb(ab、为非零常数)给出，其中)/( 2 cmWI为声音能量. （1）当声音强度 321 ,DDD满足 321 32DDD时，求对应的声音能量 321 ,III满足的等量关系式； （2）当人们低声说话，声音能量为 213 /10cmW 时，声音强度为 30 分贝；当人们正常说话，声音能量为 212 /10cmW 时，声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音，一般人在 100 分贝120 分贝 的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪. 答案：(1) 3 3 2 21 III；(2) )10,10( 46 I 解析： （1） 321 32DDD )lg( 3)lg(2lg 321 bIabIabIa 321 lg3lg2lgIII 3 3 2 21 III （2）由题意得 4012 3013 ba ba 160 10 b a 令120160lg10100I 可得 46 1010 I 答：当声音能量)10,10( 46 I时，人会暂时性失聪. *例 2有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放(14kk且)kR个单位的洗衣液在一定 量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为 ( )ykf x，其中 2 16 105 9 ( ) 2 11516 45 x x f x xx .根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升） 时，它才能起到有效去污的作用. 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 30 页 共 40 页 （）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升） ，求k的值 ； （）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ 答案:（） 12 5 k ； （）14. 解析： （）将3x 代入 16 (1)4 9 k x ， 12 5 k ； （）当4k 时， 2 16 4(1)05 9 2 4(11)516 45 x x y xx ， 当05x时，由4y ，解得15x； 当516x时，由4y ，解得515x； 所以115x，故有效去污时间可达 14 分钟. *例 3. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污 染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花 137600 元购买了一台新型联 合收割机，每年用于收割可以收入 6 万元（已减去所用柴油费） ；该收割机每年都要定期进行维修保养， 第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用 （元）与使用年数 的关 系为：（，且） ，已知第二年付费 1800 元，第五年付费 6000 元. （）试求出该农机户用于维修保养的费用（元）与使用年数的函数关系； （）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用） 答案：（）.（）14. 解析： （）依题意，当，；， 即，解得， 所以. （）记使用 年，年均收益为（元） ， 则依题意， ， 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 31 页 共 40 页 当且仅当，即时取等号. 所以这台收割机使用 14 年，可使年均收益最大. 四、四、归类巩固归类巩固 *1提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单 位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵 塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当 20200 x时，车流速度v是车流密度x的一次函数来源:Zxxk.Com （）当0200 x时，求函数 v x的表达式； （）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） f xx v x可以达到最大，并求出最大值 （精确到 1 辆/小时） 答案： （1） v x= 60,020 1 200,20200 3 x xx ； （2） 当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时 解析：（） 由题意： 当020 x时， 60v x ； 当2 02 0 0 x时， 设 v xaxb， 显然 v xaxb 在20,200是减函数，由已知得 2000, 2060 ab ab ，解得 1 3 200 , 3 a b 故函数 v x的表达式为 v x= 60,020 1 200,20200, 3 x xx （）依题意并由（）可得 60 ,020 1 200,20200, 3 xx f x xxx 当020 x时， f x为增函数，故当20 x 时，其最大值为60 201200； 当20200 x时， 2 2001110000 200 3323 xx f xxx ， 当且仅当200 xx，即100 x 时，等号成立 所以，当100 x 时， f x在区间20,200上取得最大值10000 3 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 32 页 共 40 页 综上，当100 x 时， f x在区间0,200上取得最大值100003333. 3 ， 即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大， 最大值约为 3333 辆/小时 *2 一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元， 每生产1万件需要再投入2万元.设该公司一 个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4x万元，且每万件国家给予补助 2 ln1 2 ex e xx 万元. （e为自然对数的底数，e是一个常数.） （）写出月利润( )f x（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式； （）当月生产量在1,2 e万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此 时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）. 【答案】 （） 2 ( )2(1)2 ln2(0)f xxexexx； （）月生产量在1,2 e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为 2 ( )2f ee， 此时的月生产量值为e（万件） 解析： （）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得 2 2 ln1 ( )(422) 1 2(1)2 ln2(0) ex f xxxe xx xexexx （） 2 ( )2(1)2 ln2f xxexex 的定义域为1,2 e， 且 22(1)() ( )22(1)(0) exxe fxxex xx 列表如下： x (1, ) e e ( ,2 ee ( )fx + 0 - ( )f x 增 极大值( )f e 减 由上表得： 2 ( )2(1)2 ln2f xxexex 在定义域1,2 e上的最大值为( )f e . 且 2 ( )2f ee.即：月生产量在1,2 e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为 2 ( )2f ee，此时的月生产量值为e（万件）. *3某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下： 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 33 页 共 40 页 其中，点为 轴上关于原点对称的两点，曲线段是桥的主体， 为桥顶，且曲线段在图 纸上的图形对应函数的解析式为，曲线段均为开口向上的抛物线段，且 分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（）的切线的斜率相等. （1）求曲线段在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域； （2）车辆从 经 倒 爬坡，定义车辆上桥过程中某点 所需要的爬坡能力为：（该点 与桥顶 间的水平距离）（设计图纸上该点处的切线的斜率） ，其中的单位：米.若该景区可提供三种 类型的观光车:游客踏乘；蓄电池动力；内燃机动力.它们的爬坡能力分别为米,米, 米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度 米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥? 答案“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和 “内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥. 由曲线段在图纸上的图像对应函数的解析式为, 又,且,所以曲线在B点处的切线斜率为 , 因为 点为衔接点,则解得 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 34 页 共 40 页 所以曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为 设是曲线段AC上任意一点, 若P在曲线段AB上,则通过该点所需要的爬坡能力 令 , 所以函数 在区间上为增函数,在区间上是减函数, 所以（米） 若P在曲线段BC上,则通过该点所需要的爬坡能力 令则 又因为,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和 “内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥 *4罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥 面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 32 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2+ x)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万 元 （1）试写出y关于x的函数关系式； （2）当m96 米，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？ 答案： （1） 32 y=m(+ x)+2m32,(0xm) x ； （2）需新建6个桥墩才能使余下工程的费用y最小. 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 35 页 共 40 页 解析：(1)设需新建 n 个桥墩，则(n+1)x=m，即 m n=1 x 所以 mm y=f(x)=32n+(n+1)(2+ x)x=32(1)+(2+ x)x xx = 32 m(+ x)+2m32,(0xm) x (2)当m=96 时， 32 f(x)=96(+ x)+160 x 则 3 2 13248 f (x)=96()x64) xx2 x 22 （ 令f(x)=0，得 3 2 x64=，所以 x=16 当 0x16 时，f(x)0，f(x)在区间(0,16)内为减函数； 当 16x0，f(x)在区间(16,96)内为增函数； 所以f(x)在x=16 处取得最小值，此时 96 n=15 16 故需新建 5 个桥墩才能使余下工程的费用y最小. *5.我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基础设 施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按 30 天计算）每天的旅游人数 xf与 第 x 天近似地满足 x xf 8 8（千人） ，且参观民俗文化村的游客人均消费 xg近似地满足 22143xxg（元） （1）求该村的第 x 天的旅游收入 xp（单位千元，1x30， Nx）的函数关系； （2）若以最低日收入的 20作为每一天的计量依据，并以纯收入的 5的税率收回投资成本，试问该村 在两年内能否收回全部投资成本？ 答案： （1）( )p x * * 968 8976,(122,) 1320 81312.(2230,) xxxN x xxxN x ； （2）能收回投资 解析：(1)依据题意，有 * 8 ( )( )( )(8) (143 |22|)(130,)p xf xg xxxxN x = * * 968 8976,(122,) 1320 81312.(2230,) xxxN x xxxN x (2) 0 1当122x， * xN时， 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 36 页 共 40 页 968968 ( )89762 89761152p xxx xx (当且仅当11x 时，等号成立) . 来源:Zxxk.Com 因此， min ( )(11)1152p xp(千元) . 0 2当2230 x， * xN时， 1320 ( )81312p xx x . 考察函数 1320 8yx x 的图像，可知 1320 8yx x 在(22,30上单调递减， 于是， min ( )(30)1116p xp(千元) . 又11521116， 所以，日最低收入为 1116 千元. 该村两年可收回的投资资金为1116 20% 5% 30 12 2=8035.2(千元)=803.52(万元) . 因 803.52 万元800 万元， 所以，该村两年内能收回全部投资资金. *6.某种海洋生物身体的长度 f t（单位：米）与生长年限 t（单位：年）满足如下的函数关系： 4 10 1 2 t f t .（设该生物出生时 t=0） （1）需经过多少时间，该生物的身长超过 8 米； （2）设出生后第 0 t年，该生物长得最快，求 00 *ttN的值. 答案： （1）6 年； （2）4 或 5 解析： （1）设 4 10 ( )8 1 2 t f t ，即 4 1 2 4 t ，解得6t ， 即该生物 6 年后身长可超过 8 米； （2）设第 00 (*)t tN年生长最快，于是有 0 0000 4 000 4545 101010 2 ( )(1)(1) 1 21 2(1 2)(1 2) t tttt f tf tt ，令 0 4 2 t u ，则(0,8u， 令 2 11 ( ) 1 (1)(1 2 )2312 23 23 uu g u uuuu u u ， 等号当且仅当 1 2u u 即 1 2 2u ， 0 1 4 2 22 t ， 0 4.5t 时成立，因为 0 *tN，因此 0 t可能值为 4 或 5， 由 5 (4)(3)(5)(4) 3 ffff知，所求有年份为第 4 年和第 5 年，两年内各生长了 5 3 米 *7.某企业生产某种商品x吨，此时所需生产费用为（10000100 2 xx）万元，当出售这种商品时，每 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 37 页 共 40 页 吨价格为p万元，这里baxp（ba,为常数，0x） （1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？ （2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是 120 吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨 160 万元， 求ba,的值 答案： （1）100 吨； （2） 1 ,180 6 ab 解析： （1）设生产平均费用为 y 元， 由题意可知 y=100100 1000010000100 2 x x x xx ; 当且仅当100x时等号成立， 所以这种商品的产量应为 100 吨 （2）设企业的利润为 S 元，有题意可知 10000100)( 2 xxxbaxS =10000)100() 1( 2 xbxa 120 22 100 a b x 又由题意可知 120160ba 160120 140240 ba ab 180 6 1 b a *8.上海某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品 （生产条件要求110 x） ， 为了保证产品的质 量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是 3 100(51)x x 元. (1)要使生产运输该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产运输 900 千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 答案： （1）3,10； （2）以每小时 6 千克的速度能获得最大利润，最大利润为 457500 元. 解析：(1)根据题意， 3 200(51)3000 x x 3 5140 x x 又1 10 x ，可解得3 10 x 因此，所求x的取值范围是3,10 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 38 页 共 40 页 (2)设利润为y元，则 42 90031161 100(51)9 10 3() 612 yx xxx 故 6x 时， max 457500y 元 因此该工厂应该以每小时 6 千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为 457500 元 *9.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点 A、B、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点 C 在 点 A 的北偏东 47方向，点 B 在点 C 的南偏西 36方向，点 B 在点 A 的南偏东 79方向，且 A、B 两点的 距离约为 3 海里. （1）求 A、C 两点间的距离； （精确到 0.01） （2）某一时刻，我国一渔船在 A 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘 R 国舰艇正从点 C 正东 10 海里的点 P 处以 18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为 PCA（