南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题12：圆锥曲线

南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 1 页 共 26 页 专题专题 12：圆锥曲线圆锥曲线 目录目录 问题归类篇 . 2 类型一：方程的标准形式 . 2 类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用 . 4 类型三：离心率或范围的计算 . 8 类型四：直线与圆锥曲线的综合问题 .11 综合应用篇 . 16 一、例题分析 . 16 二、反馈巩固 . 19 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 2 页 共 26 页 问题问题归类归类篇篇 类型一：类型一：方程的标准形式方程的标准形式 一、前测回顾一、前测回顾 1椭圆x 2 m y2 41 的焦距是 2，则 m 的值是 2.双曲线x 2 4 y2 k 1 的离心率 e(1，2)，则 k 的取值范围是 3.若 a0，则抛物线 y4ax2 的焦点坐标为 4.已知直线l过点1,0且垂直于x轴，若l被抛物线 2 4yax截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 _ 答案：答案：1.3 或 5；2.(12,0)；3.(0, 1 16a)4. 1,0 二、方法联想二、方法联想 方程的标准形式方程的标准形式 涉及方程标准形式时， 必须先设(或化)为方程的标准形式， 注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴 上，抛物线要注意开口方向 三三、方法应用方法应用 例 1.如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 C 过点 1 ( 3, ) 2 ， 焦点 12 (3,0),( 3,0)FF， 圆 O 的直径为 12 FF （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于,A B两点若OAB的面积为 2 6 7 ， 求直线 l 的方程 解： （1）因为椭圆C的焦点为 1 3,0F ， 2 3,0F， 可设椭圆C的方程为 22 22 10 xy ab ab 又点 1 3, 2 在椭圆C上， 所以 22 22 31 1 4 3 ab ab ，解得 2 2 4 1 a b ，因此，椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 因为圆O的直径为 12 FF，所以其方程为 22 3xy （2）设直线l与圆O相切于 0000 0,0P x yxy，则 22 00 3xy， 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 3 页 共 26 页 所以直线l的方程为 0 00 0 x yxxy y ，即 0 00 3x yx yy 由 2 2 0 00 1 4 3 x y x yx yy ，消去y，得 2222 0000 4243640 xyxx xy （*） 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 所以 2 22222 000000 244 43644820 xxyyyx 因为 0 x， 0 0y ，所以 0 2x ， 0 1y 因此，点P的坐标为 2,1 因为三角形OAB的面积为 2 6 7 ，所以 12 6 27 AB OP，从而 4 2 7 AB 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，由（*）得 22 000 1 2 22 00 24482 2 4 xyx x xy ， ， 所以 22 2 2200 2 0 1212 22 22 0 00 482 1 4 yx x ABxxyy y xy 因为 22 00 3xy， 所以 2 0 2 2 2 0 162 32 49 1 x AB x ，即 42 00 2451000 xx， 解得 2 0 5 2 x（ 2 0 20 x舍去） ，则 2 0 1 2 y，因此P的坐标为 102 , 22 综上，直线l的方程为53 2yx 例 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的右焦点为F，点A是椭圆的左顶 点， 过原点的直线MN与椭圆交于NM,两点 （M在第三象限） ， 与椭圆的右准线交于P点 已知MNAM ， 且 2 4 3 OA OMb （1）求椭圆C的离心率e； （2）若 10 3 AMNPOF SSa ，求椭圆C的标准方程 x y 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 4 页 共 26 页 解： （1）由题意 22 22 222 1 ()( ) 22 xy ab aa xy ，消去 y 得 2 22 2 0 c xaxb a ，解得 2 12 2 ab xa x c ， ， 所以 2 2 (,0) M ab xa c ， 2 2 2 4 3 MA ab OA OMx xab c ， 2 2 3 4 c a ，所以 3 2 e ； （2）由（1） 22 2 (,) 33 Mbb，右准线方程为 4 3 3 xb， 直线MN的方程为2yx，所以 4 34 6 (,) 33 Pbb， 2 134 6 =2 2 223 POFP SOF ybbb ， 2 2 24 2 22 33 AMNAOMM SSOAybbb ， 所以 22 4 210 2 2+ 33 bba， 2 10 220 33 bb，所以2,2 2ba， 椭圆C的标准方程为1 28 22 yx 四四、归类巩固、归类巩固 *1.以 y 2x 为渐近线的双曲线的离心率是 答案： 3或 6 2 (已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系) *2.以抛物线 y24x 的焦点为焦点，以 yx 为渐近线的双曲线的标准方程为 答案：x 2 1 2 y 2 1 2 1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系) 类型类型二二：圆锥曲线圆锥曲线定义定义及几何性质及几何性质的应用的应用 一、一、前测回顾前测回顾 1. 已知 F1、F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且 PF1PF2 若PF1F2的面积为 9，则 b 的值为_ 2.已知定点 A(3，2)，F 是抛物线 y22x 的焦点，点 P 是抛物线上的动点，当 PAPF 最小时，点 P 的坐标 为 3. 点 F 为椭圆x 2 4 y 2 3 1 的右焦点，过点 F 且倾斜角为 3的直线交椭圆于 A,B 两点(AF0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若MAN=60，则 C 的离心率为 . 答案: 2 3 3 （已知双曲线渐近线与圆的位置关系，求离心率） *3.双曲线x 2 4 y2 k 1 的离心率 e(1，2)，则 k 的取值范围是 答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围) *4设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A，B 两点，左焦点在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心 率的取值范围为 答案：(1， 2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题) *5设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A，B 两点，左焦点在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心 率的取值范围为 答案：(1， 2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题) *6已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 答案：1 3 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是 F1，F2，这两条曲线在第一象限 的交点为 P，PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若 PF110，椭圆和双曲线的离心率分别是 e1，e2， 则 e1e2的取值范围是 答案：(1 3,)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围) *8.设ABC 是等腰三角形，ABC120 ，则以 A，B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为_ 答案： 31 2 (三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围) *9.椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，若椭圆上恰好有 6 个不同的点 P ,使得PF1F2为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 . 答案： 1 11 ( , )( ,1) 3 22 . . 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 11 页 共 26 页 类型类型四四：直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题 一、一、 前测回顾前测回顾 1(1)点 A 是椭圆x 2 36 y2 201 的左顶点，点 F 是右焦点，若点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，满足 PAPF， 则点 P 的坐标为 (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y2 31 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大 值为 答案：(1)(3 2， 5 2 3)(2)6 2(1)如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 OPAF， 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q，若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍，则椭圆 C 的离心率为 (2)已知椭圆的方程为x 2 6 y2 21，与右焦点 F 相应的准线 l 与 x 轴相交于点 A，过 点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点设AP AQ(1)，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相 交于另一点 M， 证明：FMQF (3) 过点 M(1，1)作斜率为1 2的直线与椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_ 答案：(1) 2 2 ；(2)略；(3) 2 2 3 (1)设 P， Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆x 2 10y 21 上的点， 则 P， Q 两点间的最大距离是 (2)已知椭圆 C：x22y24，O 为原点若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，则线 段 AB 长度的最小值为 答案： （1）6 2； （2）2 2 二、方法联想二、方法联想 1椭圆上一个点问题椭圆上一个点问题 方法 1：设点. 设点(x0,y0)代入方程、列式、消元；设点(acos,bsin) 方法 2：求点. 代入方程、列式、求解 注意 考虑 x0(或 y0)的取值范围 变式：如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 OPAF. 求证：存在椭圆 C，使直线 AF 平分线段 OP. 答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明) 2直线与椭圆相交于两点问题直线与椭圆相交于两点问题 已知其中一点坐标(x0,y0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根； 两点均未知 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 12 页 共 26 页 方法 1 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的方程 Ax2BxC 0，由韦达定理得 x1x2B A，x1x2 C A，代入已知条件所得式子消去 x1，x2(其中 y1，y2 通过直线方 程化为 x1，x2) 有时也可以直接求出两交点. 注意：(1)设直线方程时讨论垂直于 x 轴情况； (2)通过判断交点个数； (3)根据需要也可消去 x 得关于 y 的方程 结论：弦长公式 AB 1k2x1x21 1 k2y1y2 方法 2 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得 x12 a2 y12 b21， x22 a2 y22 b21， 通过已知条件建立 x1、y1与 x2、 y2的关系，消去 x2、y2解关于 x1、y1的方程组（或方程） 方法 3 点差法 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得 x12 a2 y12 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减得y 1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2， 即 kABb 2 a2 x0 y0，其中 AB 中点 M 为(x0，y0) 注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题 3 3. . 圆锥曲线的最值与范围问题圆锥曲线的最值与范围问题 (1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方 程代入转化为三角函数的最值问题， 或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理 (2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系， 求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题， 常把所求 参数作为函数，另一个元作为自变量求解 三、三、方法应用方法应用 例 1.已知椭圆 22 22 :10 xy Mab ab 的离心率为 6 3 ，焦距为2 2斜率为k的直线l与椭圆M有两个 不同的交点A，B （1）求椭圆M的方程； （2）若1k ，求|AB的最大值； （3）设20P ,，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D若C，D 和点 7 1 (, ) 4 4 Q 共线，求k 解：（1）由题意得22 2c ，所以2c ， 又 6 3 c e a ，所以3a ，所以 222 1bac， 所以椭圆M的标准方程为 2 2 1 3 x y （2）设直线AB的方程为yxm， 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 13 页 共 26 页 由 2 2 1 3 yxm x y 消去y可得 22 46330 xmxm， 则 222 3644 3348 120mmm ，即 2 4m ， 设 11 A x y,， 22 B xy,，则 12 3 2 m xx ， 2 12 33 4 m x x ， 则 2 2 22 121212 64 114 2 m ABkxxkxxx x ， 易得当 2 0m 时， max |6AB，故AB的最大值为6 （3）设 11 A x y,， 22 B xy,， 33 C xy,， 44 D xy,， 则 22 11 33xy ， 22 22 33xy ， 又20P ,，所以可设 1 1 1 2 PA y kk x ，直线PA的方程为 1 2ykx， 由 1 2 2 2 1 3 ykx x y 消去y可得 2222 111 13121230kxk xk， 则 2 1 13 2 1 12 13 k xx k ，即 2 1 31 2 1 12 13 k xx k ， 又 1 1 1 2 y k x ，代入式可得 1 3 1 712 47 x x x ，所以 1 3 1 47 y y x ， 所以 11 11 712 4747 xy C xx ,，同理可得 22 22 712 4747 xy D xx , 故 33 71 , 44 QCxy ， 44 71 44 QDxy ,， 因为Q，C，D三点共线，所以 3443 7171 0 4444 xyxy ， 将点C，D的坐标代入化简可得 12 12 1 yy xx ，即1k 例 2.已知点 P(0，1)，椭圆 2 4 x +y2=m(m1)上两点 A，B 满足AP=2PB，则当 m=_时，点 B 坐 标的绝对值最大 解： 方法一：设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 当直线斜率不存在时，9m， 2 0 x . 当直线斜率存在时，设AB为1ykx.联立 2 2 4 1 x ym ykx 得 22 (41)8440kxkxm ， 2 0410mkm ， 12 2 8 41 k xx k ， 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 14 页 共 26 页 12 2 44 41 m x x k . 2APPB， 12 2xx ，解得 1 2 16 41 k x k ， 2 2 8 41 k x k . 2 2 88 2 1 41 4 k x k k k （当且仅当 1 2 k 时取“” ）. 12 22 168 8 41 41 kk x x kk ， 12 2 44 22 41 m x xm k ，得5m， 当5m时，点B横坐标最大. 方法二：设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 11 (,1)APxy ， 22 (,1)PBxy， 2APPB， 12 12 2 32 xx yy ， 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) (32)(1) 4 (2) 4 x ym x ym ，由(1)(2)得 2 3 4 m y .(3) 将(3)代入(2)，得 2 2 2 (5)16 4 m x ， 2 2 (5)16 2 m x ， 当5m时， 2 x取最大值. 例3.设椭圆 22 22 1 xx ab (ab0)的左焦点为F， 上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 5 3 ， 点A的坐标为( ,0)b， 且6 2FBAB. （I）求椭圆的方程； （II）设直线 l：(0)ykx k与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ (O 为原点) ，求 k 的值. 解： （1）设椭圆的焦距为2c，由已知有 2 2 5 9 c a ， 又由 222 abc，可得23ab由已知可得，FBa，2ABb， 由6 2FBAB，可得6ab ，从而3a ，2b 所以，椭圆的方程为 22 1 94 xy （2）设点P的坐标为 11 ,x y，点Q的坐标为 22 ,xy 由已知有 12 0yy，故 12 sinPQAOQyy 又因为 2 sin y AQ OAB ，而 4 OAB，故 2 2AQy 由 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ ，可得 12 59yy 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 15 页 共 26 页 由方程组 22 1 94 ykx xy 消去x，可得 1 2 6 94 k y k 易知直线AB的方程为 20 xy， 由方程组 20 ykx xy 消去x，可得 2 2 1 k y k 由 12 59yy，可得 2 513 94kk， 两边平方，整理得 2 5650110kk， 解得 1 2 k ，或 11 28 k 所以，k的值为 1 2 或 11 28 四四、归类巩固、归类巩固 *1.由椭圆x 2 2y 21 的左焦点作倾斜角为 45 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点则OA OB 答案：1 3 (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积) 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，长轴长为 4.过椭圆 的左顶点 A 作直线 l，分别交椭圆和圆 x2y2a2于相异两点 P，Q. *若直线 l 的斜率为1 2，求 AP AQ的值； *若PQ AP ，求实数 的取值范围 答案：5 6；（0,1） (已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点) *3.设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F，离心率为 3 3 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的 线段长为4 3 3 .设 A， B 分别为椭圆的左、 右顶点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C， D 两点 若AC DB AD CB8，求 k 的值 答案： 8 6 3 . (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率) *4.已知椭圆 C：x 2 6 y2 21 设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线 交椭圆 C 于点 P，Q. 证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)； 当|TF| |PQ|最小时，求点 T 的坐标 答案： T点的坐标是(3，1)或(3，1) (求取最值时的条件) 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 16 页 共 26 页 综合综合应用应用篇篇 一、一、例题分析例题分析 例例 1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭 圆上一点（在 x 轴上方） ，连结 PF1并延长交椭圆于另一点 Q，设PF1 F 1Q *（1）若点 P 的坐标为 (1，3 2)，且PQF2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程； *（2）若 PF2垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e1 2， 2 2 ，求实数 的取值范围 解：解： （1）因为 F1，F2为椭圆 C 的两焦点，且 P，Q 为椭圆上的点， 所以 PF1PF2QF1QF22a，从而PQF2的周长为 4a 由题意，得 4a8，解得 a2 因为点 P 的坐标为 (1，3 2)，所以 1 a2 9 4b21， 解得 b23 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31 （2）方法一：方法一：因为 PF2x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y00设 Q(x1，y1) 因为 P 在椭圆上，所以c 2 a2 y2 0 b21，解得 y0 b2 a ，即 P(c，b 2 a ). 因为 F1(c，0)，所以PF1 (2c，b2 a)，F1Q (x 1c，y1) 由PF1 F 1Q ，得2c(x 1c)，b 2 a y1， 解得 x12 c，y1b 2 a，所以 Q( 2 c，b 2 a). 因为点 Q 在椭圆上，所以(2 )2e2 b2 2a21， 即(2)2e2(1e2)2，(243)e221， 因为 10， （第 18 题） x O y P F1 F2 Q 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 17 页 共 26 页 所以(3)e21，从而 3e 21 1e2 4 1e23 因为 e1 2， 2 2 ，所以1 4e 21 2，即 7 35 所以 的取值范围为7 3，5 方法方法二二：因为 PF2x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y00 因为 P 在椭圆上，所以c 2 a2 y2 0 b21，解得 y0 b2 a ，即 P(c，b 2 a ) 因为 F1(c，0)，故直线 PF1的方程为 y b2 2ac(xc) 由 y b2 2ac(xc)， x2 a2 y2 b21， 得(4c2b2)x22b2cxc2(b24a2)0 因为直线 PF1与椭圆有一个交点为 P(c，b 2 a )设 Q(x1，y1)， 则 x1c 2b2c 4c2b2，即cx1 2b2c 4c2b2 因为PF1 F 1Q ， 所以 2c cx1 4c2b2 b2 3c 2a2 a2c2 3e 21 1e2 4 1e23 因为 e1 2， 2 2 ，所以1 4e 21 2，即 7 35 所以 的取值范围为7 3，5 教学建议教学建议 （1）问题归类与方法）问题归类与方法： 本题离心率与参数值有等量关系，求参数范围本质上等价于求离心率范围. 求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，题中给出的是关于基本量 a，b，c 的齐次不等关系； 题中给出的是关于基本量 a，b，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即 f(P)g(a，b，c)，根据 g(a， b，c)在 f(P)的值域内，可得关于基本量 a，b，c 的齐次不等关系 （2）方法选择与优化）方法选择与优化：本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式，也可以从 P 点 坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点，再求函数关系；最后也可以用 表示离心率 e，解不等式求出 的范围. 例例 2.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F(c，0)，右顶点为 A，点 E 的坐标为(0，c)，EFA 的面积 为b 2 2 . *（1）求椭圆的离心率； （2）设点 Q 在线段 AE 上，|FQ|3 2c，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M，N 在 x 轴上，PMQN，且 直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c. 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 18 页 共 26 页 *（i）求直线 FP 的斜率； *（ii）求椭圆的方程. 解解：(1)设椭圆的离心率为e.由已知，可得1 2(ca)c b2 2 .又由b2a2c2，可得 2c2aca20，即 2e2 e10.又因为 0e1，解得e1 2. 所以，椭圆的离心率为1 2. （2） （）方法一方法一：依题意，设直线FP的方程为xmyc(m0)，则直线FP的斜率为1 m. 由（）知a2c，可得直线AE的方程为 x 2c y c1，即 x2y2c0，与直线FP的方程联立，可解得x (2m2)c m2 ，y 3c m2，即点 Q的坐标为(2m2)c m2 ， 3c m2). 由已知|FQ|=3c 2 ，有(2m2)c m2 c2( 3c m2) 2(3c 2 )2，整理得 3m24m0，所以m4 3，即直线 FP的 斜率为3 4. 方法二方法二：由（）知a2c，可得直线AE的方程为 x 2c y c1，即 x2y2c0，又|FQ|3 2c 设 Q(x0，y0) ，则 x02y02c0 (x0c)2y029 4c 2 消 y0 得 5x 2 04cx0c20， x0c（舍）或c 5 ，所以 Q( c 5， 9 10 c) ，直线FP的斜率为3 4. （ii）方法一：方法一：由（i）得直线 FP 的方程为 3x4y3c0 ，与椭圆 x2 4c2 y2 3c21 联立得 7x 26cx13c2 0，x13 7 c （舍）或 c ，所以 P(c，3 2c) 由（i）得 Q( c 5， 9 10c)，由题直线 QN,直线 PM 的斜率一定存在， 设为 k0 , 设 PM：k0 xyk0c3 2c0 ，QN：k0 xy k0 5c 9 10c0，两平行线距离为 |k0c3 2c k0c 5 9 10c| k021 c ，解得 k04 3 ，所以 M( 17 8 c，0)，N(7 8c，0) ，四边形 PQNM 的面积为 S PFMSFQN1 2( 17 8 cc)3 2c 1 2( 7 8cc) 9 10c3c ，解得 c2 ，所以椭圆的方程为 x2 16 y2 121 . 方法二：方法二：同方法一求出 k04 3，所以 FPQN，FPPM , 又 P(c， 3 2c)，Q( c 5， 9 10c)，直线 FP的斜率为3 4. 即 tanPFM3 4 ， |FQ| 3 2c， |FP| 5 2c ， 所以四边形 PQNM 的面积为 1 2(QNPM) c 1 2( 3 4 3 2c 3 4 5 2c) c 3c ，解得 c2 ，所以椭圆的方程为 x2 16 y2 121 . 方法三：方法三：可利用|FQ|3 2c，|FP| 5 2c 得 FPFQc 即直线 PM 与直线 QN 间的距离，直接得 FPQN， FPPM，避免求 k0的值简化运算过程. 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 19 页 共 26 页 教学建议教学建议 （1）问题归类与方法）问题归类与方法： 1.求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量 a，b，c 的一个齐次关系，从而求出离心率； 2直线与椭圆相交于两点问题 已知其中一点坐标(x0,y0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根； 两点均未知 方法 1 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的方程 Ax2BxC 0，由韦达定理得 x1x2B A，x1x2 C A，代入已知条件所得式子消去 x1，x2(其中 y1，y2 通过直线方 程化为 x1，x2) 有时也可以直接求出两交点. （2）方法选择与优化）方法选择与优化： 本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类 题目，利用a,b,c,e的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程 组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM的几 何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大. 二、反馈巩固二、反馈巩固 *1已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 答案：x 2 3 y2 21 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *2.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点若点 P 到直线 xy10 的距离 大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_ 答案： 2 2 (利用双曲线与渐近线的几何性质求解) *3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点，直线 y b 2与椭圆交于 B,C 两点，且BFC90 ,则该椭圆的离心率是 . 答案: 6 3 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *4已知方程 x2 m2+n y2 3m2n=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 . 答案：(1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质) *5椭圆C：x 2 4 y2 31的左右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围为2，1，那么 直线PA1的斜率的取值范围是 答案：3 8， 3 4 (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域) 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 20 页 共 26 页 x y O A P B *6设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y 2 b21(0b1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点 若 AF13F1B，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为_ 答案：x23 2y 21 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系) *7点 M 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上的点，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F，圆 M 与 y 轴 相交于 P，Q，若 PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 答案：(0， 6 2 2 ) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算) *8如图，点 A 是椭圆 x2 a2 y2 b2 1(ab0)的下顶点 过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于另一点 P，点 B 在 y 轴上， 且 BPx 轴，AB AP9，若 B 点坐标为(0，1)，则椭圆 方程是 答案：x 2 12 y2 41 (考查平面图形的几何性质，求椭圆方程，向量的数量积运算) *9已知椭圆x 2 4 y2 21 上有一点 P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2 为直角三角形，则这样的点 P 有_个 答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形) *10椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P，使得 F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 答案：(1 3， 1 2)( 1 2，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质) *11在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a，a)，P 是函数 y1 x(x0)图象上一动点,若点 PA 之间的最短 距离为 2 2，则满足条件的实数 a 的所有值为_. 答案：1 或 10 (考查两点距离，函数的最值问题) 12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，顶点 B 的坐 标为(0，b)，连结 BF2并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 F1C *(1)若点 C 的坐标为(4 3， 1 3)，且 BF2 2，求椭圆的方程； * (2)若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值 答案：(1) x2 2y 21；(2) 5 5 (考查求椭圆的标准方程，离心率问题) F1 F2 O x y B C A (第 14 题) 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 21 页 共 26 页 13已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F2(3，0),离心率为 e. *(1)若 e 3 2 ，求椭圆的方程； *(2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A，B 两点，M，N 分别为线段 AF2，BF2的中点，若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且 2 2 e 3 2 ，求 k 的取值范围. 答案： （1）x 2 12 y2 31 ； （2）(， 2 4 2 4 ，) . (本题可以利用平面几何知识得 F2AF2B 简化运算，考查函数值域问题) 14.如图，已知动直线: l ykxm与椭圆 2 2 1 4 x y交于,A B两个不同点. *(1)若动直线: l ykxm又与圆 22 (y 2)1x 相切，求m的取值范围. *(2)若动直线: l ykxm与y轴交于点P， 满足2PBAP， 点 O 为坐标原点.求AOB面积的最大值， 并指出此时k的值. 解：把ykxm代入椭圆方程 22 440 xy得： 222 ( 41)8440,(1)kxkmxm （） 222 (8)4(41)(44)0kmkm 即 22 410(2)km 直线l与圆 22 (2)1xy相 切， 22 2 2 1,43(3) 1 m kmm k 把（3）代入（2）得： 2 316130mm 解得： 13 3 m 或1m （）(0,),Pm设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 12 2,20PBAPxx 由（1）式得： 12112 22 88 ,() 4141 kmkm xxxxx kk 又 1 x是方程（1）的根， 2222 22 222 6464 (41)440 (41)41 k mk m km kk 2 2 2 41 361 k m k ，依题意得0k，显然满足 222 (8)4(41)(44)0kmkm 121 2 24 3, 41 km xxx k 2 12 22 12121 , 241361 AOB m kk Sxxm kk 3 1 1 9 4 k k 第 15 题 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复习资料二轮专题复习资料 第 22 页 共 26 页 当且仅当 1 9 4 k k 即 1 . 6 k （符合题意） ， 当 1