南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题03：三角函数与解三角形

南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 39 页 专题专题 3：三角函数与解三角形：三角函数与解三角形 目录 问题归类篇 . 2 类型一：同角三角函数求值 . 2 类型二：三角函数的图像与性质 . 6 类型三：两角和与差的三角函数 . 13 类型四：三角恒等变换 . 16 类型五：解三角形 . 19 综合应用篇 . 25 一、例题分析 . 25 二、巩固练习 . 30 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 39 页 问题归类篇问题归类篇 类型一：同角三角函数求值类型一：同角三角函数求值 一一前测回顾前测回顾 1(1) 若 sin 5 13，且 为第四象限角，则 tan 的值等于_ 答案： 5 12 （2）已知 tan2，则 sincoscos2 2sincossin2，sin 22sincos2 答案：3 8；2 (3)已知 sincos1 5，(0，)，则 cossin ，tan 答案：7 5； 4 3 解析：sincos1 5，(0，)，且 sin 2cos21，得到 sin4 5，cos 3 5 二、方法联想二、方法联想 1三角函数求值三角函数求值 (1) 知一求其余三角函数值； (2)关于 sin 与 cos 的齐次式，同除 cos或 cos2，如果不是齐次，借助 1sin2cos2 构造齐次 (3)sincos，sincos，sincos 间关系式 注意 根据角的范围确定三角函数值正负无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的 三角函数值)缩小角的范围 三、方法应用三、方法应用 例 1已知, 为锐角, 45 tan,cos(). 35 (1) 求cos2的值; (2) 求tan()的值. 解：解： （1）因为 4 tan 3 ， sin tan cos ，所以 4 sincos 3 sincos sincos sincos sin 和 cos tan sin2 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 39 页 因为 22 sincos1，所以 2 9 cos 25 ， 因此， 2 7 cos22cos1 25 （2）因为, 为锐角，所以(0,) 又因为 5 cos() 5 ，所以 2 2 5 sin()1cos () 5 ， 因此tan()2 因为 4 tan 3 ，所以 2 2tan24 tan2 1tan7 ， 因此， tan2tan()2 tan()tan2() 1+tan2 tan()11 例 2在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 2 cos,sin5cos 3 ABC. （1）求tanC的值； （2）若2a ，求ABC的面积. 解： （1）因为 2 0,cos 3 AA，得 2 5 sin1 cos 3 AA. 又 52 5cossinsin()sincoscossincossin 33 CBACACACCC, 所以tan5C . （2）由tan5C ，得 51 sin,cos 66 CC，于是 5 sin5cos 6 BC， 由2a 及正弦定理 sinsin ac AC ，得3c .设ABC得面积为S，则 15 sin 22 SacB. 例 3在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cos A3 5，tan(BA) 1 3. (1) 求 tan B 的值； (2) 若 c13，求 ABC 的面积 解析：(1) 在 ABC 中，由 cosA3 5，知 A 为锐角， 所以 sinA 1cos2A4 5， 所以 tanAsinA cosA 4 3， 所以 tanBtan(BA)A tan（BA）tanA 1tan（BA）tanA 1 3 4 3 11 3 4 3 3. 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 39 页 (2) 由(1)知 tanB3， 所以 sinB3 10 10 ，cosB 10 10 ， 所以 sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB13 10 50 . 由正弦定理 b sinB c sinC， 得 bcsinB sinC 13 3 10 10 13 10 50 15 所以 ABC 的面积 S1 2bcsinA 1 2 15 13 4 578. 例 4已知 ， 为锐角，tan4 3，cos() 5 5 . (1) 求 cos 2 的值； (2) 求 tan()的值 解： (1) 因为 tansin cos 4 3，所以 sin 4 3cos. 因为 sin2cos21，所以 cos2 9 25， 因此 cos22cos21 7 25. (2) 因为 ， 为锐角，所以 (0，) 又因为 cos() 5 5 ，所以 sin() 1cos2（）2 5 5 ， 因此 tan()2.因为 tan4 3，所以 tan2 2tan 1tan2 24 7 ， 因此 tan()tan2() tan2tan（） 1tan2tan（） 2 11. 例 5已知 2， ，sin 5 5 . (1) 求 sin 4 的值； (2) 求 cos 5 6 2 的值 解：(1) 因为 2， ，sin 5 5 ，所以 cos 1sin22 5 5 ， 故 sin 4 sin 4cos cos 4sin 2 2 (cos sin ) 2 2 5 5 10 10 . (2) 因为 sin 22sin cos 4 5，cos 2cos 2sin23 5， 所以 cos 5 6 2 cos5 6 cos 2sin5 6 sin 2 3 2 3 5 1 2 4 5 3 34 10 . 例 6如图，在直角坐标系 xOy 中，角的顶点是原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A， 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 39 页 且(,) 6 2 . 将角的终边按逆时针方向旋转 3 ，交单位圆于点 B，记 A(x1，y1)，B(x2，y2). （1）若 1 1 3 x ，求 2 x； （2）分别过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足依次为 C，D， 记 AOC 的面积为 S1， BOD 的面积为 S2，若 12 2SS， 求角的值. 解： （1）由三角函数定义， 1 cosx， 2 cos() 3 x ， 因为(,) 6 2 ， 1 cos 3 ，所以 2 2 2 sin1 cos 3 . 2 131 2 6 cos()cossin 3226 x . （2）依题意， 1 siny， 2 sin() 3 y ， 所以 111 111 cossinsin2 224 Sx y， ) 3 2 2sin( 4 1 -) 3 sin() 3 cos( 2 1 2 1 222 yxS , 依题意， 2 sin22sin(2) 3 ，化简得cos20， 因为 62 ，则2 3 ，所以2 2 ，即 4 . 四、归类巩固四、归类巩固 *1已知 sin4 5，并且 是第二象限角，则 cos 的值为 (已知三角函数正弦值，求余弦值) 答案：3 5 *2已知 tan3，且 3 2 ，则 cossin （已知三角函数正切值，求正弦、余弦值） 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 6 页 共 39 页 答案： 10 5 解析：sin cos3 且 sin 2cos21，得到 sin 与 cos 的值 *3若tan()2 4 ，则sin2的值为 （已知三角函数正切值，求二倍角正弦） 答案： 3 5 *4若 cos2sin 5，则 tan (构造方程组求解 sin，cos) 答案：2 解析：结合 sin2cos21，得到 sin 与 cos 的值 *5定义在区间 0 2 ，上的函数5cos2yx的图象与2sinyx的图象的交点横坐标为 0 x， 则 0 tan x的值为 答案： 3 4 解析：令5cos22sinxx，即 2 5(12sin)2sinxx，所以 2 10sinsin30 xx， 因为 0 2 x，所以 3 sin 5 x ，即，从而 0 3 tan 4 x 0 3 sin 5 x 类型二：三角函数的图像与性质类型二：三角函数的图像与性质 一、一、 前测回顾前测回顾 1 （1） 函数 ysin(2x 3)的定义域为 答案：k 6 ，k 2 3 (kZ) （2） 函数 ysin(2x 6)，x0， 3的值域为 答案：1 2 ，1 （3）已知0，在函数 y2sinx 与 y2cosx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3， 则的值为 答案： 2 （4） 函数 y2cos(3x 3)单调减区间为 答案：2k 3 9， 2k 3 4 9 (kZ) 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 7 页 共 39 页 （5）函数 ysin(2x 4) 的对称轴为；中心对称点为 答案：xk 2 8(kZ)；( k 2 8，0)(kZ)； 2 （1）函数 y2sin2x 3sinxcosx3cos2x 的值域为 答案：1 2， 5 2 （2）函数 y4sin2x12cosx1，x 6， 2 3 的值域为 答案：13，8 （3）函数 ysinxcosx2sinxcosx2,x 0，的值域为 答案：3 4，3 2 （4）函数 ysinx1 cosx1的值域为 答案：0，) 提示：方法一：看作斜率，数形结合处理； 方法二：导数法处理 3 （1） 已知函数sin(2)() 22 yx 的图象关于直线 3 x 对称，则的值是 答案： 6 （2）已知函数 yAsin(2x)的对称轴为 x 6，则 的值为 答案：k 6(kZ) （3）已知函数 ycos(2x)为奇函数，则 的值为 答案：k 2(kZ) （4）将函数 ( )2sin 2 6 f xx的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰关于坐标原点对称 答案： 12 . （5）若函数( )sin()(0,0)f xAxA的图象与直线ym的三个相邻交点的横坐标分别是 6 ， 3 ， 2 3 ，则实数的值为 答案：4 （6）已知函数( )sin()(03 0)f xx，若 4 x 为函数( )f x的一个零点， 3 x 为函 数( )f x图象的一条对称轴，则的值为 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 8 页 共 39 页 答案： 7 二、二、 方法联想方法联想 1三角函数的定义域三角函数的定义域 方法：根据式子有意义的条件，列不等式组，解不等式求定义域 2三角函数的值域三角函数的值域 方法 1：转化为 yAsin(x)形式，先求 x 的范围，再根据正弦函数的图象求出值域 如 yasin2xbsinxcosxccos2x 的形式，先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为 yAsin(2x)形式求值域 方法 2：利用换元法转化为二次函数值域问题 如如:含有含有 sin2x，cosx(或或 sinx)和和 cos2x，sinx(或或 cosx)形式；含有形式；含有 sinx cosx，sinxcosx： 形如分子、分母含有形如分子、分母含有 sinx，cosx 的一次形式：的一次形式： 方法 1：化为 sin(x)M 形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|1，|cosx|1)求值域 方法 2：导数法 3三角函数对称问题三角函数对称问题 方法：对于函数 yAsin(x)或 yAcos(x) 若 xx0为对称轴f(x0) A 若(x0，0)为中心对称点f(x0)0 推论：对于函数 yAsin(x)或 yAcos(x) 若函数 yf(x)为偶函数f(0) A若函数 yf(x)为奇函数f(0)0 4求求 f(x)Asin( x )B(A0)的解析式的解析式 方法：待定系数法 步骤： （1）由周期 T2 |得； （2）由 ABymax， ABymin，得， Ay maxymin 2 ， By maxymin 2 ， （3）将点代入求(尽量代入最高点或最低点) 三、三、 方法应用方法应用 例 1已知函数 f(x)( 3cosxsinx)22 3sin2x. (1) 求函数 f(x)的最小值，并写出 f(x)取得最小值时自变量 x 的取值集合； (2) 若 x 2， 2 ，求函数 f(x)的单调增区间 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 9 页 共 39 页 解：(1) f(x)( 3cosxsinx)22 3sin2x 3cos2x2 3sinxcosxsin2x2 3sin2x3（1cos2x） 2 1cos2x 2 3sin2x cos2x 3sin2x22cos 2x 3 2. 当 2x 32k，即 xk 3(kZ)时，f(x)取得最小值 0, 此时自变量 x 的取值集合为 x xk 3，kZ . (2) 由(1)知 f(x)2cos 2x 3 2. 令 2k2x 322k(kZ)， 解得 3kx 5 6 k(kZ)， 又 x 2， 2 ，令 k1，x 2， 6，令 k0，x 3， 2 ， 所以函数 f(x)在 2， 2 上的单调增区间是 2， 6 和 3， 2 . 例 2已知函数 f(x)12sin(x 8) sin(x 8)cos(x 8) (1) 求函数 f(x)的最小正周期； (2) 当 x 2， 12时，求函数 f(x 8)的值域 解：(1) f(x)12sin(x 8)sin(x 8)cos(x 8) 12sin2(x 8)2sin(x 8)cos(x 8) cos(2x 4)sin(2x 4) 2sin(2x 2) 2cos 2x.所以 f(x)的最小正周期 T 2 2 . (2) 由(1)可知 f(x 8) 2cos(2x 4)， 由于 x 2， 12，所以 2x 4 3 4 ，5 12， 所以 cos(2x 4) 2 2 ，1， 所以 f(x 8)的值域为1， 2 例 3已知函数 f(x) 2 2 sin(2ax 4) 1 2b(a0，b0) 的图象与 x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之 间的距离为 2. (1) 求 a，b 的值； (2) 求 f(x)在0， 4上的最大值和最小值 解：(1) 因为 f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为 2， 所以 f(x)的周期为 2，所以 2 2|a| 2，a0，所以 a2, 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 10 页 共 39 页 此时 f(x) 2 2 sin(4x 4) 1 2b. 因为 f(x)的图象与 x 轴相切，所以|b1 2| 2 2 ，b0, 所以 b 2 2 1 2. (2) 由(1)可得 f(x) 2 2 sin(4x 4) 2 2 ， 因为 x 0， 4 ，所以 4x 4 4， 5 4 ， 所以当 4x 4 5 4 ，即 x 4时，f(x)有最大值为 21 2 ； 当 4x 4 2，即 x 16时，f(x)有最小值为 0. 例 4已知 3 1 sincos 2 ， 44 ， （1）求的值； （2）设函数 22 ( )sinsinf xxx，xR，求函数( )f x的单调增区间 解： （1）由 31 sincos 2 ，得 23 (sincos )1 2 ， 即 223 sin2sin coscos1 2 ，所以 3 sin2 2 因为 44 ，所以 2 22 ，所以 2 3 ，即 6 （2）由（1）知， 22 ( )sinsin 6 f xxx， 所以 11 ( )1cos21cos 2 223 f xxx 1 cos 2cos2 23 xx 311 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 26 x 令 2 22 + 262 kxk， 得 + 63 kxk ，所以函数( )f x的单调增区间是 + 63 kk ，Zk 例 5将函数 ( )sin 6 f xx（0）的图象向左平移 3 个单位后，所得图象关于直线x 对称，则的最小值为 答案： 1 2 解析：将( )f x的图象向左平移 3 个单位得到 sin 36 yx， 因为图象关于直线x 对称，所以 4 sin1 36 ， 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 11 页 共 39 页 所以 4 362 k，即 31 42 k，kZ，所以的最小值为 1 2 四、归类巩固四、归类巩固 *1在同一平面直角坐标系中，函数 ycos(x 2 3 2 )(x0,2)的图象和直线 y1 2的交点个数是_ 答案：2 （利用三角函数图像） 解析：)20)( 2 3 2 cos( ，x x y，得到 ysinx 2，做出图像 *2定义在区间0,3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是_ 答案：7(考查三角函数图像) *3函数 y|sinx|，(x，2)的单调递增区间是_ 答案：，3 2 ；(考查三角函数的图像和性质) *4已知函数 f(x)2sin (2x)(|）的部分图象如图所示，则 f(0)_ 答案：1；(考查三角函数的图象) *5将函数( )sin2f xx的图象向右平移 6 个单位得到函数( )g x的图象，则以函数 ( )f x与( )g x的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 答案： 3 2 . *6将函数 4 2sin2)( xxf的图像向右平移)0(个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到 原来的 2 1 倍，所得图像关于直线 4 x对称，则的最小正值为_ 答案：3 8 (考查三角函数图像变换) *7函数 y2sin( 6x 3)(0x9)的最大值与最小值之差为 答案：2 3；(考查三角函数的最值) *8若函数 f(x)sin(x)(0 2)的图象关于直线 x 6对称，则 _ 答案： 3；(考查三角函数的对称性) *9 若将函数 f(x)sin（2x 4)的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是 _ 答案： 3 8 ； (考查三角函数图象变换，三角函数的奇偶性) *10函数 f(x)sinx（ 6x 2 3 ）的值域为_ 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 12 页 共 39 页 答案：1 2，1(考查三角函数值域) *11设 0x，则函数 sin2 2sin x y x 的最小值为_ 答案：5 2（考查正弦函数、余弦函数的图象和性质） 解析：令 tsinx（0，1） ，利用 yt 2 2 t的单调性得到最小值 *12 将函数 f(x)sin2x 的图像向右平移(0) 2 个单位后得到函数( )g x的图像，若对满足 12 ( )()2f xg x的 1 x， 2 x，有 12min 3 xx ，则_ 答案： 12(考查三角函数图像变换，最值) *13若 f(x)2sin x(01)在区间0， 3上的最大值是 2，则 _ 答案：3 4(考查三角函数单调性,最值) *14将函数 f(x)2sin(2x 6)的图象向左平移 m 个单位(m0)，若所得的图象关于直线 x 6对称，则 m 的最小值为_ 答案： 6；(考查三角函数的图象与对称性) *15已知过原点的直线与函数 y|sin x|(x0)的图像有且只有三个交点， 是交点中横坐标的最大值，则 2sin 2 2 的值为_ 答案：1(考查三角函数图像) 16已知函数 f(x) 3sin(x)cos(x)为偶函数，0，则角 的值为 答案：2 3 解析：因为 f(x) 3sin(x)cos(x)为偶函数， 所以 f(x)f(x)恒成立， 即 3sin(x)cos(x) 3sin(x)cos(x) 展开并整理得( 3cossin)sinx0 恒成立 所以 3cossin0，即 tan 3， 又 0，所以 2 3 17已知函数 ysin(2x) 20，所以 3sinBcosB1，所以 sin B 6 1 2. 因为 0B，所以 6B 6 5 6 ，所以 B 6 6，B 3. (2) 因为 b2ac， 所以由正弦定理可得 sin2BsinAsinC， 1 tanA 1 tanC cosA sinA cosC sinC cosAsinCsinAcosC sinAsinC sin（AC） sinAsinC sinB sinAsinC， 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 22 页 共 39 页 所以 1 tanA 1 tanC sinB sin2B 1 sinB 1 3 2 2 3 3 例 4. 在平面四边形 ABCD 中，ADC90 ，A45 ，AB2，BD5. (1) 求 cosADB； (2) 若 DC2 2，求 BC. 解： (1) 在 ABD 中，由正弦定理得 BD sinA AB sinADB. 由题设知， 5 sin45 2 sinADB，所以 sinADB 2 5 . 由题设知，ADB90 ，所以 cosADB1 2 25 23 5 . (2) 由题设及(1)知，cosBDCsinADB 2 5 . 在 BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22 BD DC cosBDC2582 5 2 2 2 5 25， 所以 BC5. 例 5.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知.3ab （1）当 c=1，且ABC的面积为 4 3 时，求 a 的值； （2）当 3 3 Ccos时，求)cos(AB的值. 法 1：因为ABC的面积为 4 3 ，即 4 3 sin3 2 1 sin 2 1 CaaCabS， 所以 2 2 1 sin a C ，由余弦定理，得Caaaaccos323 222 , 又已知1c, 故 2 2 32 14 cos a a C .，再由 22 sincos1CC,得 22 44 1(41) 1 412 a aa ，从而 1a. (2)因为 3 3 Ccos,所以由余弦定理Cabbac2cos2 22 ，得2 ,b3 ,caa又, 222 bac从而故 0 90B. 而由ab3及正弦定理可得 3 3 sinA, 因此 0 3 cos()cos(90)sin 3 BAAA. 例 6 在 ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 2 2 3 acb， 且 （1）求角的大小； （2）若 ABC 的外接圆的半径为，若，求AC AB的值 tantan33tantanACAC B 3ac 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 23 页 共 39 页 解： （1）由tantan33tantanACAC， 得 tantan 3 1tantan AC AC ，即tan()3AC 所以tan()3B ，即tan()3B ， 所以tan3B 因为0B，所以 3 B （2）因为 ABC 的外接圆的半径为，由正弦定理得，2 3 sin b B ， 所以 2 3sin3 3 b ，所以 22 6 3 acb 由余弦定理知， 222 2cosbacacB， 即 2 9()3acac，所以 2 ()27ac，即3 3ac， 因为ac所以3,2 3ac 所以 ABC 为直角三角形，且 3 A 所以32 3cos3 3 6 AC AB 例 7在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsinsinsin0ABAB， 且2abc，则实数的取值范围是 答案： 4 3 3 解：由条件 sinsin sinsin AB AB 因为2abc，所以sinsin2sinABC， 所以 sinsin 1 2sin AB C ，所以 2 2 () sinsinsinsin2 sinsin2sin2sinsin ab ABABc ABCabCabC 而 22 22 ()2 323 cos1 222 ababc cabc C ababab ，所以 2 2(1 cos) 3 c C ab 由2abc，得 1 cos 2 C，即 0 3 C，所以 4 1cos 3sin 4 3 3 C C 例 8. 如 图 ， 在ABC中 ， 已 知7,45ACB， D 是 边 AB 上 的 一 点 ， 3,120ADADC. 求： （1）CD 的长； （2）ABC的面积. 解： （1）在ACD中，由余弦定理得 222 2cosACADCDAD CDADC， 222 732 3cos120CDCD ，解得5CD . （2）在BCD中，由正弦定理得 sinsin BDCD BCDB ， 5 sin75sin45 BD ， 3 A D C B 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 24 页 共 39 页 （第 7 题） 解得 55 3 2 BD ， 所以BDCBDCDADCCDADSSS BCDACDABC sin 2 1 sin 2 1 1155 3 3 5sin1205sin60 222 7555 3 8 . 四、归类巩固四、归类巩固 *1在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，若 3a2b，则2sin 2Bsin2A sin2A 答案：7 2；(考查正弦定理) *2在 ABC 中，角 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，若角 A，B，C 依次成等差数列，且 a1，b 3， ， 则 ABC 的面积为 答案： 3 2 ；(考查正弦定理) *3 在 ABC 中， 内角 A， B， C 的对边依次为 a， b， c， 若 a2c23b， 且 sinB8cosAsinC， 则边 b 答案：4；(考查两角和差的三角函数关系，正余弦定理) *4钝角 ABC 的面积是1 2，AB1，BC 2 ，则 AC 答案： 5；(考查正、余弦定理) *5在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ABC 的面积为 3 15，bc2， cos A1 4，则 a 的值为_ 答案：8；(考查余弦定理，三角形面积) *6在 ABC 中，B 4，BC 边上的高等于 1 3BC，则 cos A_ 答案： 10 10 (考查解三角形，三角变换) 7将函数 3sin 4 yx的图象向左平移 3 个单位，得函数 3sin 4 yx（）的图象（如图） ， 点,M N分别是函数( )f x图象上y轴 两侧相邻的最高点和最低点，设MON， 则tan的值为 答案：23 解析：将函数 3sin 4 yx的图象向左平移 3 个单位，得函数 3 3sin 44 yx, 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 25 页 共 39 页 所以 3 ,1, 3 ,2,3,3 ,2 3,4 3 4 MOMNONMN， 由余弦定理可得， 3412285 cos, 26 222 3 ， 35 tantan 46 35 tantan 46 23 35 1tan tan 46 . 综合应用篇综合应用篇 一、例题分析一、例题分析 例 1 设函数 f(x)sin( 4x 6)2cos 2 8x1 （1）求 f(x)的最小正周期； （2）若函数 yg(x)与 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，求当 x0，4 3时 yg(x)的最大值 答案： （1） f(x)的最小正周期为 8； （2）最大值为 3 2 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 1求三角函数周期问题，必须先将解析式化为 yA sin(x)B 或 yAcos(x)B 的形式 2求三角函数的最值(值域)问题 因为函数 yg(x)与 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，所以问题可以转化为求 f(x)Asin(x)在 区间2 3，2上的最值 （2）方法选择与优化建议：）方法选择与优化建议： 1采用展开、降幂等方法“化一”将 f(x)化为 yAsin(x)形式，再使用周期公式 2求三角函数的最值(值域)问题 三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多但是 归纳起来常见的有下面三种类型： 化为只含有一个一次的三角函数 yAsin(x)B 或 yAcos(x)B 的形式，根据题中 x 的 范围求出 x 的范围，再确定 sin(x)或 cos(x)的最值(值域)； 借助公式将函数先化为 yf(sinx)型，通过换元法，即令 tsinx，构造关于 t 的函数，并根据 x 的 范围确定 t 的取值范围，再求 f(t)的最值(值域)； 函数表达形式中同时出现 sinxcosx (sinxcosx)与 sinxcosx 时，可以利用(sinxcosx)21 2sinxcosx 或(sinxcosx)212sinxcosx 的关系进行换元，即令 tsinx cosx 2sin(x 4)，转化为 关于 t 的函数，再求 f(t)的最值(值域) 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 26 页 共 39 页 例 2 已知函数 f(x)sin(x)(0，0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M（3 4 ，0）对称，且在 区间0， 2上是单调函数 （1）求 的值； （2）求 的值 答案：(1) 2；(2) 2 3或 2 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 1三角函数图象轴对称问题 函数 f(x)sin(x)(0，0)是 R 上的偶函数，说明 f(x)的图象关于 y 轴对称 2三角函数图象中心对称问题 函数 f(x)sin(x)(0，0)图象关于点 M（3 4 ，0）对称 方法选择与优化建议：方法选择与优化建议： 1从 f(x)为偶函数很容易得到 f(0)sin 1，从而有 k 2(kZ) 常用的结论有： 若 yA sin(x)为偶函数，则有 k 2(kZ)；若为奇函数则有 k (kZ)； 若 yA cos(x)为偶函数，则有 k (kZ)；若为奇函数则有 k 2(kZ)； 若 yA tan(x)为奇函数则有 k (kZ) 这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆 2从 f（3 4 ）0，可以得到 cos3 4 0，于是3 4 k 2， 4 3k 2 3(kZ)再结合函数的单调性 推导出 的值； 3对于 yA sin(x)和 yA cos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系； yA sin(x)的图象有无穷多条对称轴，可由方程 xk 2(kZ)解出；它还有无穷多个 对称中心，它们是图象与 x 轴的交点，可由 xk (kZ)解出 4对于 yA sin(x)和 yA cos(x)来说，相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的 距离也为T 2，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点 例 3已知向量 a(2sin(x2 3 )，2)，b(2cosx，0)(0)，函数 f(x)a b 的图象与直线 y2 3的 相邻两个交点之间的距离为 来源:Com （1）求函数 f(x)在0，2上的单调递增区间； （2）将函数 f(x)的图象向右平移 12个单位，得到函数 yg(x)的图象若 yg(x)在0，b上至少含有 10 个 零点，求正数 b 的最小值 答案： （1）f(x)2cos(2x 6) 3，单调递增区间为 5 12， 11 12 和17 12 ，23 12 ； （2）g(x)2cos2x 3，令 g(x)0，得 xk5 12或 xk 7 12(kZ)，则 g(x)在每个周期上有两个 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 27 页 共 39 页 零点，所以 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，即，b 的最小值为 47 12 55 12 【教学建议】【教学建议】 （1）主要问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 1求三角函数单调区间