南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题07：导数及其应用

南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 1 页 共 53 页 专题专题 7：导数及其应用：导数及其应用 目录目录 问题归类篇 . 2 类型一：切线方程 . 2 类型二 利用导数研究函数的单调性问题: . 6 类型三：函数极值与最值 . 13 类型四：不等式恒成立问题 . 24 类型五：方程有解（或解的个数）问题 . 33 综合应用篇 . 41 一、例题分析 . 41 二、反馈巩固 . 45 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 2 页 共 53 页 问题问题归类归类篇篇 类型一：类型一：切线方程切线方程 一、前测回顾一、前测回顾 1曲线 yx3上在点(1，1)的切线方程为 答案：y3x2 解析：y 3x2，则切线的斜率是 3 (1)2，再利用点斜式求出切线方程 2曲线 yx33x22x 过点(0，0)的切线方程为 答案：y2x 或 y1 4x 解析：y 3x26x2，设切点为（x0，x033x022x0） ，则切线的斜率为 3x026x02 切线方程为 y(x033x022x0)(3x026x02)(xx0)， （0，0）代入，得 x0的值，从而得到切 线方程 二、方法联想二、方法联想 涉及函数图象的切线问题：如果已知切点，则利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出 切线方程的一般形式再利用已知条件 注意：(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点 (2)切点的三个作用：求切线斜率；切点在切线上；切点在曲线上 三、三、方法应用方法应用 例 1（2018 全国新课标全国新课标文、理）文、理）设函数 f(x)x3(a1)x2ax若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x) 在点(0，0)处的切线方程为 答案：yx. 解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即 a1， ，f(x)x3x，f (0)1，切线方程为 yx. 例 2 （2018无锡期末）已知函数 f(x)ex(3x2)，求过点(2，0)与函数 yf(x)的图像相切的直线方 程； 解析：设切点为(x0，y0)，f(x)ex(3x1)，则切线斜率为 e x0(3x 01)， 所以切线方程为 yy0e x0(3x 01)(xx0)，因为切线过(2，0)， 所以e x0(3x 02)e x0(3x 01)(2x0)， 化简得 3x028x00，解得 x00，8 3. 当 x00 时，切线方程为 yx2， 当 x08 3时，切线方程为 y9e 8 3x18e 8 3. 例 3 （2014 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2b x (a，b 为常数)过点 P(2,5)，且该曲 线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是 答案：3 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 3 页 共 53 页 解析：由题意可得54ab 2 ，又 f(x)2ax b x2，过点 P(2,5)的切线的斜率 4a b 4 7 2 ，由 解得 a1，b2，所以 ab3 例 4、已知函数 f(x)2x33x，若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切，求t的取值范围 答案：t(3，1) 解：设切点坐标(x0，y0)，切线斜率为k，则有 y02x303x0 kf(x0)6x203 切线方程为：y(2x303x0)(6x203)(xx0) 因为切线过 P(1，t)，所以将 P(1，t)代入直线方程可得： t(2x303x0)(6x203)(1x0) t(6x203)(1x0)(2x303x0) 6x2036x303x02x303x04x306x203 所以问题等价于方程 t4x306x203，令 g(x)4x36x23 即直线 yt 与 g(x)4x36x23 有三个不同交点 g(x)12x212x12x(x1) 令 g(x)0 解得 0x1 所以 g(x)在(，0)，(1，)单调递减，在(0，1)单调递增 g(x)g(1)1，g(x)g(0)3 所以若有三个交点，则 t(3，1) 所以当 t(3，1)时，过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切 四、四、归类巩固归类巩固 *1若曲线 y1 2xb 是曲线 ylnx (x0)的一条切线，则实数 b 的值为 . (已知切线方程已知切线方程求参数值求参数值) 答案：ln21， *2已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_. （已知切线（已知切线过定过定点点，求参数，求参数） 答案：1 解析：由题意可得 f(x)3ax21，f(1)3a1， 又 f(1)a2，f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)，又此 切线过点(2,7)，7(a2)(3a1)(21)，解得 a1. *3函数 f(x)alnxbx2上一点 P(2，f(2)处的切线方程为 y3x2ln22，求 a，b 的值 （已知切线方程求参数）（已知切线方程求参数） 答案：a2，b1， *4.（2018 南京盐城期末 20）设函数 f(x)lnx，g(x)axb x (a,bR）,若函数 f(x)与 g(x)的图象在 x 1 处有相同的切线，求 a，b 的值 （已知两曲线的公共切线，求（已知两曲线的公共切线，求参数参数） 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 4 页 共 53 页 答案：a1 2，b 1 2 *5在平面直角坐标系 xOy 中，直线l与曲线 yx2(x0)和 yx3(x0)均相切，切点分别为 A(x1，y1) 和 B(x2，y2),则x1 x2的值是 （已知两曲线的公共切线，求切点）（已知两曲线的公共切线，求切点） 答案 4 3 解析：由题设函数 yx2在 A(x1，y1)处的切线方程为：y2x1 xx12， 函数 yx3在 B(x2，y2)处的切线方程为 y3 x22 x2x23 所以 2x13x22 x122x23 ，解之得：x132 27，x2 8 9 所以 x1 x2 4 3 *6若存在过点(1，0)的直线与曲线 yx3和 yax215 4 x9 都相切，求 a 的值 (已知公切线，求参数的值已知公切线，求参数的值) 答案：25 64或1 解析：设曲线 yx3的切点(x0，x30)，则切线方程为 yx303x20 (xx0)， 切线过点(1，0)，所以x303x20 (1x0)，所以 x00 或 x03 2， 则切线为 y0 或 y27 4 x27 4 ， 由 y0 与 yax215 4 x9 相切，则 ax215 4 x90，所以 a0 且0； 由或 y27 4 x27 4 与 yax215 4 x9 相切，则 ax215 4 x927 4 x27 4 ，所以 a0 且0。 解得 a 的值为25 64或1 *7 （2015 新课标 2）已知曲线 yxlnx 在点(1,1)处的切线与曲线 yax2(a2)x1 相切，则 a （已知切线方程求参数）（已知切线方程求参数） 答案：8 解析：y11 x，y|x12，yxlnx 在点(1，1)处的切线方程为 y12(x1)，y2x 1，又切线与曲线 yax2(a2)x1 相切，当 a0 时，y2x1 与 y2x1 平行，故 a0 y2ax(a2)，令 2axa22 得 x1 2，代入 y2x1，得 y2，点( 1 2，2)在 y ax2(a2)x1 的图象上，故2a(1 2) 2(a2)(1 2)1，a8 *8曲线 y1 x(x0)与曲线 ylnx 公切线（切线相同）的条数为 . 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 5 页 共 53 页 （求两曲线的公切线条数）（求两曲线的公切线条数） 答案：1 *9设直线 l1，l2分别是函数 f(x)= ln ,01, ln ,1, xx x x 图象上点 P1，P2处的切线，l1与 l2垂直相交于点 P，且 l1，l2分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是 （已知切线（已知切线的位置关系，求的位置关系，求参数参数的数量关系及范围的数量关系及范围） 答案：(0,1) 解析：设 111222 ,ln,lnP xxP xx（不妨设 12 1,01xx） ，则由导数的几何意义易得切线 12 ,ll的斜率分别为 12 12 11 ,.kk xx 由已知得 1 2122 1 1 1,1,.k kx xx x 切线 1 l的方程 分别为 11 1 1 lnyxxx x ， 切线 2 l的方程为 22 2 1 lnyxxx x ， 即 11 1 1 lnyxxx x . 分别令0 x 得 11 0,1ln,0,1ln.AxBx 又 1 l与 2 l的交点为 2 11 1 22 11 21 ,ln 11 xx Px xx ， 1 1x ， 2 11 22 11 211 1 211 PABABP xx Syyx xx ，01 PAB S *10.（2018苏北四市期末19）已知函数 2 ( )1( )ln()f xxaxg xxa a R，若存在与函数 f(x)，g(x)的图象都相切的直线，求实数 a 的取值范围 （已知（已知公公切线切线，利用零点存在性定理，求参数取值范围，利用零点存在性定理，求参数取值范围） 解析：设函数 f(x)上点(x1，f(x1)与函数 g(x)上点(x2，g(x2)处切线相同， 则 f(x1)g(x2)f(x1)g(x2) x1x2 所以 2x1a1 x2 x12ax11(lnx2a) x1x2 所以 x1 1 2x2 a 2，代入 x1x2 x2 x12ax11(lnx2a)得： 1 4x22 a 2x2lnx2 a2 4 a20(*) 设 F(x) 1 4x2 a 2xlnx a2 4 a2，则 F(x) 1 2x3 a 2x2 1 x 2x2ax1 2x3 不妨设 2x02ax010(x00)则当 0xx0时，F(x)0，当 xx0时，F(x)0 所以 F(x)在区间(0，x0)上单调递减，在区间(x0，)上单调递增， 代入 a12x0 2 x0 1 x02x0 可得：F(x)minF(x0)x022x01 x0lnx02 设 G(x)x22x1 xlnx2，则 G(x)2x2 1 x2 1 x0 对 x0 恒成立， 所以 G(x)在区间(0，)上单调递增，又 G(1)0 所以当 0x1 时 G(x)0，即当 0x01 时 F(x0)0, 又当 xea 2时 F(x)1 4e 2a 4 a 2ea 2lnea 2a2 4 a2 1 4( 1 ea 2a)20 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 6 页 共 53 页 因此当 0x01 时，函数 F(x)必有零点；即当 0x01 时，必存在 x2使得(*)成立； 即存在 x1，x2使得函数 f(x)上点(x1，f(x1)与函数 g(x)上点(x2，g(x2)处切线相同 又由 y1 x2x 得：y 1 x220 所以 y1 x2x(0，1)单调递减，因此 a 12x02 x0 1 x02x01) 所以实数 a 的取值范围是1，) 类型二类型二 利用导数研究函数的单调性问题利用导数研究函数的单调性问题: 一、前测回顾一、前测回顾 1已知函数 f(x)kx33(k1)x2k21(k0)， (1)若函数 f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数 k 的值为_； (2)若在(0,4)上为减函数，则实数 k 的取值范围是_ 答案：(1)1 3 (2) 0，1 3 解析：(1)f(x)3kx26(k1)x，由题意知 f(4)0，解得 k1 3，检验符合. (2)由 f(x)3kx26(k1)x，由题意知 f(4)0，解得 k1 3，又 k0，故 01 4时，由 f(x)0 得 x11 14a 2 ，x21 14a 2 ， 若1 40， 由 f(x)0，得 00，得 x20x2， 由 f(x)x1；由 f(x)0，得 0xx1. f(x)的单调减区间为(1 14a 2 ，)，单调增区间为 0，1 14a 2 . 综上所述：当 a1 4时，f(x)的单调减区间为(0，)； 当1 4af(x)恒成立，若 x10，所以 g(x)单调递增，当 x1x2 时，g(x1) 1 2时，(a1) 2 a20，则1 20 时，x(，a)，f(x)0，所以 f(x)在区间(，a)上是单调递增；x(a，0)，f (x)0 时，f(x)单调增区间为(， a)，(a，)，单调减区间为(a，0)，(0，a) 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 11 页 共 53 页 *9.设函数 f(x)lnx，g(x)axa1 x 3（aR） 求函数 (x)f(x)g(x)的单调增区间。 （考查函数单调性（考查函数单调性的讨论的讨论) 解析：因为 (x)f(x)g(x)lnxaxa1 x 3 (x0)， 所以 (x) 1 xa a1 x2 ax2x(a1) x2 (ax(a1)(x1) x2 （x0） 当 a0 时，由 (x)0，解得 x0； 当 a1 时，由 (x)0，解得 x a1 a ； 当 0a1 时，由 (x)0，解得 x0； 当 a1 时，由 (x)0，解得 x0； 当 a0 时，由 (x)0，解得 0xa1 a 所以，当 a0 时，函数 (x)的单调增区间为 (0，a1 a )； 当 0a1 时，函数 (x)的单调增区间为(0，)； 当 a1 时，函数 (x)的单调增区间为(a1 a ，) *10(15 年高考题).已知函数 f(x)x3ax2b(a，bR)，试讨论 f(x)的单调性 （考查函数单调性的讨论（考查函数单调性的讨论) 解析：(1) f(x)3x22ax，令 f(x)0，解得 x10，x22a 3 . 当 a0 时，因为 f(x)3x20(x0)，所以函数 f(x)在(，)上单调递增； 当 a0 时，x ，2a 3 (0，)时，f(x)0，x 2a 3 ，0 时，f(x)0) 当 x(，0)时，f(x)0； 当 x(0，a)时，f(x)0. 所以函数 f(x)的单调增区间为(，0)，(a，)，单调减区间为(0，a) (2) g(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)， 使不等式 g(x)x2ax20.又令 b(a)lna0，解得 a1， 当 a1 时，b 取得最小值1. 3. 函数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 时有极值 10，那么 ab 的值分别为_. 答案：15 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 14 页 共 53 页 4. 已知函数 f(x)lnxm x(mR)在区间1,e上的最小值为 4，则 m 答案：3e 5. 已知函数 f(x)ax2lnx1(aR)，求 f(x)在1，e上的最小值 解析： 解：f (x)2ax1 x 2ax21 x ， 当 a0 时，f (x)0，f(x)在1，e上为减函数，所以 f(x)的最大值为 f（1） ，最小值为 f（e）ae22 当 a0 时，令 f（x）0 得 2ax21， 由得 x 1 2a， （1）若 1 2a1，即 a 1 2时，f (x)0，f(x)在1，e上为增函数， 最小值为 f（1）a1 （2）若 1 1 2ae，即 1 2e2a 1 2时，f(x)在（1， 1 2a）上为减函数，在（ 1 2a，e）上为增函数， 当 x 1 2a，函数 f(x)取得极小值，同时也是最小值 f（ 1 2a） 1 2(ln2a1) （3）若 1 2ae，即 a 1 2e2时，f(x)在（1，e）上为减函数，最小值为 f(e)ae 22 综上，当 a 1 2e2时，f(x)在1，e上的最小值为 f(e)ae 22 当 1 2e2a 1 2时，f(x)在1，e上的最小值为 f( 1 2a) 1 2(ln2a1) 当 a1 2时，f(x)在1，e上的最小值为 f(1)a1 二、方法联想二、方法联想 (1)求函数的极值求函数的极值(或最值或最值) 步骤：求函数的定义域； 求 f (x)0 在区间内的根； 讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值 将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值 (2)已知函数的极值点已知函数的极值点 x0，求参数的值，求参数的值 方法：根据取极值的必要条件 f (x0)0，求出参数的值， 要注意验证 x0左右的导数值的符号是否符合取极值的条件。 (3)已知含参函数的极值点讨论已知含参函数的极值点讨论 分类讨论根据 f (x)0 解（判断为极值点）的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、中、 右”，对四种分类标准进行取舍(或合并)； 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 15 页 共 53 页 注意数形结合 三、三、方法应用方法应用 例 1 （1）已知函数 2 ( )1( )ln()f xxaxg xxa a R，当1a 时，求函数( )( )( )h xf xg x的 极值 （2）(2018 全国卷)已知函数 f(x)2sinxsin2x，求 f(x)的最小值 解析： （1）函数( )h x的定义域为(0,) 当1a 时， 2 ( )( )( )ln2h xf xg xxxx， 所以 1(21)(1) ( )21 xx h xx xx 所以当 1 0 2 x时，( )0h x，当 1 2 x 时，( )0h x， 所以函数( )h x在区间 1 (0, ) 2 单调递减，在区间 1 ( ,) 2 单调递增， 所以当 1 2 x 时，函数( )h x取得极小值为11+ln2 4 ，无极大值 （2）由 f(x)2sinxsin2x，得 f(x)2cosx2cos2x4cos2x2cosx2，令 f(x)0，得 cosx1 2或 cosx 1，可得当 cosx 1，1 2 时，f(x)0，f(x)为增函数， 所以当 cosx1 2时，f(x)取最小值，此时 sinx 3 2 .又因为 f(x)2sinx2sinxcosx2sinx(1cosx)，1 cosx0 恒成立，f(x)取最小值时，sinx 3 2 ，f(x)min2 3 2 11 2 3 3 2 . 例 2 （1）已知函数 f(x)1 3x 3x22ax1，若函数 f(x)在(1，2)上有极值，则实数 a 的取值范围 为 （2）已知函数 f (x)x3ax2bxa27a 在 x1 处取得极大值 10，则a b的值为_. 极值（最值或 单调性问题） 方程无解 有解在开区间内，列表求最值 所有解在开区间外 优先用十字相乘法求解 f(x)=0 方程有解 区间左侧 区间右侧 （通分） （先舍掉解， 再比较解的 大小） f(x)恒正或恒负，利用单调性求最值 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 16 页 共 53 页 答案： （1）(3 2，4) （2） 2 3 解析： （1）由题意得 f(x)在(1，2)上有零点，即 x22x2a0a 1 2 (x 22x)(3 2，4) （2）由题意知 f (x)3x22axb，f (1)0，f (1)10， 即 32ab0， 1aba27a10，解得 a2， b1 或 a6， b9， 经检验 a6， b9 满足题意，故a b 2 3. 例 3 （扬州市 2017 届高三上学期期末）已知函数 f(x)g(x)h(x)，其中函数 g(x)ex，h(x)x2 axa当 0a2 时，求函数 f(x)在 x2a,a上的最大值； 解析： （2） 2 ( )() x f xexaxa， 故 ( ) (2)() x fxxxa e， 令 ( ) 0fx ，得xa或2x . 当22a,即01a时，( )f x在 2 ,aa上递减，在, a a上递增， 所以 max ( )max( 2 ), ( )f xfaf a, 由于 22 ( 2 )(2) a faaa e， 2 ( )(2) a f aaa e，故( )( 2 )f afa， 所以 max ( )( )f xf a; 当22a,即12a时，( )f x在 2 , 2a上递增， 2,a上递减，在, a a上递增， 所以 max ( )max( 2), ( )f xff a， 由于 2 ( 2)(4)fa e， 2 ( )(2) a f aaa e，故( )( 2)f af， 所以 max ( )( )f xf a; 综上得， 2 max ( )( )(2) a f xf aaa e 例 4已知函数 g(x)1 3x 31 2ax 2(xa)cosxsinx，aR，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极 值时求出极值 解析：因为 g(x)1 3x 31 2ax 2(xa)cosxsinx 所以 g(x)f(x)cosx(xa)sinxcosx， x(xa)(xa)sinx (xa)(xsinx)， 令 h(x)xsinx，则 h(x)1cosx0，所以 h(x)在 R 上单调递增， 因此 h(0)0，所以，当 x0 时，h(x)0；当 x0 时 h(x)0 （1） 当 a0 时，g(x)(xa)(xsinx)， 当 x(，a)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增； 当 x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递减； 当 x(0，)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增 所以，当 xa 时，g(x)取到极大值，极大值是 g(a)1 6a 3sina， 当 x0 时，g(x)取到极小值，极小值是 g(0)a 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 17 页 共 53 页 （2） 当 a0 时，g(x)x(xsinx)， 当 x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增； 所以，g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值 （3） 当 a0 时，g(x)(xa)(xsinx)， 当 x(，0)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增； 当 x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递减； 当 x(a，)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增 所以，当 x0 时，g(x)取到极大值，极大值是 g(0)a； 当 xa 时，g(x)取到极小值，极小值是 g(a)1 6a 3sina 综上所述： 当 a0 时，函数 g(x)在(，a)和(0，)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数既有极大值， 又有极小值，极大值是 g(a)1 6a 3sina，极小值是 g(0)a 当 a0 时，函数 g(x)在(，)上单调递增，无极值； 当 a0 时，函数 g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值， 又有极小值，极大值是 g(0)a，极小值是 g(a)1 6a 3sina 例 5 （2018 南京学期调研）已知函数 f(x)2x33(a+1)x26ax，aR若 a1，设函数 f(x)在区间1， 2上的最大值、最小值分别为 M(a)、m(a)，记 h(a)M(a)m(a)，求 h(a)的最小值 解析：因为 f(x)2x33(a1)x26ax， 所以 f (x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)，f(1)3a1，f(2)4 令 f (x)0，则 x1 或 a f(1)3a1，f(2)4 当 1a5 3时， 当 x(1，a)时，f (x)0，所以 f(x)在(1，a)上单调递减； 当 x(a，2)时，f (x)0，所以 f(x)在(a，2)上单调递增 又因为 f(1)f(2)，所以 M(a)f(2)4，m(a)f(a)a33a2， 所以 h(a)M(a)m(a)4(a33a2)a33a24 因为 h (a)3a26a3a(a2)0， 所以 h(a)在(1，5 3上单调递减， 所以当 a(1，5 3时，h(a)最小值为 h( 5 3) 8 27 当5 3a2 时， 当 x(1，a)时，f (x)0，所以 f(x)在(1，a)上单调递减； 当 x(a，2)时，f (x)0，所以 f(x)在(a，2)上单调递增 又因为 f(1)f(2)，所以 M(a)f(1)3a1，m(a)f(a)a33a2， 所以 h(a)M(a)m(a)3a1(a33a2)a33a23a1 因为 h (a)3a26a33(a1)20 所以 h(a)在(5 3，2)上单调递增， 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 18 页 共 53 页 所以当 a(5 3，2)时，h(a)h( 5 3) 8 27 当 a2 时， 当 x(1，2)时，f (x)0，所以 f(x)在(1，2)上单调递减， 所以 M(a)f(1)3a1，m(a)f(2)4， 所以 h(a)M(a)m(a)3a143a5， 所以 h(a)在2，)上的最小值为 h(2)1 综上，h(a)的最小值为 8 27 例 6 （常州市 2016 届高三上期末）已知 a，b 为实数，函数 f(x)ax3bx，当 a1 且 b1,3时，求 函数 F(x)|f(x) x lnx|2b1(x1 2，2)的最大值 M（b） 解析：F(x)|x2lnxb|2b1， 记 t(x)x2lnx，x 1 2，2 ，则 t(x)2x 1 x， 令 t(x)0，得 x 2 2 .(1 分) 当1 2x 2 2 时，t(x)0，t(x)在 1 2， 2 2 上为单调减函数； 当 2 2 x2，t(x)0，t(x)在 2 2 ，2 上为单调增函数， 又 t 1 2 1 4ln2，t(2)4ln2，t 2 2 1ln2 2 ，且 t(2)t 1 2 15 4 2ln20， 所以 t(x)的取值范围为 1ln2 2 ，4ln2 .(3 分) 当 b1，3时，记 v(t)|tb|2b1，则 v(t) t3b1，1ln2 2 tb， tb1，bt4ln2. 因为函数 v(t)在 1ln2 2 ，b 上单调递减，在(b，4ln2上单调递增， 且 v 1ln2 2 3b1ln2 2 ，v(4ln2)b5ln2， v 1ln2 2 v(4ln2)2bln29 2 ， 所以当 b9ln2 4 时，最大值 M(b)v(4ln2)b5ln2， 当 b9ln2 4 时，最大值 M(b)v 1ln2 2 3b1ln2 2 ， 所以 M(b) b5ln2，1b9ln2 4 ， 3b1ln2 2 ，9ln2 4 b3. 四、四、归类巩固归类巩固 * 1已知函数 f(x)lnxx，则函数 f(x)的极大值为 (考查利用单调性判断极值考查利用单调性判断极值) 答案：1 解析：函数 f(x)的定义域为(0，) 当 a0 时，f(x)lnxx，f(x)1 x1， 令 f(x)0 得 x1.(1 分) 南京市南京市 2019 届高三届高三数学数学二轮专题复二轮专题复习资料习资料 第 19 页 共 53 页 列表： x (0，1) 1 (1，) f(x) 0 f(x) 极大值 f(x)的极大值为 f(1)1. *2已知 a 是函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a (考查考查已知已知极值点求参数取值极值点求参数取值) 答案：2 *3.已知函数 h(x)2 3h(1)x 21 2lnx，求函数 h(x)的极值 (考查利用单调性判断极值考查利用单调性判断极值) 解析：h(x)4 3h(1)x 1 x，所以 h(1) 4 3h(1)1，所以 h(1)3，则 h(x)2x 21 2lnx， h(x)4x1 x （2x1）（2x1） x (x0)， 令 h(x)0，得 x1 2或 x 1 2(舍去)， 当 0x0， 此时函数 h(x)在 1 2， 上单调递增， 当 x1 2时，h(x)有极小值 h 1 2 1ln2. * 4 已知函数f(x)的导函数f (x)a(x1)(xa)， 若f(x)在xa处取到极大值， 则a的取值范围是_ （已知极大（小）值点，求参数范围）（已知极大（小）值点，求参数范围） 答案：(1,0) 解析：因为 f(x)在 xa 处取到极大值，所以 xa