2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十六）

2019年高考理科数学考前30天-计算题专训（十六）17（10分）的内角的对边分别为（1）若，求面积的最大值；（2）若，求的值【答案】（1）面积的最大值为；（2）【解析】试题分析：（1）有余弦定理易得，结合均值不等式得：，又，从而面积的最大值可得；（2）由正弦定理得，从而，又，故可求得的值试题解析：（1）由余弦定理得，即，所以，因为，所以，即（当且仅当时，等号成立），所以，故面积的最大值为（2）由正弦定理得，所以，所以，又因为，所以，所以，故为锐角，所以，所以 18（12分）已知正项数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列前项和的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由推得，即，其中，故而得到数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和试题解析：（1）当时，即，解得，：，所以，即，因为是正项数列，所以，即，其中，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以（2）因为，所以，所以，所以19（12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，为等边三角形，（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标，平面的法向量，平面的法向量，从而得到二面角的余弦值试题解析：（1）如图取的中点，连接，依题意且，所以四边形是平行四边形，所以因为是中点，所以，故，所以为等边三角形，所以，因为，所以，所以平行四边形为菱形，所以，所以，即，又已知，所以平面，平面，所以平面平面（2）由（1）知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标设，则，所以，所以设平面的法向量，则，令，则，所以同理可得平面的法向量，所以，所以二面角的余弦值为20（12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）随机变量的分布列为：【解析】试题分析：（1）由条件可得：，；（2）由题意知服从二项分布，从而得到分布列及期望试题解析：（1）设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：，解得，又因为，所以（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为：，由题意知服从二项分布，所以随机变量的分布列为：21（12分）已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点（1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为，的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为，从而得到的范围试题解析：（1）依题，所以（为定值），所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，所以点轨迹的方程是（2）当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设的方程为，的方程为，则的方程为，的方程为，其中，直线与间的距离为，同理直线与间的距离为，所以，因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，所以，（当且仅当时，不等式取等号），所以，即，由可知，22（12分）已知函数（1）研究函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）在上单调递增；（2）【解析】试题分析：（1）二次求导确定函数的单调区间；（2）不等式在上恒成立在上恒成立，转求的最小值即可试题解析：（1）易知函数的定义域为，设，则，当时，当时，所以，故，所以在上单调递增（2）依题在上恒成立，设，则在上恒成立，欲使在上恒成