高中数学 1.2.2.2 等差数列习题课同步课件 北师大版必修5.ppt

,等差数列的基本运算基本运算的方法与技巧在等差数列an中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法.但有些问题利用等差数列的性质不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差数列问题的认识.,【例1】若两个等差数列an和bn的前n项和分别为sn和tn，已知，则=()(a)7(b)(c)(d)【审题指导】这是一道很普通的等差数列的题目，分析已知是,而要求的是，所以我们可以从已知的前n项和之比下手，可以从基本量的运算入手，也可以运用等差中项的方法构造前n项和，还可以运用赋值法等.,【规范解答】选d.方法一：（基本量元素运算法）等差数列an，bn的公差分别为d1和d2，则，则有又由于观察可在中取n=9得即，选d.,方法二：（等差中项法）选d.方法三：（赋值法）a1=,又即10a1+5d1=28b1+14d2又即6a1+6d1=21b1+21d2由解之得：b1=，d1=2a1，d2=,选d.,方法四：（前n项和公式特征法）等差数列前n项和sn=an2+bn，即sn=an(n+)，根据已知，可设sn=7nkn，tn=(n+3)kn，a5=s5-s4=(75)k5-(74)k4=63k，b5=t5-t4=(5+3)k5-(4+3)k4=12k，所以，故选d.,【互动探究】若把本例的条件改为,你能求的值吗？【解析】方法一：由例题方法二知：取n=3，则有,方法二：设an=k(2n-1)，bn=k(3n-1)，则a1=k，b1=2k，sn=tn=,根据sn求an已知sn求an的步骤第一，令n=1,则a1=s1,求得a1；第二，令n2，则an=sn-sn-1；第三，验证a1与an的关系，若a1适合an,则an=sn-sn-1，若a1不适合an，则an=,若用an+1=sn+1-sn(nn+)，虽然不用分情况讨论，但此时不包括第1项a1,仍需验证a1是否满足.,【例2】已知数列an的前n项和sn=+3,则数列an的通项公式是_.【审题指导】利用an=sn-sn-1(n2)，注意验证a1是否满足求出的an.,【规范解答】当n=1时，a1=s1=104,当n2时，an=sn-sn-1=-3n+104.a1不适合an=-3n+104(n2),an的通项公式为an=答案：an=,【变式训练】已知数列an的前n项和sn=12n-n2，则数列an的通项公式为_.【解析】当n=1时，a1=s1=121-12=11;当n2时，an=sn-sn-1=（12n-n2）-12(n-1)-(n-1)2=13-2n.当n=1时，a1=11也符合13-2n的形式.所以,数列an的通项公式为an=13-2n.答案：an=13-2n,等差数列前n项和的最值问题解决前n项和最值问题的方法与技巧（1）求数列前n项和的最值问题的方法：运用配方法转化为二次函数，借助函数的单调性，利用数形结合方法，使问题得解;通项公式法：求使an0(或an0)成立的最大n即可.,（2）一般地，在等差数列an中，若a10,且sp=sq(pq),则当p+q为偶数时，则n=时，sn最大;当p+q为奇数时，则n=或n=时，sn最大.,【例3】在等差数列an中，a10,sn有最小值.又nn+,n=10或n=11时，sn取最小值.方法二：由且得解得10n11.nn+,n取10或11时sn取最小值.,方法三：s9=s12,a10+a11+a12=0.3a11=0.a11=0.a1m时，|an|的前n项和tn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-am+am+1+an=sn-2sm.,【例】在数列an中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an(nn+)(1)求数列an的通项公式；(2)设sn=|a1|+|a2|+|an|，求sn；【审题指导】首先利用递推关系判断出an为等差数列，根据已知求得an的通项公式，然后按照求解策略求出sn.,【规范解答】（1）由题意知：an+2-an+1=an+1-an，an为等差数列，设公差为d，a1=8,a4=2，得2=8+3dd=-2，an=8-2(n-1)=10-2n.（2）由（1）知an=10-2n，令10-2n0，得n5，即数列an的前5项为非负数，后面为负数，所以,当n5时，sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=n=9n-n2,当n6时，sn=a1+a2+a5-a6-a7-an=-sn+2s5=n2-9n+40综上可知sn=,【变式备选】在等差数列an中，a16+a17+a18=a9=-36，其前n项和为sn.（1）求数列an的通项公式.（2）求|an|的前n项和tn.【解题提示】首先利用方程的思想求得首项和公差，写出通项公式，然后按照求解策略求|an|的前n项和tn.,【解析】（1）由已知：解得，所以等差数列an的通项公式为an=3n-63.（2）由（1）可知当n21时，an0，当n22时，an0.,所以当n21时，|an|的前n项和tn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-an=-sn=当n22时，|an|的前n项和tn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-a21+a22+an=sn-2s21=综上所述tn=,【典例】（2011湖北高考）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升.【审题指导】这是一个实际应用题.首先需要把它转化为数列问题，然后根据数列的知识进行求解.解决的关键是设出首项a1和公差d,表示已知和未知.,【规范解答】设该数列an的首项为a1，公差为d，依题意,即，解得，则a5=a1+4d=a1+7d-3d=，所以应该填.答案：,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】在等差数列an中，前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，求项数n.【解析】a1+a2+a3+a4=25,an+an-1+an-2+an-3=63,4(a1+an)=88,a1+an=22,sn=11n=286,n=26.,1在等差数列an中，公差da2a3an.nansnna1，故选c.,2等差数列的和135(4n1)等于()（a）n(2n1)（b）(2n-1)2（c）(n2)(2n1)（d）(2n1)2【解析】选d.首项为1，公差为2，项数为n，由4n11(n-1)2，得n2n1.s(2n1)2，故选d.,3.数列an的前n项和为sn,若an=,则s5等于()（a）1（b）（c）（d）【解析】选b.an=,s5=1-+,4等差数列an的前9项和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=_.【解析】由题意得91+=41+,解得d=,则ak=1+(k-1)()=a4=1+3()=.由ak+a4=