高中数学 第三讲 排序不等式课件 新人教A版选修45.ppt

三排序不等式,1.顺序和、乱序和、反序和的概念.设有两个有序实数组:a1a2an;b1b2bn,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任意一个排列.(1)顺序和:_(2)乱序和:_(3)反序和:_,a1b1+a2b2+anbn,a1c1+a2c2+ancn,a1bn+a2bn-1+anb1,2.排序不等式(排序原理).设有两个有序实数组:a1a2an;b1b2bn,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,则_a1c1+a2c2+ancn_,当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时,反序和等于顺序和.,a1bn+a2bn-1+anb1,a1b1+a2b2+anbn,1.使用排序不等式的关键是什么?提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.,2.如图所示,矩形opaq中,a1a2,b1b2,则阴影部分的矩形的面积之和空白部分的矩形的面积之和.【解析】这可沿图中线段mn向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a1b1+a2b2,而空白面积=a1b2+a2b1.根据顺序和反序和可知答案.答案:,3.已知两组数1,2,3和45,25,30,若c1,c2,c3是45,25,30的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是,最小值是.【解析】,答案:220180,1.对排序不等式的证明的理解对排序不等式的证明中,用到了“探究猜想检验证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了“一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法,所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解.,对于出现的“逐步调整比较法”,则要引起注意,研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时,这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的.,2.排序原理的思想在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.,类型一利用排序不等式求最值【典型例题】1.(2013成都高二检测)设a，b，c为正数，则的最小值为_2.用a，b，c表示abc的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求的最小值.,【解题探究】1.题1中要利用排序不等式求解最小值，关键是什么？2.题2中的对解题有什么暗示？探究提示：1.要利用排序不等式求解的最小值关键是找出两组有序数组，然后根据反序和乱序和顺序和求解最小值.,2.题2中的分子出现了三角形的边与角的积，结合排序原理可以考虑寻找的两组有序实数组为a,b,c和a,b,c.,【解析】1.不妨设abc，于是abcabc.则由排序不等式：顺序和乱序和得：,两式相加得：所以当且仅当abc时，等号成立所以的最小值为答案：,2.由对称性，不妨设abc,于是abc，于是由顺序和乱序和，可得aa+bb+cc=aa+bb+cc,aa+bb+ccab+bc+ca,aa+bb+ccac+ba+cb.将上面三式相加可得3(aa+bb+cc)(a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c).因为a+b+c0，所以所以的最小值为,【互动探究】题2中，若条件不变，你能证明吗？【证明】由0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,有0a(b+c-a)+c(a+b-c)+b(a+c-b)=a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)=a(-2a)+b(-2b)+c(-2c)=(a+b+c)-2(aa+bb+cc).得,【拓展提升】利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时,先要对待证不等式及已知条件仔细分析,观察不等式的结构,明确两个数组的大小顺序,分清顺序和、乱序和及反序和,由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的一个即可.一般最值是顺序和或反序和.,【变式训练】设a1，a2，a3为正数，且a1a2a31，求的最小值【解析】不妨设a3a1a20，则所以a1a20,则且a12b12c120,则,【易错误区】不能正确寻找有序实数组致误【典例】(2013榆林高二检测)一般地，对于n个正数a1,a2,an.几何平均数算术平均数利用排序不等式可以判断gn，an的大小关系为_.,【解析】令则b1b2bn=1，故可取x1,x2,xn0，使得由排序不等式有：当且仅当x1=x2=xn时取等号，所以即即angn.答案：angn,【误区警示】,【防范措施】1.关于寻找有序实数组利用排序不等式的关键是正确地寻找两组有序实数组，构造的恰当是正确解题的前提，如本例中处的构造，恰好能够解决反序和为n，使得问题得以解决.2.关于等号成立的条件对于利用排序不等式求解完成后，一定要说明等号成立的条件，若取不到等号也应该说明原因，使得解题更加清晰和准确，如本例中的错解忽视了等号成立的条件，导致不得分.,【类题试解】设a1,a2,an是1，2，n的一个排列，则an与bn的大小关系为_.【解析】设b1,b2,bn-1是a1,a2,an-1的一个排列，且b1b2bn-1；c1,c2,cn-1是a2,a3,an的一个排列，且c1c20.由排序不等式得:a2a+b2b+c2ca2b+b2c+c2a.所以pq.,3.已知两组数a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+a5c5的最大值和最小值分别是()a.132,6b.304,212c.22,6d.21,36,【解析】选b.由顺序和最大知,最大值为:a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,由反序和最小知,最小值为:a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.,4.设ab0,则a3+b3与a2b+ab2的大小关系是.【解析】因为ab0,所以a2b20,因此a3+b3a2b+ab2(排序不等式).答案:a3+b3a2b+ab2,5.n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为_.【解析】设0a1a2a3an,则因为反序和乱序和顺序和，所以最小值为反序和答案：n,6.设a,b,c都是正数，求证：【证明】由题意不妨设abc0.由不等式的性质，知a2b2c2,