高中数学 第三讲 二维形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45.ppt

第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式,二维形式的柯西不等式,(ac+bd)2,1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以写成吗?提示：不可以.当bd=0时，柯西不等式成立，但不成立.,2设x，yr，且2x3y13，则x2y2的最小值为_.【解析】根据二维形式的柯西不等式可得：(2x3y)2(2232)(x2y2)，又因为2x3y13，所以x2y213.答案：13,3.设a=(-2,2),b=6，则ab的最小值是_，此时b=_.【解析】因为abab,所以当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立，所以所以ab的最小值为此时答案：,1.对二维柯西不等式的向量形式的理解(1)柯西不等式的向量形式中，取等号的条件是是零向量或者共线，我们可以从向量的数量积角度来理解记忆.,(2)“二维”是对向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横坐标与纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.(3)二维柯西不等式的代数形式与向量形式是一致的，只是表现形式不同.,2.二维形式的柯西不等式的变式,类型一二维形式柯西不等式代数形式的应用【典型例题】1.已知3x22y26，则2xy的最大值为_.2.已知求证：a2+b2=1.【解题探究】1.题1中，结合已知条件与待求的式子，应该怎样建立关系使用柯西不等式？2.题2中的已知条件应该如何利用？,探究提示：1.把待求式子进行平方得到(2xy)2并结合已知条件进行变换，利用二维形式的柯西不等式找到不等关系，从而求得待求式子的最大值.2题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似，可以考虑利用柯西不等式进行转化，通过要证明是等式，考虑柯西不等式等号成立的条件即可.,【解析】1.所以所以2xy的最大值为答案：,2.由柯西不等式，得当且仅当时，上式取等号，所以于是a2+b2=1.,【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的代数形式的证题技巧(1)要抓住柯西不等式的结构特征.(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,其中a,b,c,dr,或,其中a,b,c,dr+.然后进行整体换元、应用.(2)证题时往往需要将数学表达式适当变形，这种变形要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征.,【变式训练】已知a,br+,求证：【证明】因为a,br+,所以a+b0,所以当且仅当即a=b时，等号成立.即,类型二二维形式柯西不等式向量形式的应用【典型例题】1.已知abc,若恒成立，则k的最大值是_.2.已知求函数的最大值，并说明等号成立的条件.,【解题探究】1.解决题1时怎样构造向量,用向量形式的柯西不等式求解？2.题2中对利用柯西不等式有什么暗示？探究提示：1.结合柯西不等式的向量形式可构造如下向量2.f(x)可看作是m=(3,4)与的数量积.,【解析】1.设由abab得：即所以kmax=4.答案：4,2设m=(3,4)，则根据柯西不等式的向量形式可得：当且仅当mn时上式取等号，此时，而且解得所以当时，取最大值为,【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的向量形式的证明技巧与方法应用二维形式柯西不等式的代数形式证题时常需要构造两列数.同样，向量形式的柯西不等式需要构造两个向量，通常我们使构造的向量满足待证不等式一侧的形式，再证另一侧.同时要注意向量模的计算公式对数学式子的影响.,【变式训练】求函数的最大值【解析】由题可知函数的定义域满足即x1,5，令而,当且仅当即时，取等号所以y的最大值为,【易错误区】构造柯西不等式的形式错误而致误【典例】(2013沈阳高二检测)若实数x,y满足则x2+2y2的最小值为_.,【解析】由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，即时，x2+2y2有最小值为答案：,【误区警示】,【防范措施】1.关注形式特点利用二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,取等号的条件是ad=bc,因此在解题时,对照柯西不等式,必须弄清要求的问题中哪样的数或代数式分别相当于柯西不等式中的“a,b,c,d”,否则容易出错，如本例中对转化时易出现错误.,2.注重等号条件在利用二维形式的柯西不等式解题时，一定要写明等号成立的条件，否则题目的解题过程是不完善的，如本例中忽视处的等号成立的条件说明，会在解答题中扣分的.,【类题试解】函数的最大值为_.【解析】由得x-2,1由题意知，y0,根据柯西不等式得因为所以00,b0,a+b=2，则的最小值是()a.b.4c.d.5【解析】选c.由柯西不等式可知：由a+b=2，可知当且仅当即b=2a时，解得的最小值为,4函数的最大值为_【解析】由非负且所以答案：,5.已知a,br+,且