高中数学 （主干知识+典例精析）7.8直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示课件 理 新人教B版.ppt

第八节直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示,三年4考高考指数:1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).,1.用直线的方向向量和平面的法向量证明线线、线面的平行关系及垂直关系是本节的重点.2.多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力及数形结合思想.,1.直线的方向向量和平面的法向量,式通常称为一个平面的_.,基线与平面_的向量显然一个平面的法向量也不唯一,平面的法向量可利用方程组求解，设是平面内两个不共线的向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为,设a是空间任一点，为空间内任一非零向量，任取两点m1、m2(m1、m2和a三点不共线)，且则适合条件=0的点m都在平面am1m2内.,m,m1,a,垂直,向量,表示式,m2,【即时应用】(1)思考：如何确定直线的方向向量？在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：在直线上任取两点，由这两点确定的向量即可作为直线的方向向量.给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标,(2)若是平面内的三点，设平面的法向量n=(x,y,z)，则xyz=_.【解析】由得所以xyz=y()=23(-4)答案：23(-4),2.直线的方向向量与平面的法向量与线面的位置关系,l1l2,l1l2,l,l,【即时应用】(1)若平面,的法向量分别为a=(1,2,4)，b=(x，-1，-2)，并且，则x的值为_(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是_【解析】(1)由得ab=0，解得x10.(2)由ab=2(-6)+49+(-4)6=0得ab，从而l1l2答案：(1)10(2)l1l2,利用空间向量证平行、垂直【方法点睛】1.用向量证平行的方法,证明两直线的方向向量共线.,（1）证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；,（2）证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.,（1）证明两平面的法向量为共线向量；,（2）转化为线面平行、线线平行问题.,2用向量证明垂直的方法,【提醒】用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外.,【例1】(1)若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()(a)a(1,0,0)，n(2,0,0)(b)a(1,3,5)，n(1,0,1)(c)a(0,2,1)，n(1,0，1)(d)a(1，1,3)，n(0,3,1),(2)如图所示,在四棱锥p-abcd中,pc平面abcd,pc=2,在四边形abcd中,b=c=90,ab=4,cd=1,点m在pb上,pb=4pm,pb与平面abcd成30的角.求证:cm平面pad;求证:平面pab平面pad.,【解题指南】(1)验证an=0是否成立即可.(2)建立空间直角坐标系.可证明与平面pad的法向量垂直；也可将分解为平面pad内的两个向量的线性组合，利用共面向量定理证明.取ap中点e，利用向量证明be平面pad即可.【规范解答】(1)选d.若l，则an=0.经验证知，d满足条件.,(2)由题意可知：以c为坐标原点,cb所在直线为x轴,cd所在直线为y轴，cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.pc平面abcd,pbc为pb与平面abcd所成的角，pbc=30.,b,m,p,c,d,a,z,x,y,pc=2,bc=pb=4.d(0,1,0),b(0,0),a(4,0),p(0,0,2),m,方法一:令n=(x,y,z)为平面pad的一个法向量,则即令y=2,得n又cm平面pad，cm平面pad.,方法二:假设平面pad，则存在x,y使则方程组的解为由共面向量定理知与共面，故假设成立，又cm平面pad,cm平面pad.,取ap的中点e,连接be，则e(2,1),pb=ab,bepa.又(3，0)=0，beda，又pada=a.be平面pad,又be平面pab,平面pab平面pad.,b,m,p,c,d,a,z,x,y,e,【互动探究】本例(2)的条件不变，结论改为“求证：abcm.”则如何用向量法证明？【证明】由本例的解题过程可知=(0,-4,0),即abcm.,【反思感悟】1.利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法.2.用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问题.,【变式备选】如图,已知直三棱柱abc-a1b1c1中,abc为等腰直角三角形,bac=90,且ab=aa1,d、e、f分别为b1a、c1c、bc的中点.求证:(1)de平面abc;(2)b1f平面aef.,【证明】如图建立空间直角坐标系axyz,令ab=aa1=4,则a(0,0,0),e(0,4,2),f(2,2,0),b(4,0,0),b1(4,0,4).(1)取ab中点为n,则n(2,0,0),c(0,4,0),d(2,0,2),=(-2,4,0),=(-2,4,0),denc,又nc在平面abc内,de不在平面abc内，故de平面abc.,(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0),=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0，则b1fef，=(-2)2+22+(-4)0=0.即b1faf,又affe=f,b1f平面aef.,异面直线所成的角【方法点睛】异面直线所成角的求法方法一：(1)平移：要充分挖掘图形的性质,寻找平行关系,如利用“中点”特征等.(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角.(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.,(4)取舍：因为异面直线所成的角的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.方法二：利用空间向量求异面直线所成的角可利用直线的方向向量转化成向量所成的角.,【例2】在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，dab=60，对角线ac与bd交于点o,po平面abcd,pbo=60.(1)求四棱锥的体积;(2)若e是pb的中点,求异面直线de与pa所成角的余弦值.【解题指南】对(1)只需求出高po,易得体积;对(2)可过e点作pa的平行线,构造三角形再求解;亦可建立空间直角坐标系，用向量的方法加以解决.,【规范解答】(1)在四棱锥pabcd中,底面是菱形，dab=60，abd为等边三角形，对角线acbd.在rtaob中,bo=absin30=1,ao=abcos30=po平面abcd，pbo=60,poob,po=botan60=底面菱形的面积sabcd四棱锥pabcd的体积vpabcd=,(2)方法一：取ab的中点f,连接ef，df,e为pb中点，efpa,def为异面直线de与pa所成角(或其补角).在rtaob中,ao=op,在rtpoa中,pa=ef=由题意可知abd和pdb都为正三角形，在正三角形abd和正三角形pdb中,df=de=,即异面直线de与pa所成角的余弦值为,方法二：以o为坐标原点，建立空间直角坐标系.由已知得,oa=oc=ob=od=1，异面直线de与pa所成角的余弦值为,【反思感悟】异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意它们的联系和区别：(1)当所求异面直线的方向向量的夹角是钝角时，所得异面直线的夹角与此钝角互补，是一个锐角;(2)当所求异面直线的方向向量的夹角是锐角或直角时，此角即为两异面直线所成的角.,【变式训练】正方体abcda1b1c1d1中,(1)求ac与a1d所成角的大小;(2)若e、f分别为ab、ad的中点，求bc1与ef所成角的大小.【解析】方法一：(1)如图，连接b1c,ab1，abcda1b1c1d1是正方体，a1db1c,从而b1c与ac所成的锐角或直角就是ac与a1d所成的角.ab1=ac=b1c,b1ca=60,即a1d与ac所成的角为60.,(2)连接bd.在正方形abcd中，e，f分别为ab，ad的中点，efbd,bd与bc1所成的锐角或直角即为ef与bc1所成的角，连接c1d由bc1=bd=c1d知bc1d是正三角形，c1bd=60，即所求角为60.,方法二：以d为坐标原点建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为1,则a(1，0，0)，b(1，1，0)，c(0，1，0)，a1(1，0，1)，c1(0，1，1)，e(1，0)，f(0，0).,即ac与a1d所成的角为60.,即bc1与ef所成的角为60.,利用向量法解决开放性问题【方法点睛】用向量法解答开放性问题的思路1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决.2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.,【例3】如图，已知正方形obcd所在平面与等腰直角三角形aod所在平面互相垂直，oa=od=4，点e、f分别为cd、oa的中点.(1)求证：df平面aeb；(2)线段ad上是否存在一点m，使bm与平面aeb所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.,【解题指南】第(1)问用传统方法证明，即利用中位线定理在平面aeb内找一条直线与df平行；第(2)问用向量法解答比较容易入手.,【规范解答】(1)如图，取ab中点g，连结fg，eg；fgob，fgde，又fg=ob，de=ob，fg=de，四边形edfg为平行四边形，dfeg，又eg平面aeb，df平面aeb，df平面aeb.,(2)依题意知平面obcd平面aod，obod，ob平面aod，得oboa，又aood，obod.如图，以o为原点，建立空间直角坐标系oxyz，ao=od=4，可得a(0，4，0)、e(4，0，2)、b(0，0，4)，=(4，-4，2)，=(0，-4，4).,设平面aeb的一个法向量为n=(1，b，c)，由得解得b=2，c=2，n=(1，2，2).设线段ad上存在一点m(t，4-t，0)，其中0t4，则=(t,4-t,-4).,依题意：即依题意：可得t2+2t-8=0，解得t=2或t=-4(舍去).所以ad上存在一点m(2，2，0)，它是ad的中点，所以,【反思感悟】1.由已知中点可以寻找另一中点作中位线，由此得线线平行证出线面平行；2.题中的三线垂直关系不明显时，需要证明出来，以便建立空间直角坐标系;3.存在性问题，通常都是假设存在，如本题存在点m，转化为求m的横坐标有解的问题，把m看作已知点，然后根据线面角的求法列出表达式进行求解.,【变式训练】(2012沈阳模拟)正abc的边长为4，cd是ab边上的高，e，f分别是ac和bc边的中点，现将abc沿cd翻折成直二面角a-dc-b.(1)试判断直线ab与平面def的位置关系，并说明理由;(2)在线段bc上是否存在一点p，使apde?证明你的结论.,【解析】(1)ab平面def.理由如下：如图：在abc中，由e、f分别是ac、bc的中点，得efab,又ab平面def，ef平面def.ab平面def.,(2)以d为坐标原点，建立空间直角坐标系dxyz.方法一：在平面直角坐标系xdy中，直线bc的方程为设则=(x,-2)，=(0，1)，所以在线段bc上存在点p，使apde.,方法二：设p(x,y,0)，则又把代入上式得所以在线段bc上存在点p使apde.,【满分指导】利用空间向量解答立体几何中的平行、垂直问题的规范解答【典例】(12分)(2011陕西高考)如图，在abc中，abc=60，bac=90，ad是bc上的高，沿ad把abd折起，使bdc=90.,(1)证明：平面adb平面bdc；(2)设e为bc的中点，求与夹角的余弦值.【解题指南】(1)先确定图形折叠后的已知线段和已知角；再根据面面垂直的判定定理进行判断；(2)建立空间直角坐标系后，根据向量的数量积求两个向量的夹角.【规范解答】(1)折起前ad是bc边上的高，当abd折起后，addc，addb，2分又dbdc=d，ad平面bdc，ad平面adb，平面adb平面bdc.4分,(2)由bdc=90及(1)知da，db，dc两两垂直，不妨设|db|=1，以d为坐标原点，以所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：d(0，0,0)，b(1,0，0)，由abdcda得cd=3，ac=,a,d,c,e,b,z,x,y,c(0,3，0)，所以8分所以与夹角的余弦值是12分.,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：,1.(2012昆明模拟)如图，正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直，ab，af1，m在ef上且am平面bde.则m点的坐标为()(a)(1,1,1)(b)()(c)()(d)(),【解析】选c.m在ef上，设met，设平面bde的法向量n(a，b，c)，,由得ab故可取一个法向量n(1,1，),2.(2012