2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题1　函数与导数

2019,专题1,函数与导数,01,目录,微专题01函数的基本性质与基本初等函数,微专题02函数的图象与函数的应用,微专题03导数及其应用,微专题04函数与导数的综合应用,点击出答案,1.函数的三要素是什么?定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”.,2.求函数的定义域应注意什么?求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组).在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f(x)的定义域是a,b,求f(g(x)的定义域,是指满足ag(x)b的x的取值范围,而已知f(g(x)的定义域是a,b,指的是xa,b.,3.判断函数的单调性有哪些方法?单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;图象法;复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;导数法.,4.函数的奇偶性有什么特征?奇偶性的特征及常用结论:若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0.f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称;f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称.奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性.若f(x+a)为奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称;若f(x+a)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=a对称.,5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些?指数函数与对数函数的图象和性质:,6.函数图象的推导应注意哪些?探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法:(1)知图选式:从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;从图象的变化趋势,观察函数的单调性;从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;从图象的循环往复,观察函数的周期性.(2)知式选图:从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;从函数的单调性,判断图象的变化趋势;从函数的奇偶性,判断图象的对称性;从函数的周期性,判断图象的循环往复.,7.确定函数零点的常用方法有哪些?函数零点个数的判断方法:(1)直接法:令f(x)=0,则方程解的个数为函数零点的个数.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求曲线f(x)在a,b上是连续的,且f(a)f(b)0(f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.将函数y=f(x)在a,b上的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,3.利用导数可以解决哪些不等式问题?(1)利用导数证明不等式:证明f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)-g(x)min0(xI);xI,使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)-g(x)max0(xI);对x1,x2I,f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min;对x1I,x2I,f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.,函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查.一、选择题和填空题的命题特点(一)考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合.,命题特点,1.(2018全国卷理T3改编)函数f(x)=552的图象大致为().,B,答案,解析,解析f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且f(-x)=552=-f(x),f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;又当x0时,5x15-x,f(x)0,排除D;f(2)1,排除C.故选B.,2.(2017全国卷理T8改编)函数y=sin21+cos的部分图象大致为().,A,答案,解析,解析因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项C,D错误;又当x=0时,y=0,所以选项B错误.故选A.,(二)考查函数的基本性质及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等.3.(2018年全国卷理T11改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)=().A.-2018B.0C.2D.50,C,答案,解析,解析f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数.f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.,(三)考查基本初等函数的性质及应用.试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象.4.(2018全国卷文T16改编)已知函数f(x)=log2(1+2-x)+2,f(a)=3,则f(-a)=.,1,答案,解析,解析因为f(x)=log2(1+2-x)+2,所以f(x)+f(-x)=log2(1+2-x)+2+log21+()2-(-x)+2=log2(1+x2-x2)+4=4.因为f(a)=3,所以f(-a)=4-f(a)=4-3=1.,5.(2018全国卷文T13改编)已知函数f(x)=log3(x2+a),若f(2)=1,则a=.,-1,答案,解析,解析f(2)=1,log3(4+a)=1,4+a=3,a=-1.,6.(2017全国卷文T8改编)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间是().A.(-1,1B.1,3)C.(-,1D.1,+),B,答案,解析,解析令t=-x2+2x+3,由t0,求得-11时,g(x)0时,g(x)g(1)=0.因此,当a-1e时,f(x)0.,2.(2017全国卷文T21改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围.,答案,解析,解析(1)f(x)=e22x-eax-a2=(e2x+a)e(x-a).若a=0,则f(x)=e2x,其在R上单调递增.若a0.故f(x)在,ln2上单调递减,在ln2,+上单调递增.(2)当a=0时,f(x)=e2x0恒成立.若a0,f(x)0,10,所以-13x1,则f(f(2)=().A.1B.4C.0D.5-e2,A,答案,解析,解析由题意知,f(2)=5-4=1,f(1)=e0=1,所以f(f(2)=1.故选A.,3.已知定义在R上的函数f(x)=2-|x|,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(0),则a、b、c的大小关系是().A.abcB.cbaC.acbD.b0,f(log25)f(log23)f(0),即b0,223x20,即10,解得30,(2)11log1,20且a1),若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围是.,2,+),答案,解析,变式训练,解析若f(x)在R上是增函数,则有1,20,a2.,2.已知奇函数f(x)为R上的减函数,若f(3a2)+f(2a-1)0,则a的取值范围是.,答案,解析,解析若f(3a2)+f(2a-1)0,则f(3a2)-f(2a-1),已知函数f(x)为奇函数,则不等式等价于f(3a2)f(-2a+1),又函数f(x)在R上单调递减,则3a2-2a+1,即3a2+2a-10,所以a的取值范围是1,13.,【例3】(1)已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且当x-3,0时,f(x)=log12(6+x),则f(2018)的值为().A.-3B.-2C.2D.3(2)已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=ax(a0且a1),且f(log124)=-3,则a的值为.,答案,解析,典型例题,解析(1)对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),则函数f(x)的周期是6,又f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,则f(2018)=f(2),根据奇偶性得到f(2)=f(-2)=-2.故选B.(2)奇函数f(x)满足f(log124)=-3,而log124=-20时,f(x)=ax(a0且a1),f(2)=a2=3,解得a=3.,函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,其中奇偶性多与单调性结合,而周期性多与抽象函数结合,并结合奇偶性求函数值.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此,在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.,方法归纳,1.已知偶函数f(x)在0,+)上单调递增,若f(2)=-2,则满足f(x-1)-2的x的取值范围是().A.(-,-1)(3,+)B.(-,-13,+)C.-1,3D.(-,-22,+),B,答案,解析,变式训练,解析由题意知偶函数f(x)在0,+)上单调递增,若f(2)=-2,则f(x-1)-2f(x-1)f(2)f(|x-1|)f(2),即|x-1|2,解得x-1或x3.故选B.,2.设函数f(x)是以2为周期的奇函数,已知当x(0,1)时,f(x)=2x,则f(x)在(2017,2018)上是().A.增函数,且f(x)0B.减函数,且f(x)0,C,答案,解析,解析函数f(x)的周期是2,函数f(x)在(2017,2018)上的单调性和(-1,0)上的单调性相同.当x(0,1)时,f(x)=2x为增函数,函数f(x)为奇函数,当x(-1,0)时,f(x)为增函数.当x(0,1)时,f(x)=2x0,当x(-1,0)时,f(x)0,当x(2017,2018)时,f(x)0,即f(x)在(2017,2018)上是增函数,且f(x)0,故选C.,【例4】(1)若a,b,c满足2a=3,b=log25,3c=2,则().A.cabB.bcaC.abcD.cba(2)已知f(x)=x3+3x,a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则().A.f(a)f(b)f(c)B.f(b)f(c)f(a)C.f(c)f(b)f(a)D.f(b)log22=log33log32,因此bac,故选A.(2)由指数函数的性质可得,1bc.又f(x)=x3+3x在R上单调递增,f(c)aB.cbaC.bacD.abc,A,答案,解析,变式训练,解析e-11,c=elnx=x(e-1,1),bca.故选A.,2.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x1时,f(x)=lnx,则有().A.f13f(2)f12B.f12f(2)f13C.f12f13f(2)D.f(2)f12f13,C,答案,解析,解析f(2-x)=f(x),函数f(x)图象的对称轴为直线x=1.当x1时,f(x)=lnx,f(x)在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增,故当x=1时,函数f(x)有最小值,离x=1越远,函数值越大,故选C.,1.函数y=13|log3x|的图象是().,A,答案,解析,微专题02函数的图象与函数的应用,返,解析当x1时,y=13|log3x|=13log3x=1x.当0x1时,y=13|log3x|=3log3x=x.y=13|log3x|=1x,x1,x,00,f(1)f(2)2有两个不同的零点,则实数a的取值范围是().A.-1,0)B.(1,2C.(1,+)D.(2,+),C,答案,解析,解析当x2时,由-x2+4x=0,得x=0;当x2时,令f(x)=log2x-a=0,得x=2a.又函数f(x)有两个不同的零点,2a2,解得a1,故选C.,4.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元,该设备每年生产的收入均为21万元,设该设备使用了n(nN*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于().A.6B.7C.8D.7或8,B,答案,解析,解析盈利总额为21n-9-2+12n(n1)3=-32n2+412n-9,由于对称轴为直线n=416,所以当n=7时,盈利总额取最大值,故选B.,A,答案,解析,典型例题,【例1】函数y=sinx+ln|x|在区间-3,3上的图象大致为().,解析设f(x)=sinx+ln|x|,当x0时,f(x)=sinx+lnx,则f(x)=cosx+1x.当x(0,1)时,f(x)0,即函数f(x)在(0,1)上为单调递增函数,排除B;当x=1时,f(1)=sin10,排除D;因为f(-x)=sin(-x)+ln|-x|=-sinx+ln|x|,所以f(-x)f(x),所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除C.故选A.,B,答案,解析,【例2】函数y=sinx(1+cos2x)在区间-2,2上的图象大致为().,解析函数y=sinx(1+cos2x)的定义域为-2,2,其关于原点对称,且f(-x)=sin(-x)(1+cos2x)=-sinx(1+cos2x)=-f(x),则f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除D;当00,排除C;又2sinxcos2x=0,可得x=2或x=-2或x=0,排除A,故选B.,函数图象的辨识主要从以下几个方面入手:(1)函数图象的对称性;(2)函数图象的单调性;(3)特殊点.,方法归纳,D,答案,解析,变式训练,1.函数f(x)=21,x0,22x,x0的图象大致是().,解析当x0时,f(x)=2x-1,根据指数函数g(x)=2x的图象向下平移一个单位,即可得到函数f(x)的图象.当x0时,f(x)=-x2-2x,根据二次函数的图象与性质,可得到相应的图象.综上,函数f(x)的图象为选项D中的图象.,D,答案,解析,2.函数f(x)=12e的图象大致是().,解析因为f(-x)=12e与f(x)=12e不相等,所以函数f(x)=12e不是偶函数,其图象不关于y轴对称,所以可排除B,C.代入x=2,得f(x)0,可排除A.故选D.,D,答案,解析,典型例题,【例3】已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x-1,0时,f(x)=x2,若在区间-1,3内,函数g(x)=f(x)-loga(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是().A.(1,5)B.(1,5C.(5,+)D.5,+),解析由题意可知函数f(x)是周期为2的偶函数,结合当x-1,0时,f(x)=x2,绘制函数图象如图所示,函数g(x)有4个零点,则函数f(x)与函数y=loga(x+2)的图象在区间-1,3内有4个交点,结合函数图象可得,loga(3+2)1,解得a5,即实数a的取值范围是5,+).,C,答案,解析,【例4】定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=12,x0,1),1|3|,1,+),则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a1)的所有零点之和为().A.2a-1B.1-2-aC.-log2(1+a)D.log2(1-a),解析当x0时,f(x)=12,x0,1),2,1,3),4,3,+),又f(x)是奇函数,画出函数f(x)的图象,由函数f(x)图象和F(x)=0f(x)=a(0a1),可知F(x)有五个零点,其中有两个零点关于直线x=-3对称,还有两个零点关于直线x=3对称,所以这四个零点的和为零,第五个零点是直线x=a与函数y=12-1,x(-1,0交点的横坐标,即方程a=12-1的解,解得x=-log2(1+a),故选C.,函数零点的求解与判断方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出这两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.,方法归纳,B,答案,解析,变式训练,1.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x0,1时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=12|1|(-1x3),则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为().A.2B.4C.6D.8,解析因为f(x+1)=-f(x),所以f(x)的周期为2.函数g(x)=12|1|关于直线x=1对称,作图可得四个交点的横坐标关于直线x=1对称,其和为22=4,故选B.,2.函数f(x)=ln(1),1,2+1,1,若函数g(x)=f(f(x)-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是().A.0,+)B.0,1C.(-1,0D.-1,+),D,答案,解析,解析设t=f(x),则a=f(t),在同一坐标系内作y=a与y=f(t)的图象(如图),当a-1时,两个图象有两个交点,设交点的横坐标分别为t1,t2,且t1lg2,得n0.050.19,n3.8,n4,即4年后,到2021年科研经费超过2000万元,故选B.,与实际应用相结合的问题题型是高考命题的一个方向,解决此类问题的一般程序:读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答.,方法归纳,在标准状况下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位:mol/L,记作c(H+)和氢氧根离子的物质的量浓度(单位:mol/L,记作c(OH-)的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lgc(H+),健康人体血液的pH保持在7.357.45之间,那么健康人体血液中的(H+)(OH)可以为().(参考数据:lg20.30,lg30.48)A.12B.13C.16D.110,C,答案,解析,变式训练,解析cH(+)cOH(-)=10-14,(H+)(OH)=c2(H+)1014.7.35110,排除D项.0.7lg3lg2,100.732,10-0.7f(1),f(2)f(1),则f(0)+f(2)2f(1).故选A.,4.若函数y=-13x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.,(0,+),答案,解析,解析y=-x2+a,若y=-13x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0应有两个不等实根,=4a0,故a的取值范围是(0,+).,【例1】(1)已知曲线f(x)=2+1在点(1,f(1)处切线的斜率为1,则实数a的值为().A.23B.-32C.-34D.43(2)曲线f(x)=x2+lnx在点(1,f(1)处的切线方程为.,答案,解析,典型例题,解析(1)对函数f(x)=2+1求导,可得f(x)=2(+1)2(+1)2.因为曲线f(x)=2+1在点(1,f(1)处切线的斜率为1,所以f(1)=34=1,得a=43,故选D.(2)因为f(x)=2x+1,所以曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为f(1)=2+11=3.因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.,1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:(1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程:先求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率k,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:已知过某点的切线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.,方法归纳,1.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.,(1,1),答案,解析,变式训练,解析函数ye=x的导函数为ye=x,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P的坐标为(x0,y0)(x00),函数y=1的导函数为y=-12,曲线y=1(x0)在点P处的切线的斜率k2=-102,由题意知k1k2=-1,即1102=-1,解得02=1,又x00,x0=1.点P在曲线y=1(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).,2.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.,8,答案,解析,解析(法一)令f(x)=x+lnx,求导得f(x)=1+1,则f(1)=2.又f(1)=1,曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切的切点为P(x0,y0),则当x=x0时,y=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=-12.又a02+(a+2)x0+1=2x0-1,即a02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,x0=-12,此时a=8.(法二)求出曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1.由=21,=2+(a+2)x+1,得ax2+ax+2=0,=a2-8a=0,a=8或a=0(显然不成立).,【例2】(1)函数f(x)=x2lnx的单调递减区间为().A.(0,e)B.ee,+C.,eeD.0,ee(2)若函数f(x)=lnx+ax2-2在12,2内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是().A.(-,-2B.18,+C.2,18D.(-2,+),答案,解析,典型例题,解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),由题意得f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),令f(x)g12=-2,所以a-2.故选D.,利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f(x)0,f(x)0).函数f(x)在1,+)上为增函数,f(x)=120对任意的x1,+)恒成立,ax-10对任意的x1,+)恒成立,即a1对任意的x1,+)恒成立,a1.,2.已知函数f(x)=12x2-2alnx+(a-2)x.(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间.(2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+)上单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.,答案,解析,解析(1)当a=-1时,f(x)=12x2+2lnx-3x,则f(x)=x+2-3=23x+2=(1)(2).当02时,f(x)0,f(x)单调递增;当1x0,x0,2+10,x-10,得x1,f(x)的单调递增区间为(1,+).(2)由(1)可得f(x)=212(x1).已知a1,即-12a0时,x12,1,f(x)0,因此f(x)在12,1上是减函数,f(x)在12,1上的最小值为f(1)=1-a.当12-121,即-1a-12时,若x12,12,则f(x)0;若x12,1,则f(x)0.,解析因此f(x)在12,12上是减函数,在12,1上是增函数,f(x)的最小值为f12=1-14+ln(-2a).当-120,因此f(x)在12,1上是增函数,f(x)的最小值为f12=12-34a+ln2.综上,函数f(x)在12,1上的最小值为f(x)min=1234a+ln2,1,114+ln(2),112,1,120,f(x)在(0,+)上单调递增,无极值.若a0,当x(0,a)时,f(x)0,f(x)在(a,+)上单调递增.故f(x)在(0,+)有极小值,无极大值,f(x)的极小值为f(a)=lna+1.(2)若对任意x0,均有x(2lna-lnx)a恒成立,则对任意x0,均有2lna+lnx恒成立,由(1)可知f(x)的最小值为lna+1,故问题转化为2lnalna+1,即lna1,解得00,则函数g(x)=xf(x)+1(x0)的零点个数为().A.0B.1C.0或1D.无数个,A,答案,解析,解析因为g(x)=f(x)+xf(x)0,所以函数g(x)在(0,+)上为增函数.因为g(0)0,所以g(x)0,故函数g(x)=xf(x)+1(x0)的零点个数为0.,4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27dm3,且用料最省,则圆柱的底面半径为dm.,3,答案,解析,解析设圆柱的底面半径为Rdm,母线长为ldm,则V=R2l=27,所以l=272,要使用料最省,只需使圆柱形水桶的表面积最小.S表=R2+2Rl=R2+227,所以S表=2R-542.令S表=0,得R=3,则当R=3时,S表最小.,【例1】已知函数f(x)=2-2lnx(aR,a0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有最小值,记为g(a),关于a的方程g(a)+a-29-1=m有三个不同的实数根,求实数m的取值范围.,答案,解析,典型例题,解析(1)f(x)=2-2(x0),当a0时,f(x)=2(+)(x),所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增.(2)由(1)知a0,f(x)min=f()=1-lna,即g(a)=1-lna,故方程g(a)+a-29-1=m为m=a-lna-29(a0),令F(a)=a-lna-29(a0),则F(a)=1-1+292=(31)(32)92,所以F(a)在0,13和23,+上是单调递增的,在13,23上是单调递减的,所以F(a)极大值=F13=-13+ln3,F(a)极小值=F23=13-ln2+ln3,依题意得13-ln2+ln30时,G(x)0,G(x)在(0,+)上单调递增.又G(0)=-10,G(x)存在唯一零点c(0,1),且当x(0,c)时,G(x)0,当x(0,c)时,g(x)0,g(x)在(0,c)上单调递减,在(c,+)上单调递增,g(x)g(c).G(c)=cec-1=0,00,g(x)g(c)0,函数g(x)无零点.,【例2】(2018年天津市南开中学高三模拟考试)已知f(x)=ex-alnx-a,其中常数a0.(1)当a=e时,求函数f(x)的极值.(2)当00,f(x)在(1,+)上单调递增.所以f(x)有极小值,极小值为f(1)=0,没有极大值.(2)若01e,由f(x)0恒成立,得aeln+1恒成立,令(x)=eln+1,则(x)=eln+11(ln+1)2.令g(x)=lnx+1-11e,则g(x)=1+121e,解析由g(x)0,得g(x)在1e,+上单调递增.又因为g(1)=0,所以(x)在1e,1上为负,在(1,+)上为正,所以(x)在1e,1上单调递减,在(1,+)上单调递增.所以(x)min=(1)=e.所以当01e时,aeln+1恒成立.综上所述,当00),则h(x)=1e.当00,所以h(x)在(0,1)上单调递增;当x1时,h(x)0)的最大值为h(1)=1e,即e1e,所以e2e,所以f(x)=ex-elnxe2,即e2x-2-ex-1lnx-x0.,利用导数证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是先构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0,其中找到函数h(x)=f(x)-g(x)的零点是解题的突破口.,方法归纳,已知函数f(x)=e.(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线过原点,求实数a的值;(2)若1x3+x2.参考数据:e2.7.,1,答案,解析,变式训练,解析(1)因为f(x)=e,所以f(x)=(1+)e(xa)xe()2=(2axa)e()2,由题意知,曲线y=f(x)在x=2处的切线过原点,则切线斜率k=f(2)=(2)020,即(43)e2(2)2=2e22020,整理得43(2)2=12,所以a=1.(2)由10,所以f(x)x3+x2e-x2-x0.设g(x)=e-x2-x,解析则g(x)=e(xa1)()2-2x-1,由x0且aea+1-(a+1)(a+2).设t=a+1,则t(2,3),设h(t)=et-t(t+1),则h(t)=et-2t-1,令(t)=et-2t-1,则(t)=et-2,易知当t(2,3)时,(t)0,所以h(t)在(2,3)上单调递増,所以h(t)=et-2t-1e2-22-10,所以h(t)在(2,3)上单调递増,所以h(t)e2-60,所以et-t(t+1)0,即ea+1-(a+1)(a+2)0,所以当x(a,a+1)时,g(x)0,即当x(a,a+1)时,f(x)x3+x2.,【例3】(2018年河南省巩义市高中毕业班模拟考试试卷)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)当a=5时,求函数g(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)求f(x)在区间t,t+2(t0)上的最小值;(3)若存在两个不等实数x1,x21e,e,使方程g(x)=2exf(x)成立,求实数a的取值范围.,答案,解析,典型例题,解析(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,所以g(1)=e,g(x)=(-x2+3x+2e)x,故切线的斜率为g(1)=4e,所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)因为f(x)=lnx+1,令f(x)=0,得x=1e,所以f(x),f(x)的变化情况如表所示,当t1e时,在区间t,t+2上,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(t)=tlnt;当0t1e时,在区间,1e内,f(x)为减函数,在区间1e,t+2上,f(x)为增函数,所以f(x)min=f1e=-1e.,解析,(3)由g(x)=2exf(x),可得2xlnx=-x2+ax-3,则a=x+2lnx+3,令h(x)=x+2lnx+3,则h(x)=1+2-32=(+3)(1)2.当x1e,e时,h(x),h(x)的变化情况如表:,因为h1e=1e+3e-2,h(e)=3+e+2,h(1)=4,所以h(e)-h1e=4-2e+2e0,所以h(e)1),当-2a0时,f(x)-2,则f(x)0.f(x)在2,+上单调递减,在1,2上单调递增.当01时,若xa,则f(x)0.f(x)在(a,+)上单调递减,在(1,a)上单调递增.综上可知,当-2a1时,f(x)在(1,+)上单调递减;当a1时,f(x)在(a,+)上单调递减,在(1,a)上单调递增.