正弦定理证明范文

正弦定理证明范文 正弦定理的证明（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当 ? ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而asin Aasin A?bsin BcsinC ?bsin B?bsin Bcsin C思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由 从而可以考虑用向量来研究这个问题。 （方法二）利用向量证明? ? ? 如图，在 ? ABC 中，过点 A 作一个向量 j ，使 j ? AC 。于涉及边长问题，当 ?BAC 为钝角或直角时，同理可证上述结论。 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数， 即存在正数 k 使 a ? k sin A ， b ? k sin B ， c ? k sinC ；asin A ?bsin B?csin C- 1 - （2）asin A?bsin B?csin C等价于asin A?bsin B，csinC?bsin B，asin A?csin C下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学。 （三）利用复数证明 如图， 如图2， 建立平面直角坐标系 在复平面内， 过点 A 作 BC 的平行线， 过点 C 作 AB 的平行线，交于点 D 根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部可以得出（方法四）利用 ? ABC 的外接圆证明 如图， ?O 是 ? ABC 的外接圆，设半径为 R ，分 别连结 OA 、OB 、 OC ，过点证明：O作 OD ? BC , 垂足为 D 。（方法五）利用 ? ABC 的外接圆证明 如图，?O 是 ? ABC 的外接圆， 设半径为 R ，连结 BO 并延长，交 ? O 于点 D ，连结 AD 。- 2 - 证明：（方法六）利用 ? ABC 的高线证明 如图，在 ? ABC 中，过点 B 作 BD ? AC ，垂足为 D 证明：（方法七）利用两角和的正弦公式证明 如图，在 ? ABC 中，过点 B 作 BD ? AC ，垂足为 D- 3 - ABC 中的三个内角A，B，C 的对边，分别用 a , b , c 表示. 正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a s in A = b s in B = c s in C证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之. (1) 在 R t ? A B C 中，如图 1-1s in A = a cA， s in B =a = bb c = ba s in A b s in B CD b c s in C CD a b s in B a s in A = b s in B = c s in C因此，s in As in B有因为 sin C =1 ，所以=C ，a CB（2）在锐角ABC 中，如图 1-2 作 C D ? A B 于点 D ，有 s in A = 因此， b sin A = a sin B ，即 同理可证：a s in A = c s in C a s in A， s in B =b . Aa，故B c C D（3）在钝角ABC 中，如图 1-3 作 C D ? A B ，交 A B 的延长线于点 D ，则s in A = CD b， s in ? A B C = s in C B D =a s in A =CD ab因此， b sin A = a sin B ，即 同理可证： 故a s in A = b s in B b s in B = = c s in C c s in Cs in Bb aA 综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.cBD 证明：如图所示，圆 O 是ABC 的外接圆，半径为 R 连接 A O 并延长，交圆 O 于点 D ，连接 C D ， A 易知， ? A C D = 9 0 ， ? B = ? Ds in D = AC AD = b 2R?，即 s in B =b 2R因此b s in B=2RO B C同理，延长 B O , C O ， 可证 故a s in A a s in A = = b s in B c s in C = c s in C =2R =2RD证明：过点 B 作单位向量 j ? B C ，那么就有? ? ? ? ? ? ? ? j ?A C ? j ?A B ? j ?B C? b co s(9 0 ? C ) ? c co s(9 0 ? B ) ? 0 ? ? b sin C ? ? c sin B? b s in B ? a s in A c s in C ?b s in B =A，b s in Bc s in C? j同理有 故a s in A。cb=BC a【小】 根据几何图形确定向量夹角的方法： 如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么 （1） 向量夹角为锐角，很容易判断； （2） 向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角 例如： 确定向量 j 与向量 A B 的夹角时，由于是钝角， 先确定向量 j 与向量 B A 的夹角为 9 0 ? B ，再求补角，即为 9 0 ? B 确定向量 j 与向量 A C 的夹角时，先平移 j ，同上可得，夹角为 9 0 ? C? ? ? ? ? 一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1） 当 ? ABC 是锐角三角形时， 设边 AB 上的高是 CD， 根据锐角三角函数的定义， C 有 CD ? a sin B , CD ? b sin A 。 由此，得asin Aasin A ?bsin B ， ?同理可得csinC?bsin B，Aba B故有bsin Bcsin C .从而这个结论在锐角三角形中成立.D（2）当 ? ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D， 根据锐角三角函数的定义，有 CD ? a sin ?CBD ? a sin ?ABC ，CD ? b sin A 。由此， 得asin A ?bsin ?ABC ， ?同理可得csin C .csinC?bsin ?ABCb A a B D C故有asin Absin ?ABC?由(1)(2)可知，在 ? ABC 中，asin A?bsin B?csin C成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即asin A ?bsin B?csin C .2.利用三角形面积证明正弦定理? 已知 ABC, 设 BC a, CA b,AB c, 作 ADBC, 垂足为 D.? 则 Rt ADB AD A 中, sin B ? ,?AD=AB sinB=csinB.? AB 1 1 1 1 S ABC= a ? AD ? ac sin B .?同理,可证 S ABC= ab sin C ? bc sin A .? 2 2 2 2 1 1 1 C S ABC= ab sin C ? bc sin A ? ac sin B .?absinc=bcsinA=acsinB,? D 2 2 2 sin C sin A sin B a b c ? ? ? ? 在等式两端同除以 ABC,可得 .?即 . c a b sin A sin B sin C 3.向量法证明正弦定理 (1) ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j 与BAB 的夹角为AB ,?90 -A,j 与 CB 的夹角为 90 -C.?由向量的加法原则可得? AC ? CB ?为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量第 1 页 共 1 页 j 的数量积运算,得到 j ? ( AC ? CB) ? j ? AB 由分配律可得 AC ? |j|j ? CB ? j ? AB .?j ABAC Cos90 +|j| CB Cos(90 -C)=|j| AB Cos(90 -A).?a c ? .? sin A sin CasinC=csinA.?C另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 AC 的夹角为 90 +C,j 与 AB 的夹 角为 90 +B,可得c b ? .? sin C sin B(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与 为 90 -C,j 与AC 的夹角AB 的夹角为 90 -B)?a b c ? ? .? sin A sin B sin C(2) ABC 为钝角三角形,不妨设 A90 ,过点 A 作与 与AC 垂直的单位向量 j,则 jCjAB 的夹角为 A-90 ,j 与 CB 的夹角为 90 -C.?AB ,得 jAC ?+j CB =jAB ,?A由 AC ? CB ?即 a Cos(90 -C)=c Cos(A-90 ),?asinC=csinA.? 另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 角为?90 +B.同理,可得 4.外接圆证明正弦定理a c ? sin A sin CABAC 的夹角为 90 +C,j 与 AB 夹a b c b c ? ? ? .? sin B sin C simA sin B sin C在 ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作 ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结 BO 并延长交圆于 B,设 BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所 对的圆周角相等可以得到 c c ? 2 R .? BAB=90 ，C =B，sinC=sinB= sin C ? sin B ? ? .? 2R sin C a b a b c ? 2 R, ? 2 R .? ? ? ? 2 R .? 同理,可得 sin A sin B sin A sin B sin C 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式?第 2 页 共 2 页 a b c ? ? .? sin A sin B sin C法一(平面几何)：在ABC 中，已知 AC ? b, BC ? a, 及?C ，求 c。过 A 作 AD ? BC于D，是ADAC sin C ? BC sin C ，CD ? AC cos ? b cos c,BAC在 Rt ?ABD 中， AB ? AD ? BD ? (b sin c) ? (a ? b cos c) ? a ? b ? 2ab cos c ，2 2 2 2 2 2 2法二（平面向量） ：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ? ? ? AB ? AB ? ( AC ? BC ) ? ( AC ? BC ) ? AC ? 2 AC ? BC ? BC ? AC ? 2 | AC | ? | BC |? ?2 cos(180? ? B) ? BC ? b2 ? 2ab cos B ? a2 ，即： c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos c法三（解析几何）：把顶点 C 置于原点，CA 落在 x 轴的正半轴上，由于ABC 的 AC=b， CB=a， AB=c， 则 A， B， C 点的坐标分别为 A(b， 0)， B(acosC， asinC)，C(0，0) |AB|2=(acosCb)2+(asinC0)2 =a2cos2C2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b22abcosC， 即 c2=a2+b22abcosC.法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形 ABC 中，A=，AB=a，BC=b，AC=c。现 在以 B 为圆心，以长边 AB 为半径做圆，这里要用长边的道理 在于，这样能保证 C 点在圆内。BC 的延长线交圆 B 于点 D 和 E 这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为 AG=2acos ，所以 CG=2acos -c。根据相交弦定理有： DCCE=ACCG，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acos -c) 化简以后就得 b =a +c +2aos 。也就是我们的余弦定理。 如图，在 ABC 中，AB4 cm，AC3 cm，角平分线 AD2 cm，求此三角形面积.2 2 2分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式 S ABC第 3 页 共 3 页1 AB AC sinA，需求出 2 sinA ，而 ABC 面积可以转化为 S ADC S ADB ，而 S ADC 1 A 1 AC ADsin ， S ADB 2 2 2A A AB AD sin ，因此通过 S ABCS ADCS ADB 建立关于含有 sinA，sin 的方程，而 sinA 2 2 A A A A 2sin cos ，sin2 cos2 1，故 sinA 可求，从而三角形面积可求. 2 2 2 2 解：在 ABC 中，S ABCS ADBS ADC， 1 1 A 1 A AB ACsinA AC AD sin AB ADsin 2 2 2 2 2 1 1 A A 4 3sinA 3 2sin ，6sinA7sin 2 2 2 2A A A 12sin cos 7sin 2 2 2 sin sin A A 7 A 0，cos ，又 0A，0 2 2 12 2 2 A 2 A 1cos2 2 95 ， 12A A 7 95 sinA2sin cos ， 2 2 72 S ABC 1 7 95 4 3sinA （cm2）. 2 12在 ABC 中，AB5，AC3，D 为 BC 中点，且 AD4，求 BC 边长. x 解：设 BC 边为 x，则由 D 为 BC 中点，可得 BDDC ， 2 AD2BD2AB2 在 ADB 中，cosADB 2AD BD x 42（