向量的加减法

向量的加法,学习目标：通过实例，掌握向量的加法运算及理解其几何意义。熟练运用加法的“三角形法则”和“平行四边形”法则,由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？,台北,香港,上海,A,B,C,向量的加法：,C,A,B,首尾相接,向量的加法：,起点相同,对于向量的加法的理解需要注意下面两点:(1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量)(2)位移的合成是三角形法则的物理模型.,例1.如图，已知向量，求做向量。,则。,三角形法则,作法1：在平面内任取一点O，,作，,例1.如图，已知向量，求做向量。,作法2：在平面内任取一点O，,作，,以为邻边做，,连结OC，则,平行四边形法则,练习：限时4分钟P761、2,探究：多个向量的运算将如何进行？,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,多边形法则:,思考：如果非零向量a、b、c，满足a+b+c=0,则以a,b,c为有向线段的三条线段，能构成一个三角形吗？,请同学们总结向量加法的“三角形法则”与“平行四边形”法则的联系与区别。,向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系,三角形法则中的两个向量是首尾相接的，而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点；三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和。三角形法则和平行四边法则虽然都是求向量和的基本方法。但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则。,思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和数的加法有什么关系？,（1）,（2）,B,C,B,C,B,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。,A,D,B,C,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。,答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60。,A,D,B,C,练习：限时2分钟,向量的减法,向量的加法与实数的加法类似，那么向量的减法运算呢？,在数的运算中，我们知道减法是加法的逆运算，向量的加法与实数的加法类似，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入呢？向量的减法具有什么特点？如何进行向量减法的运算呢？,向量进行减法运算，必须先引入一个什么样的新概念？,实例分析,上周日杨恒从家骑车到八里河公园游玩,然后再由八里河公园返回家中,我们把八里河公园记作B点,杨恒家记作A点,那么杨恒的位移是多少?,A,怎样用向量来表示呢?,我们把与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量.记作,1.相反向量,a，,并且规定，零向量的相反向量仍是零向量,a和a互为相反向量,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.,2.向量的减法,定义:向量加上的相反向量，叫作与的差，即,3.如何求两个向量的差？,即,B,A,向量的减法：,起点相同,指向被减向量,小结:作两向量的差向量的步骤:(1)将两向量移到共同起点(2)连接两向量的终点,方向指向被减向量注意与作和向量的区别,练习2：,例1已知向量a,b,c,求作向量a-b+c.,a,b,c,C,D,练习:如图：平行四边形ABCD中,用表示向量,由向量的减法可得，,解：由向量加法的平行四边形法则，得,例2已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.,A,D,B,a,b,C,练习:如图：平行四边形ABCD中,用表示向量,变式二:在本例中,当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?,变式三:在本例中,a+b与a-b有可能相等吗?,变式一:在本例中,当a,b满足什么条件时,a+b与a-b相互垂直?,由向量的减法可得，,解：由向量加法的平行四边形法则，得,（|a|=|b|）,（a，b互相垂