光电信息物理基础——数学基础PPT课件

第一章数学基础,光电信息物理基础,1,-,第一章数学基础,1.1矢量代数和矢量函数1.矢量：既有大小又有方向的量，如：力、速度、位移等；标量：只有大小没有方向的量，如：长度、时间、质量等；矢量表示：带箭头的字母：如,等；黑斜体字母：如A,B等；矢量的模：矢量的大小，用A或,2,-,第一章数学基础,2.矢量加减运算矢量加法服从交换律：A+B=CA+B=B+A当有三个矢量相加时，服从结合律：A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C),平行四边形法则三角形法则,3,-,两个矢量相减时，如A-B,先取B的负矢量-B，,第一章数学基础,-B,A-B,3.单位矢量和分矢量一个矢量A乘以一个正标量m得到一个新矢量，与A同向，大小为A的m倍。单位矢量：大小为1的矢量。如A的单位矢量表示为。一个矢量可以用该矢量方向上的单位矢量和该矢量的大小相乘所得，即：,4,-,任意矢量都可以分解为几个矢量，特别是可以分解为沿坐标轴的互相垂直的分量。如在笛卡尔坐标系中，矢量A可以分解为：为坐标轴方向的单位矢量。4.两矢量的标量积矢量A和矢量B的标量积记为AB。,第一章数学基础,是矢量A和矢量B的夹角。,5,-,若将矢量A和矢量B用直角坐标系方法表示，则有两矢量的标量积满足交换律和分配律5.两矢量的矢量积记为矢量积是一个矢量，大小等于方向垂直于矢量A和矢量B所决定的平面。,第一章数学基础,是矢量A和矢量B的夹角。,A,B,6,-,两矢量的矢量积不服从交换律，满足分配律若将矢量A和矢量B用直角坐标系方法表示，则有6.三矢量相乘,第一章数学基础,),7,-,7.矢量函数与矢量线标量函数：具有确定数值的标量可以是空间坐标（如直角坐标系中的x,y,z）和时间t的函数，称f(x,y,z;t)为标量函数。矢量函数：具有确定方向的物理量的矢量，一般都是一个或几个（标量）变量的函数，称F(x,y,z;t)为矢量函数。一个矢量函数F(x,y,z;t)对应三个标量函数若f或F的物理状态与时间无关，则代表静态场；若与时间有关，则为动态场或时变场。,第一章数学基础,8,-,矢量和矢量场的不变特性描述物理状态空间分布的标量函数f(x,y,z;t)和矢量函数F(x,y,z;t)，在时间是一定值的情况下，它们是唯一的，它们的数值和方向与所选择的坐标系无关。即使进行坐标系转换，它们也保持不变。大小和方向都保持不变的矢量称为常失；反之称为变失。矢量函数对时间和空间坐标变量的微分，仍然是一个矢量。,第一章数学基础,9,-,矢量线为形象描述矢量场在空间的分布状态，引入矢量线概念。矢量线上的每一点的切线方向都代表该点的矢量场方向。矢量场中的每一点均有唯一的一条矢量线通过。所有矢量线充满了整个矢量所在空间。如：电力线、磁力线就是电场和磁场的矢量线。由矢量线定义可知，其上任一点的切向长度元dl与该点矢量场A的方向平行，于是有,第一章数学基础,10,-,直角坐标系中由可得这就是矢量线的微分方程，求得它的通解可绘出矢量线。,第一章数学基础,=0,11,-,1.2场、梯度、散度和旋度1.场如果在一个空间区域中，某个物理量在其中每一点都取确定值，就称这个空间区域存在物理量的场。如果这个物理量是标量，则为标量场，如温度场、电势场等；如果这个物理量是矢量，则为矢量场，如电场、磁场等。2.标量场的方向导数和梯度标量场中分布在各点的物理量u是场中点坐标的单值函数，即u=u(r),r代表三个空间坐标(x,y,z).u在场中的变化情况通常具有更重要的物理意义。故引入方向导数的概念。,第一章数学基础,12,-,在场中取一点,由点引射线，其方向由方向余弦（）确定。在l上取另一点M。记,定义u在点沿l的方向导数为方向导数描述u在点沿l方向的变化率。设函数u在点可微，方向导数在直角坐标系下可表示为（1.2-3）式中为函数u在该点的偏导数，方向余弦。,第一章数学基础,M,13,-,在标量场u中定义一个矢量G：是沿直角坐标系坐标轴x,y,z方向的单位矢量。在场中任意点，矢量G是唯一的。记沿l方向的单位矢量为由（1.2-3）得意义：它在任意方向的投影就给出沿这个方向u的方向导数。矢量G的方向就是u变化率最大的方向，其模就是变化率的最大值。G称为标量场u的梯度。记做gradu=G,第一章数学基础,14,-,引进矢量微分算子,第一章数学基础,15,-,例1-1.已知标量场，求空间一点P(1,1,1)的梯度和沿方向的方向导数。解：由根据梯度公式，得标量场在P点的梯度为,第一章数学基础,16,-,l的单位矢量为由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿方向的方向导数为,第一章数学基础,17,-,3.矢量场的通量和散度引进矢量线来描述矢量场。矢量场分为两种：纵场：矢量线从场中一点发出，终止在另外一点上或无穷远处；横场：矢量场没有起点及终点，是闭合回线。,第一章数学基础,18,-,矢量场A沿场中任一有向曲面S的积分称为矢量场A穿过面S的通量。当式中S为一小闭合曲线时，取曲面正法向由内向外，记S包围的空间区域为，其体积为。在直角坐标系中矢量A可表示为有向面元dS可表示为：故,第一章数学基础,19,-,根据高斯积分公式，上式可写为：利用积分中值定理，上式可写为式中，为闭合曲面S所围区域中的一点，的体积为。,第一章数学基础,20,-,在矢量场A中取一点，作一包围点的闭合有向曲面S，设S包围的空间区域为，体积为。以记为穿过S的通量，当以任意方式缩向时，极限值称为矢量场A在点的散度，记