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文档简介

第二章,三、收敛数列的性质,唯一性有界性保号性、保序性,4.收敛数列与其子列的关系,三、收敛数列的性质,1.唯一性定理1.1(收敛数列极限的唯一性),即若,则必有,若极限,则极限唯一.,(用反证法),及,且,取,因,N1N+,使当nN1时,假设,即当nN1时,证法1,同理,因,故N2N+,使当nN2时,有,从而,使当nN2时,有,则当nN时,矛盾！,故假设不真!,2.有界性,例如:,有界,无界,即若,使,(n=1,2,).,定理2.2(收敛数列的有界性),收敛的数列必定有界.,证设,取,则,当,时,从而有,取,则有,即收敛数列必有界.,有,注,有界性是数列收敛的必要条件，,但不是充分条件.,收敛有界,关系：,例如,虽有界，但不收敛.,数列,推论无界数列必发散.,使当nN时，恒有,(1)若,时,有,3.保号性、保序性,证（1）：,取,因,故存在N1,使当nN1时,从而,当nN1时,从而,同理,因,故存在N2,使当nN2时,有,则当nN时,便有,与已知矛盾,于是定理得证.,当nN1时,推论：,(收敛数列的保号性),(1)若,则,使当nN时，,(),(),(2)若,则a0.,(0,取,证(1),(2)用反证法证明.,注,如：,4.收敛数列与其子数列的关系,(1)子数列的概念,称为数列xn的一个子数列(或子列)。,例如,从数列,中抽出所有的偶数项,是其子数列.它的第k项是,组成的数列：,(2)收敛数列与其子数列的关系,结论：（1)：,（2)：,注,定理,1某,收敛,例如，,但,发散.,2若数列
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