理论力学经典课件-第九章__拉格朗日方程

第九章拉格朗日方程,运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多，方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。,9-1动力学普遍方程,9-1-1方程的建立,9-1-2典型问题,1.一般形式,n个质点。对有,9-1动力学普遍方程,9-1-1方程的建立,而双面理想约束,故有,(9-1),不论约束完整，定常与否均适用。,则有,2.广义坐标形式,设完整约束系统有k个自由度，可取为广义坐标。,9-1动力学普遍方程,9-1-1方程的建立,则,代入式(9-1),交换i，j次序，得,广义主动力,广义惯性力,式中,因各线性无关故有,(9-2),等价形式,仅,(9-3),9-1-1方程的建立,9-1动力学普遍方程,式中包含了惯性力虚功!,9-1-2典型问题,加惯性力，受主动力如图。,给连杆，则,由有,9-1动力学普遍方程,1.由动能定理求导，如何求解?,2.如何求约束力?,2.已知重量轮纯滚,水平面光滑,求三棱柱加速度。,9-1-2典型问题,9-1动力学普遍方程,加惯性力，受力如图。选广义坐标。,由,有,又由有,9-1动力学普遍方程,9-1-2典型问题,式(a)代入(b),可得,令时，牵连惯性力并不为零；,令时，相对惯性力并不为零，两者相互独立。,9-1动力学普遍方程,9-1-2典型问题,3.均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。,9-1动力学普遍方程,9-1-2典型问题,自由度k=2的理想约束系统，取两轮转角为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示，,(a),有,(b),9-1动力学普遍方程,9-1-2典型问题,得,(c),再令,联立(c)和(d)式，可得,9-1-2典型问题,9-1动力学普遍方程,对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后，各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。,1.如何求绳的张力?圆柱纯滚的条件?,2.用动力学普遍定理如何求解?,3.计入滑轮A质量,结果有何变化?,9-1-2典型问题,9-1动力学普遍方程,9-2拉格朗日方程,对于完整约束系统，动力学普遍方程为,不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。,9-2-1两个经典微分关系,第九章拉格朗日方程,9-2-2拉氏方程基本形式,9-2-4拉氏方程的应用,式(9-7)表明，,可对的分子与分母“同时消点”。,(9-7),“同时消点”,证明:,9-2-1两个经典微分关系,9-2拉格朗日方程,n个质点，s个完整约束，k3ns，,2)“交换关系”(求导),将式(9-6)两边对广义坐标,证明:,求偏导数，有,而,比较以上两式，可得,(9-8),式(9-8)表明,可对求导“交换关系”。,9-2拉格朗日方程,9-2-1两个经典微分关系,9-2-2拉氏方程基本形式,9-2拉格朗日方程,为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量，为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，需2k个初始条件。,故,关于的计算,由(见下述例题中),(仅qi0时，计算所有主动力虚功)9-2拉格朗日方程,9-2-2拉氏方程基本形式,9-2拉格朗日方程,9-2-3势力场中的拉氏方程,若有势主动力,引入拉格朗日函数又称动势。注意，有:,此为势力场中第二类拉氏方程，是关于k个广义坐标的二阶常微分方程组。,则有,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,应用拉格朗日方程求解受约束系统的动力问题，首先需要判断约束是否完整，这是应用拉氏方程的前提；其次看主动力是否有势，由此选择拉氏方程形式。,9-2拉格朗日方程,，,系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统动势,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,1.此处势能V为什么与弹簧初始变形和重力无关?,2.试用动能定理求解例1，并比较两种方法的异同。,振动圆频率,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,本系统为完整约束，主动力非有势，采用基本形式的拉氏方程求解。,判断系统的自由度，取广义坐标。,本题中，,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,计算系统的T与,则有,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。,(a),(b),解方程，求加速度。,，得,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,试用动力学普遍方程，动力学普遍定理，达朗贝尔原理求解例2，并比较各种方法的特点。,完整系统多自由度动力问题，采用拉氏方程，步骤规范，便于求解。拉氏方程与动力学普遍方程对于完整系统本质上一致，前者从能量，后者从受力入手考察系统的运动。,9-2拉格朗日方程,题型特点:,9-2-4拉氏方程的应用,9-2-4拉氏方程的应用,9-2拉格朗日方程,(弹簧的绝对伸长量)为广义坐标。取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻t，有,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,将以上各项代入下列拉氏方程,(b),9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,(c),其中,由式(c)解得,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,将式(d)代入式(c)，再将式(c)和(d)代入式(b)得,顺便指出，由式(c)和(d)可知，物B相对于物A作在常力作用下的简谐振动，其振幅为,，固有频率为,多自由度完整约束保守系统问题，应用含L的拉氏方程，不需求广义力，求解较为简便。,题型特点:,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,(b)试用质心运动定理和动能定理求解例3，并比较各种方法特点。,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,3.两个相同单摆，用刚度为k的弹簧连接已知m,k,l,a,系统静止时，弹簧无变形，不计杆重试求系统振动微分方程及固有频率。,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,自由度为2，选为广义坐标，,选平衡位置势能为0，则,(较小时，),9-2-4拉氏方程的应用,9-2拉格朗日方程,而,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,代入和中,有,即,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,方程(b)有非0解条件，即频率方程为,即(c),为系统的主频率，将分别代入式(b),得,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,即，为系统的第一主振型，振动时弹簧不变形。,两振型图如下:,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,4.1,2,3,4刚性杆长均为a，可不计质量。均质刚杆AB长，质量为2m，C,D小球质量均为m，求微小运动微分方程及3,4杆相对运动。,系统为定常理想完整保守系统。,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,而,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,(a),并设得,同理可得,9-2拉格朗日方程,9-2-4拉氏方程的应用,9-3-1广义动量积分(守恒),完整、理想约束、保守系统，若L中不含qr，则qr叫循环坐标，且有,即常数,循环积分，广义动量守恒。,即,如在重力场中质点质量为m，取x、y、z为广义坐标，,可见x、y为循环坐标，则有,第九章拉格朗日方程,如图所示，质量为的某行星A受太阳的引力，为太阳质量，G为万有引力常数，r为极坐标的极轴，为其单位矢。试写出行星作平面曲线运动的循环积分。,该系统有二个自由度。选为广义坐标，,质点受重力沿方向，在x和y方向均为动量守恒。,9-3-1广义动量积分(守恒),第九章拉格朗日方程,可见L中不显含，即是循环坐标，则有循环积分。,常数,该广义动量积分表明，行星A对点O的动量矩守恒。,若选x、y为广义坐标，有无循环积分？,问:,9-3-1广义动量积分(守恒),第九章拉格朗日方程,9-3-2广义能量积分(机械能守量),定常、完整、理想约束保守系统，(n个质点)，k个自由度有:,则有,故,第九章拉格朗日方程,(1),而,则,由Euler公式，若为的m次齐次函数,9-3-2广义能量积分(机械能守量),第九章拉格朗日方程,故,=2T（T为的二次齐次函数）,将式(2)代入式(1)，得,故常数,此即拉氏方程能量积分，表明上述系统机械能守恒。,即,9-3-2广义能量积分(机械能守量),第九章拉格朗日方程,选x和为广义坐标。,9-3-2广义能量积分(机械能守量),第九章拉格朗日方程,故有循环积分，常数(初始为0),又,约束定常，且完整理想。,即(b),x方向广义动量守恒，并非系统x方向动量。,9-3-2广义能量积分(机械能守量),第九章拉格朗日方程,时，(a)，(b)两式为,解之得,1.若接触平面光滑(f=0)，结果如何?2.若左边连接一水平弹簧(k)，结果又如何?,9-3-2广义能量积分(机械能守量),第九章拉格朗日方程,9-3-2广义能量积分(机械能守量),第九章拉格朗日方程,系统保守且约束完整、定常，自由度为2，取与为广义坐标。设圆轮角速度为，则从轮C的速度分析，有。,因L不含(其中为循环坐标)，故相应的广义动量守恒，并考虑到时，,设O为零势能位置，系统动势为,9-3-2广义能量积分(机械能守量),第九章拉格朗日方程,此处利用拉氏方程的循环积分，使问题求解大为简化。,即,对t积分，并注意到时，,得,故,9-3-2广义能量积分(机械能守量),第九章拉格朗日方程,解出和，再积分，可得和的变化规律。,该约束定常，故有T+V=常数，即,将此式与例2中(a)式联立，,如何求上述和的变化规律,9-3-2广义能量积分(机械能守量),第九章拉格朗日方